解含絕對(duì)值問(wèn)題的四個(gè)角度

廣東省佛山市羅定邦中學(xué)

處理帶有絕對(duì)值的不等式問(wèn)題一般思路是利用絕對(duì)值的定義去絕對(duì)值,再通過(guò)分類討論求得結(jié)果.本文在此基礎(chǔ)上再介紹以下幾種方法:利用絕對(duì)值不等式、最大值函數(shù)以及距離公式解決一類含絕對(duì)值的最值問(wèn)題,供讀者參考.

角度一通過(guò)絕對(duì)值定義去絕對(duì)值.

角度二絕對(duì)值不等式:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.注意到不等式的中間,可以通過(guò)選擇“±”進(jìn)行放縮使得不等式的一邊出現(xiàn)定值.

角度三最大值函數(shù)最小值函數(shù)

角度四根據(jù)點(diǎn)P(x0,y0) 到直線l:Ax+By+C=0的距離公式:所以可以通過(guò)幾何關(guān)系求解含絕對(duì)值的問(wèn)題[1].

一、利用絕對(duì)值定義

例1已知函數(shù)設(shè)a ∈R,若關(guān)于x的不等式在R 上恒成立,則a的取值范圍是____.

解析根據(jù)題意,對(duì)任意x ∈R 有:設(shè)原命題等價(jià)于g(x)max≤a ≤h(x)min.又由于

可得g(x)max=故答案為A.

總結(jié):該解法的過(guò)程可總結(jié)為通過(guò)定義去絕對(duì)值,再分離出所求參數(shù)a.將原問(wèn)題中的恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最大最小值問(wèn)題.

二、利用絕對(duì)值不等式

例2設(shè)f(x) =|log2x+ax+b|(a ＞0) 在區(qū)間[t,t+2](t ＞0) 上的最大值為Mt(a,b),若{b|Mt(a,b)≥1+a}=R,求實(shí)數(shù)t的最大值.

解析設(shè)函數(shù)g(x) =log2x+ax+b,顯然g(x) 在[t,t+2]上遞增.令Mt(a,b)=max{f(t),f(t+2)},其中f(t) =可知對(duì)任意b ∈R 都有Mt(a,b)≥1+a恒成立.所以min{Mt(a,b)} ≥1+a.又由于

兩式相加可得:

總結(jié)本題通過(guò)絕對(duì)值不等式的放縮,巧妙的消去了參數(shù)a,b,最終只留下關(guān)于t的不等式.

例3(2015年佛山市數(shù)學(xué)教師解題大賽第11題) 已知f(x)=2x2+bx+c(b,c ∈R)的定義域?yàn)閇0,2],記|f(x)|的最大值是M,則M的最小值為_(kāi)___

A.1 B.2 C.3 D.4

解析據(jù)題意即有根據(jù)絕對(duì)值不等式得到兩者組合可得:M的最小值為1,故選A.

總結(jié)上面的解法利用了三次絕對(duì)值不等式,前兩次消掉未知量“c”,最后一步消掉未知量“b”使得不等式的一邊出現(xiàn)常數(shù).特別注意的是,“=”是否成立.

經(jīng)驗(yàn)證,當(dāng)b=-4,c=1時(shí),等號(hào)成立.針對(duì)該問(wèn)題,題干所給區(qū)間是[0,2],為何選擇0,1,2 這三個(gè)特征點(diǎn)來(lái)求M的范圍呢？如果上面的“=”不成立,必然要選擇其他的特征點(diǎn)來(lái)求解.而其根本的原因在于對(duì)圖像的理解,所提供的二次函數(shù)在區(qū)間[0,2]上單增、單減或先減后增.通過(guò)絕對(duì)值處理后,其取得最大值的可能情況是兩個(gè)端點(diǎn)及頂點(diǎn)的位置.根據(jù)對(duì)稱性,假設(shè)該函數(shù)的對(duì)稱軸在x=1 處.再通過(guò)“=”是否成立來(lái)驗(yàn)證.

例4已知a,b,c ∈R,且對(duì)任意x ∈R 恒成立,求的最大值.

解析設(shè)f(x) =acos2x+bsinx+c,令x分 別為:0,可得:根據(jù)絕對(duì)值不等式:

顯然|asinx+b|max=max{|a+b|,|a-b|}≤2.|asinx+b|的最大值為2,當(dāng)a=2,b=0,c=-1時(shí),等號(hào)成立.

