淺談線性代數(shù)課堂中Matlab的引入

【摘 要】線性代數(shù)是大學(xué)理工科專業(yè)和經(jīng)管類專業(yè)學(xué)生必修的一門基礎(chǔ)課，其重要內(nèi)容主要包括：行列式、矩陣、向量、線性方程組、特征值與特征向量、二次型。其中特征值和特征向量理論已經(jīng)廣泛應(yīng)用于科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域，不僅可以直接解決數(shù)學(xué)中諸如非線性規(guī)劃、常微分方程以及其他各類數(shù)學(xué)計(jì)算問(wèn)題，而且在結(jié)構(gòu)力學(xué)、工程設(shè)計(jì)、計(jì)算物理和量子力學(xué)中都發(fā)揮著重要的作用。在工程計(jì)算中，求解方陣特征值是最普遍的問(wèn)題之一，如動(dòng)力系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中的振動(dòng)問(wèn)題、電力系統(tǒng)的靜態(tài)穩(wěn)定性分析、工程設(shè)計(jì)中的某臨界值的確定等，都可以歸結(jié)為求解方陣特征值的問(wèn)題。本文通過(guò)借助數(shù)學(xué)軟件Matlab介紹如何計(jì)算特征值和特征向量。

【關(guān)鍵詞】線性代數(shù);Matlab;數(shù)學(xué)課堂;特征值;特征向量

【中圖分類號(hào)】G642? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2020）28-0008-02

Matlab的產(chǎn)生與數(shù)學(xué)計(jì)算有著密切的關(guān)系。70年代中期，美國(guó)的穆勒教授及其同事在美國(guó)國(guó)家基金會(huì)的資助下，開(kāi)發(fā)了線性代數(shù)的Fortran子程序庫(kù)[1]。不久，他在給學(xué)生講線性代數(shù)課時(shí)，為了讓學(xué)生能使用子程序庫(kù)又不至于在編程上花費(fèi)過(guò)多的時(shí)間，便為學(xué)生編寫了使用子程序的接口程序。他將這個(gè)接口程序取名為Mat1ab，意為“矩陣實(shí)驗(yàn)室”。

1? ?概述

矩陣計(jì)算是科學(xué)和工程計(jì)算的核心，特征值與特征向量計(jì)算是矩陣計(jì)算的基本問(wèn)題之一。在教學(xué)特征值與特征向量這一章時(shí)，要先構(gòu)建特征方程，通過(guò)計(jì)算化簡(jiǎn)行列式求出特征值[2]。一個(gè)n階方陣有n個(gè)特征值，包括單特征值、重特征值和復(fù)特征值，其中復(fù)特征值是成對(duì)出現(xiàn)的[3]。求出特征值后，通過(guò)解特征值所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組，求出每個(gè)特征值所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，而特征向量就是基礎(chǔ)解系的非零線性組合[4-6]。利用Matlab計(jì)算特征值和特征向量的實(shí)例如下。

2? ?利用Matlab求三階方陣A的特征值及特征向量

解：命令窗口運(yùn)行如下。

>> A=[8 1 6;3 5 7;4 9 2]? ? %生成一個(gè)3階方陣

A =

8? ? ?1? ? ?6

3? ? ?5? ? ?7

4? ? ?9? ? ?2

>> eig（A）%求3階方陣A的特征值

輸出結(jié)果為：

ans =

15.0000

4.8990

-4.8990? ? ? ? ? ? %3階方陣A的特征值分別為：15.0000，4.899， -4.8990

命令窗口運(yùn)行如下。

>> [X，D]=eig（A）? ? ? ? ? %產(chǎn)生一個(gè)對(duì)角矩陣D，對(duì)角線為矩陣A的特征值;產(chǎn)生一個(gè)矩陣X，每一列為矩陣A對(duì)應(yīng)的特征向量

輸出結(jié)果為：

X =

-0.5774? ?-0.8131? ?-0.3416

-0.5774? ? 0.4714? ?-0.4714

-0.5774? ? 0.3416? ? 0.8131

D =

15.0000? ? ?0? ? ? ? ?0

0? ? ? ? 4.8990? ? ? ?0

0? ? ? ? ? 0? ? ? -4.8990

通過(guò)運(yùn)行Matlab程序，可知矩陣A有三個(gè)不同的特征值，分別為15.0000，4.8990，-4.8990。對(duì)應(yīng)特征值15.0000的全部特征向量是矩陣X的第一列構(gòu)成的列向量乘以非零常數(shù)K1;對(duì)應(yīng)特征值4.8990的全部特征向量是矩陣X的第二列構(gòu)成的列向量乘以非零常數(shù)K2;對(duì)應(yīng)特征值-4.8990的全部特征向量是矩陣X的第三列構(gòu)成的列向量乘以非零常數(shù)K3。

