行列式的幾種計(jì)算方法

孟楠

摘 ?要：線性代數(shù)是大學(xué)本科重要的基礎(chǔ)課程，而行列式又是線性代數(shù)這門課程的主要內(nèi)容之一，具有廣泛應(yīng)用。它是我們線性代數(shù)中遇到的最基本問題。每種行列式都有其對應(yīng)的多種巧解方法，其中行列式的計(jì)算，特別是高階行列式的計(jì)算是行列式這一章的重點(diǎn)，同時也是難點(diǎn)。因此懂得如何利用行列式特點(diǎn)，巧妙地計(jì)算行列式尤為重要。該文針對不同的行列式形式，選擇相對簡單的計(jì)算方法，提高解題效率。

關(guān)鍵詞：行列式 ?計(jì)算方法 ?線性代數(shù)

中圖分類號：O17 ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2020）01（c）-0208-02

行列式是代數(shù)學(xué)中的一個基本概念，它源于求解線性方程組，是一個基本的數(shù)學(xué)工具。因此，線性代數(shù)把行列式列為基本而又重要的內(nèi)容之一，并把行列式的計(jì)算作為線性代數(shù)的教學(xué)重點(diǎn)，然而直接計(jì)算行列式往往是困難和繁瑣的，特別當(dāng)行列式的元素是字母時就更加明顯， 因此熟練地掌握行列式的計(jì)算方法是非常重要的。該文主要分析行列式的特點(diǎn)，總結(jié)幾種特殊行列式的計(jì)算方法。

1 ?兩個基礎(chǔ)行列式

三角行列式：

2 ?用行列式的性質(zhì)計(jì)算n階行列式

性質(zhì)1 將行列式轉(zhuǎn)置，行列式的值不變。

性質(zhì)2 交換行列式的兩行（列），行列式的值變號。

推論 如果行列式由兩行（列）的對應(yīng)元素相同，則此行列式的值為零。

性質(zhì)3 用數(shù)k乘行列式的某一行（列），等于以數(shù)k乘此行列式。

推論1 如果行列式某行（列）的所有元素有公因子，則公因子可以提到行列式外面。

推論2 如果行列式有兩行（列）的對應(yīng)元素成比例，則行列式的值等于零。

性質(zhì)4 如果將行列式中的某行（列）的每個元素都寫成兩個數(shù)的和，則此行列式可以寫成兩個行列式的和，這兩個行列式分別以這兩個數(shù)為所在行（列）對應(yīng)位置的元素，其他位置的元素與原行列式相同。

推論 如果將行列式某一行（列）的每個元素都寫成m個數(shù)（m為大于2的整數(shù)）的和，則此行列式可以寫成m個行列式的和。

性質(zhì)5 如果將行列式某一行（列）的所有元素同乘以數(shù)k后加于另一行（列）對應(yīng)位置的元素上，行列式的值不變。

3 ?用行列式展開定理計(jì)算n階行列式

定理1 n階行列式D=|aij|等于它的任意一行的各元素與其對應(yīng)代數(shù)余子式乘積的和，即：

D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin（i=1，2，…，n）

或D=a1jA2j+a2jA2j+…+anjAnj（j=1，2，…，n）

定義1 形如Hn=a1Hn-1+a2Hn-2+...+akHn-k，n>k將該式稱為式（1），若a1，a2，…，ak為常數(shù)，則（1）稱為常數(shù)齊次遞推關(guān)系。

若ak≠0，則稱（1）為k級遞推關(guān)系，方程xk-a1xk-1-a2xk-2-…-ak=0稱為（1）的特征方程，它的根稱為（1）的特征根。

定理2 設(shè)k級遞推關(guān)系（1）的特征根λ1，λ2，...λk，則Hn=∑ki=1 ci λni是（1）的解。

（1）展開定理直接應(yīng)用。

=ah-b（-1）hb·bn-2=an-（-1）hbh

（2）遞推法。

對應(yīng)的特征多項(xiàng)式為，特征根為a，b。

解得：

4 ?數(shù)學(xué)歸納法

證明n階行列式：

數(shù)學(xué)歸納法證明：n=1時D=1+a12成立。

假設(shè)n-1階行列式結(jié)論成立，那么：

5 ?范德蒙行列式

總而言之，計(jì)算行列式的方法很多，不同的行列式對應(yīng)不同的計(jì)算方法，該文只總結(jié)了比較常見的幾類行列式，并且給出相應(yīng)的計(jì)算方法，學(xué)生遇到以上特點(diǎn)的行列式就能很快地計(jì)算出它們的值，此外有一些其他形式的行列式也可以通過變相轉(zhuǎn)換的方法轉(zhuǎn)化為這幾種方法來計(jì)算。

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