總結(jié)本題的一大難點(diǎn)在于特殊點(diǎn)的選擇,讀者可結(jié)合例2思考一下,是否可以選擇其他的特征點(diǎn)求解,選擇特征點(diǎn)的一般策略是什么？

三、利用最大最小值函數(shù)

例5已知函數(shù)f(x) =ax2+bx+c(0),記M(a,b,c) 為|f(x)|在[0,1]上的最大值,若求的最小值.

分析由|b|≥2|a|可知,該二次函數(shù)的對(duì)稱軸無(wú)論該函數(shù)開(kāi)口方向如何,函數(shù)f(x) 在區(qū)間[0,1]上單調(diào),所以

解析根據(jù)分析可知:M(a,b,c)=max{|f(0)|,|f(1)|}.根據(jù)最大值函數(shù)的定義:

總結(jié)本題與例2相比,本題所涉及的函數(shù)單調(diào)性確定,所以最值必在端點(diǎn)處取得.且在本題中引入了最大值函數(shù),結(jié)合絕對(duì)值不等式求得最小值.另外,本題的解法將參數(shù)a,b,c用f(0),f(1) 表示,讀者可繞過(guò)該步驟,直接放縮.

例6已知方程

有三個(gè)根x1＜x2＜x3,若x3-x2=2(x2-x1),求實(shí)數(shù)a的值.

解析令根據(jù)最大值函數(shù)的定義:

原方程等價(jià)于max{f(x),g(x)}=ax+2,由-2x ≥得:由此可得:

因題設(shè)提及的方程有三個(gè)根,所以三個(gè)根的分布是第一段一個(gè),第二段兩個(gè).由可得再由得到再由x3-x2=2(x2-x1) 得到2x1=3x2,即有所求a的值為

總結(jié)本題是最大值函數(shù)的逆向運(yùn)用,通過(guò)最大值函數(shù),將原有的絕對(duì)值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為分段函數(shù),通過(guò)分類討論求出對(duì)應(yīng)的根.

例7(2016年4月浙江省普通高中學(xué)業(yè)水平考試第18題) 設(shè)函數(shù)若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)a和實(shí)數(shù)b,總存在x0∈[1,2]使得f(x0)≥m,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析對(duì)任意的正實(shí)數(shù)a和實(shí)數(shù)b,總存在x0∈[1,2]使得f(x0)≥m,等價(jià)于min{max{f(x)}} ≥m.即當(dāng)f(x) 在區(qū)間[1,2]上的最大值取到最小時(shí)仍不小于m時(shí),上條件成立.

解析設(shè)函數(shù)存 在[1,2]使得f(x0)≥m.則有f(x)max≥m,又因?yàn)間(x) 在x ∈[1,2]上遞減,所以f(x)max=max{f(1),f(2)}.

令M(a,b)=max{f(1),f(2)},其中f(1) =|2-a - b|,f(2) =|1-2a - b|,所以M(a,b)≥m對(duì)任意a ＞0,b ∈R恒成立,所以min{M(a,b)} ≥ m.又由兩式相加可得:

總結(jié)通過(guò)上面的分析,對(duì)于加絕對(duì)值的函數(shù),首先要選擇關(guān)鍵點(diǎn),利用關(guān)鍵點(diǎn)表達(dá)出所求的參數(shù);再利用絕對(duì)值不等式進(jìn)行放縮或利用最大值函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

四、利用絕對(duì)值的幾何意義求解

例8若函數(shù)f(x) =|asinx+bcosx-1|+|bsinxacosx|(a,b ∈R)的最大值為11,求a2+b2的最大值.

解析利用絕對(duì)值不等式:

構(gòu)造直線:l1:ax+by=0,l2:bx - ay=0,點(diǎn)P(sinx,cosx),則有h(x) 表示點(diǎn)P到直線l1,l2距離之和的倍,其中l(wèi)1,l2是過(guò)原點(diǎn)且互相垂直的直線,點(diǎn)P在單位圓上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P到直線l1,l2距離分別為d1,d2,顯然有利用基本不等式:所以故所以a2+b2的最大值為50.

總結(jié)第一步的放縮使得后面構(gòu)造的直線過(guò)原點(diǎn),大大地簡(jiǎn)化了后面的計(jì)算.

五、練習(xí)

4.已知函數(shù)f(x) =ax2+bx+c(0),當(dāng)x ∈[0,1]時(shí),|f(x)|≤2,求a的最大值.

答案提示:利用最小值函數(shù).