3? ?利用Matlab求三階方陣B的特征值及特征向量

解：命令窗口運(yùn)行如下。

>> B=[-1，1，0;-4，3，0;1，0，2]? %生成一個(gè)3階方陣

輸出結(jié)果為：

B =

-1? ? ?1? ? ?0

-4? ? ?3? ? ?0

1? ? ?0? ? ?2

命令窗口運(yùn)行如下。

>> eig（B）

輸出結(jié)果為：

ans =

2

1

1

命令窗口運(yùn)行如下。

>> [X，D]=eig（B）

輸出結(jié)果為：

X =

0? ? ? ?0.4082? ? ? 0.4082

0? ? ? ?0.8165? ? ? 0.8165

1.0000? ? -0.4082? ? ?-0.4082

D =

2? ? ? ? ?0? ? ? ? ? ?0

0? ? ? ? ?1? ? ? ? ? ?0

0? ? ? ? ?0? ? ? ? ? ?1

通過(guò)運(yùn)行Matlab程序可知，矩陣A有一個(gè)單特征值2，一個(gè)二重特征值1，1。對(duì)應(yīng)于特征值2的全部特征向量是矩陣X的第一列構(gòu)成的列向量乘以非零任意常數(shù)K1;對(duì)應(yīng)于特征值1的全部特征向量是不全為零的任意常數(shù)K2與K3分別乘以矩陣X的第二、三列構(gòu)成的列向量的和

向量。

4? ?利用Matlab求三階方陣C的特征值和特征向量

解：命令窗口運(yùn)行如下。

>>? C= [0，-1，0;1，0，0;0，0，1]

輸出結(jié)果為：

C =

0? ? ? ? -1? ? ? ? ? ?0

1? ? ? ? ?0? ? ? ? ? ?0

0? ? ? ? ?0? ? ? ? ? ?1

命令窗口運(yùn)行如下：

>> eig（C）

輸出結(jié)果為：

ans =

0 + 1.0000i

0 - 1.0000i

1.0000

命令窗口運(yùn)行如下。

>> [X，D]=eig（C）

輸出結(jié)果為：

X =

0.7071? ? ? ? ? 0.7071? ? ? ? ? ? 0

0 - 0.7071i? ? ?0 + 0.7071i? ? ? ? 0

0? ? ? ? ? ? ? 0? ? ? ? ? ? ? 1.0000

D =

0 + 1.0000i? ? 0? ? ? ? ? ? ? ? 0

0? ? ? ? ? ? ? 0 - 1.0000i? ? ? 0

0? ? ? ? ? ? ? 0? ? ? ? ? ? ? 1.0000

通過(guò)運(yùn)行Matlab程序可知，矩陣C有一對(duì)共軛復(fù)特征值i，-i，和一個(gè)單特征值1。對(duì)應(yīng)于特征值i的全部特征向量是矩陣X的第一列構(gòu)成的列向量乘以非零任意常數(shù)K1;對(duì)應(yīng)于特征值-i的全部特征向量是矩陣X的第二列構(gòu)成的列向量乘以非零常數(shù)K2;對(duì)應(yīng)于特征值1的全部特征向量是矩陣X的第三列構(gòu)成的列向量乘以非零常

數(shù)K3。

5? ?總結(jié)

本文介紹了利用Matlab求三階實(shí)方陣特征值和特征向量的具體命令和方法。利用Matlab不僅可以求解教材常見(jiàn)的二、三階方陣，還可以求解三階以上的實(shí)方陣的特征值和特征向量，操作方式和例題完全類似。步驟較為簡(jiǎn)單，為學(xué)生提供了一種新的計(jì)算方法。

【參考文獻(xiàn)】

[1]張明.《線性代數(shù)》中“特征值與特征向量”的教學(xué)創(chuàng)新探析[J].創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)理論研究與實(shí)踐，2019（21）.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2014.

[3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2014.

[4]孫培青.中國(guó)教育史[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2008.

[5]居余馬等編著.線性代數(shù)[M].清華大學(xué)出版社，2002.

[6]戴維.C.雷.線性代數(shù)及其應(yīng)用[M].機(jī)械工業(yè)出版社，2017.

【作者簡(jiǎn)介】

宮曉俊（1993～），女，漢族，山西朔州人，碩士，助教。研究方向：動(dòng)力系統(tǒng)。