初中數(shù)學(xué)教學(xué)難點(diǎn)的突破策略探析

【摘 要】統(tǒng)計(jì)與概率在初中教材出現(xiàn)的頻率不高，加之大數(shù)據(jù)分析出來的考查幾率和難度不大，因此統(tǒng)計(jì)與概率的相關(guān)內(nèi)容一直以來沒有得到師生的重視，通常被教師視為學(xué)生可通過自主學(xué)習(xí)掌握的內(nèi)容?！墩n程標(biāo)準(zhǔn)》提出初中階段要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念。筆者認(rèn)為，暫且不談數(shù)據(jù)分析在生活中的應(yīng)用，就現(xiàn)行人教版教材內(nèi)容來看，其實(shí)有很多內(nèi)容值得回味和思考，如何提煉其內(nèi)涵以讓統(tǒng)計(jì)引起學(xué)生的思考，是值得教師研究的課題。

【關(guān)鍵詞】平均數(shù);教學(xué)難點(diǎn);突破策略

本文以《平均數(shù)》第二課時(shí)為例，探究初中數(shù)學(xué)教學(xué)難點(diǎn)的突破策略，表明初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，在重視統(tǒng)計(jì)思想的同時(shí)，引入數(shù)學(xué)史亦可為課堂教學(xué)增彩。

1? ?深入研究教材，使樹木森林現(xiàn)身

《平均數(shù)》出現(xiàn)在最新修訂（2011年）的人教版教材第20章[1]。全章有兩大節(jié)“數(shù)據(jù)的代表”和“數(shù)據(jù)的波動(dòng)”，各五個(gè)課時(shí)。平均數(shù)是“數(shù)據(jù)的代表”中的第一節(jié)。其中《平均數(shù)》的第二課時(shí)，給出了兩個(gè)例題，在數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)的情況下，要求學(xué)生理解并計(jì)算加權(quán)平均數(shù)。

例1 一家公司打算招聘一名英文翻譯。對甲、乙兩名應(yīng)試者進(jìn)行了聽、說、讀、寫的英語水平測試，他們的各項(xiàng)成績（百分制）如表1所示。

如果這家公司想招一名綜合能力較強(qiáng)的翻譯，則要計(jì)算兩名應(yīng)試者的平均成績（百分制）。從他們的成績看，應(yīng)錄取誰？

如果這家公司想招一名筆譯能力較強(qiáng)的翻譯，聽、說、讀、寫成績按照2：1：3：4的比例確定，計(jì)算兩名應(yīng)試者的平均成績（百分制），從他們的成績看應(yīng)錄取誰？

當(dāng)數(shù)據(jù)有了不同的權(quán)重，權(quán)就會(huì)“影響”數(shù)據(jù)的作用。要用加權(quán)平均數(shù)進(jìn)行計(jì)算，幫助人們進(jìn)一步分析數(shù)據(jù)，從而給選擇的結(jié)論提供必要的依據(jù)。當(dāng)數(shù)據(jù)呈比例分配時(shí)，比例即權(quán)重。

例2 某跳水隊(duì)為了了解運(yùn)動(dòng)員的年齡情況，做了一次年齡調(diào)查，結(jié)果如下：13歲8人，14歲16人，15歲24人，16歲2人。求這個(gè)跳水隊(duì)運(yùn)動(dòng)員的平均年齡（結(jié)果取整數(shù)）。

跳水運(yùn)動(dòng)員的平均年齡，涉及數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)，頻數(shù)為數(shù)據(jù)的權(quán)，求平均數(shù)即求加權(quán)平均數(shù)。

教學(xué)此節(jié)內(nèi)容時(shí)，不僅要看到平均數(shù)是數(shù)據(jù)類型的重要一種，也要看到在用樣本數(shù)據(jù)估算總體數(shù)據(jù)時(shí)，平均數(shù)發(fā)揮著極其重要的作用。而加權(quán)平均數(shù)作為其中一種有代表性的研究，會(huì)給分析數(shù)據(jù)帶來巨大的價(jià)值。學(xué)習(xí)時(shí)要看到細(xì)節(jié)，更要看到整體，這樣才能達(dá)成部分之和大于整體的功效，也便于讓學(xué)生順利內(nèi)化吸收，達(dá)到教學(xué)難點(diǎn)的突破。

2? ?立足學(xué)情思考，用學(xué)科的眼光觀察生活

對于八年級的學(xué)生來說，其在生活中對數(shù)據(jù)進(jìn)行詳實(shí)分析的機(jī)會(huì)不多[2]。因此在公交車載客量估算里，表格里給出的組中值其實(shí)并不容易理解，即使在旁批注釋了計(jì)算公式的來由。這一點(diǎn)倘若一筆帶過，就如美國學(xué)者Bidwell指出的那樣：“在課堂里，我們常常這樣看待數(shù)學(xué)，好像我們是在一個(gè)孤島上學(xué)習(xí)似的。我們每天一次去島上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，埋頭鉆進(jìn)一個(gè)純粹的、潔凈的、邏輯上可靠的、只有清晰線條而沒有骯臟角落的書房。學(xué)生覺得數(shù)學(xué)是封閉的、呆板的、冰冷無情的、一切都已發(fā)現(xiàn)好了的?！睂W(xué)生最多記住要怎么算，而在遷移運(yùn)用時(shí)又會(huì)出現(xiàn)同樣的困惑，在認(rèn)知上并未有實(shí)質(zhì)上的突破。筆者嘗試過去掉組中值，然而舉一反三，估算最后的數(shù)據(jù)時(shí)，很多學(xué)生都不知所措。因此在面對教材上的例題時(shí)，要思考學(xué)生真正的理解難點(diǎn)，然后再思考解決策略。

筆者在帶領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識(shí)組中值時(shí)，設(shè)計(jì)了這樣的問題。

教師：表中按載客量的多少劃分為六組，每一組的實(shí)際載客量是多少？

學(xué)生：我們不知道。

教師：那我們可以選哪個(gè)數(shù)據(jù)作為代表呢？

學(xué)生：平均數(shù)。（這一節(jié)我們正好學(xué)習(xí)平均數(shù)，應(yīng)該相關(guān)。）

教師：我們可否選擇這組數(shù)據(jù)最中間的那個(gè)數(shù)？（中位數(shù)在后續(xù)內(nèi)容中才提出。）

學(xué)生：不可以。因?yàn)槲覀儾恢烂拷M的數(shù)據(jù)有多少個(gè)，無法確定最中間的那個(gè)數(shù)。

教師：那可否使用出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)？

學(xué)生：也不行。同樣道理，每組的數(shù)據(jù)總數(shù)不知道，那就也無法確定哪個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)最多。

……

教師：大家很敏銳，思考方向也很正確。是的，這樣的情況下，我們會(huì)選取每組數(shù)據(jù)兩個(gè)極端值的平均數(shù)作為本組數(shù)據(jù)的代表參與計(jì)算。

在這里不妨花點(diǎn)時(shí)間，通過設(shè)計(jì)提問，層層引導(dǎo)，使學(xué)生自行思考，得到用范圍內(nèi)的極端值的平均數(shù)來作為小組的載客量的數(shù)據(jù)。這樣猶如剝開蚌殼，取出珍珠的過程，會(huì)激起學(xué)生的思考，使學(xué)生得到自己的結(jié)論，獲得成就感。

在教學(xué)中，教師要俯下身來體會(huì)和發(fā)現(xiàn)學(xué)生經(jīng)驗(yàn)之外的盲點(diǎn)，要搭起腳手架讓新知落入學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，從而完成鏈接。反復(fù)如此，學(xué)生會(huì)逐漸用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活的點(diǎn)滴，完成學(xué)科到生活，生活亦學(xué)科的完滿教育理想（朱永新）。

3? ?史料引入課堂 有源之水流長

在幫助學(xué)生理解組中值時(shí)，筆者還翻閱歷史，力求用古人的智慧啟發(fā)學(xué)生，讓學(xué)生深刻感受，數(shù)學(xué)思想源遠(yuǎn)

流長。如公元前400年，在伯羅奔尼撒人戰(zhàn)爭中，Homer為了解對方的兵力，進(jìn)行了實(shí)地考察，發(fā)現(xiàn)對方運(yùn)載士兵的船只共有1200條，這些船只大小不等，最大的船能容納120名士兵，最小的船能容納50名士兵，試估計(jì)對方的人數(shù)。

對比分析學(xué)生的算法，找出相應(yīng)不足。再討論最后一種平均數(shù)算法時(shí)，有學(xué)生得出估計(jì)值：大約有1200×（120+50）÷2個(gè)人。這正是當(dāng)年Homer的估算方法。這里就是用兩個(gè)極端值的平均數(shù)估計(jì)對方的總?cè)藬?shù)。然后再回到課堂例題里，學(xué)生之前心求通而未得的狀態(tài)有明顯緩解。弗賴登塔爾指出：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法是實(shí)行再創(chuàng)造，也就是由學(xué)生本人把要學(xué)的東西，自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來;教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生進(jìn)行這種再創(chuàng)造工作，而不是把現(xiàn)成的知識(shí)灌輸給學(xué)生?！贝藭r(shí)再拋出問題，學(xué)生自然會(huì)想到用樣本的平均數(shù)估算總體平均數(shù)。

M.克萊因說：“數(shù)學(xué)史是教學(xué)的指南?！币胧穼?shí)材料時(shí)，不僅要讓學(xué)生近距離感受古人的智慧，增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)要讓學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓滲透久遠(yuǎn)，從而激發(fā)學(xué)生刻苦學(xué)習(xí)、努力超越的意識(shí)，正如張奠宙所說，“把數(shù)學(xué)教育轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)形態(tài)的教育”。

重視數(shù)據(jù)分析，無論是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)上還是在指導(dǎo)生活上，都會(huì)給學(xué)生留下深刻影響。而精準(zhǔn)分析學(xué)習(xí)難點(diǎn)，采取不同方式幫助其突破，則是數(shù)學(xué)教師義不容辭的責(zé)任。

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[S].北京師范大學(xué)出版社，2011.

[2]汪曉勤.一個(gè)中世紀(jì)法律問題的解決方案及數(shù)學(xué)教育價(jià)值[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2020（1）.

【作者簡介】

張敏（1972～），女，漢族，湖北枝江人，本科，中學(xué)數(shù)學(xué)二級教師。研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)。