反思——提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的有效途徑

孫建榮

摘要：《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確要求學(xué)生要通過(guò)對(duì)解決問(wèn)題過(guò)程的反思獲得解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)。因此，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，最主要的是反思解題本身是否合理和正確，是否能一題多解和多題一解，提高綜合解題能力，并且做系統(tǒng)小結(jié)。數(shù)學(xué)教學(xué)重要的是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，使其經(jīng)歷探索的過(guò)程，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)素質(zhì);教學(xué)反思;一題多解;多題一解

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ?文章編號(hào)：1992-7711（2020）01-0105

在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，想要盡快提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，首先要有良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，聽(tīng)課時(shí)要處理好聽(tīng)、思、說(shuō)、記的關(guān)系，及時(shí)復(fù)習(xí)，還有非常重要的一點(diǎn)，要注重解題反思。數(shù)學(xué)能力的提高離不開(kāi)做題，但解題后的反思更重要，與其匆匆忙忙的搶做兩張?jiān)嚲?，還不如深入透徹地掌握一張?jiān)嚲恚非蠼忸}質(zhì)量，好好反思每一道題。新課標(biāo)明確要求引導(dǎo)學(xué)生積極探索經(jīng)歷反思過(guò)程，提高數(shù)學(xué)思維能力。解題后需要反思哪些問(wèn)題呢？根據(jù)學(xué)生實(shí)際，主要有以下幾個(gè)方面。

一、反思解題本身是否合理和正確

1. 題目做好以后，反思結(jié)論是否符合實(shí)際，切忌結(jié)論荒謬，出現(xiàn)像這種衛(wèi)星離地面的最遠(yuǎn)距離為3cm的情況。

2. 檢查是否筆誤或概念不清。筆誤在做幾何證明題時(shí)經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)，在用三個(gè)字母表示角時(shí)，切記字母寫(xiě)錯(cuò)，因此在幾何證明題做好以后，要從頭到尾再檢查一遍。還有一些中差學(xué)生概念不清，如：函數(shù)? 的自變量x的取值范圍為_(kāi)________。有很多學(xué)生答案為x≠0，把分母不為0，誤認(rèn)為x≠0。

3. 是否審題不仔細(xì)或忽視了隱含條件。

例1.（1）Rt△ABC的兩邊分別為3和4，則斜邊長(zhǎng)為 4或5。

（2）Rt△ABC的兩邊分別為3和4，則第三邊長(zhǎng)為5或[7]。

很多學(xué)生把這兩題混淆起來(lái)，數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)是十分準(zhǔn)確并具有特殊意義，對(duì)于題目中的每一個(gè)字，每一個(gè)符號(hào)，每一句話都要進(jìn)行斟酌，把隱含在條件中的某種關(guān)系挖掘出來(lái)。

例2.在較長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)，每天都有一艘輪船從甲地開(kāi)往乙地，并且每天的同一時(shí)刻也有一艘輪船從乙地開(kāi)往甲地。兩地輪船在途中來(lái)去的時(shí)間都是七晝夜，而且都是勻速航行在同一航線上，則每一條從甲地出發(fā)的輪船直到抵達(dá)目的地，共將會(huì)遇到對(duì)面開(kāi)來(lái)的輪船幾艘？

分析：大多數(shù)學(xué)生考慮每天開(kāi)出一艘輪船，7晝夜開(kāi)出7艘輪船，故將遇到7艘;也有的學(xué)生認(rèn)為輪船到達(dá)乙地時(shí)恰逢第八天起航的輪船，故將遇到8艘;從而忽略了“在較長(zhǎng)的一段時(shí)間內(nèi)”這個(gè)隱含條件。事實(shí)上，甲地開(kāi)出的輪船最早遇到的不是當(dāng)天同一時(shí)刻乙地開(kāi)出的輪船，而是在這之前乙地開(kāi)出的輪船（正確答案是15艘）。

4. 運(yùn)算是否正確

對(duì)于計(jì)算類(lèi)型的題目，做完以后一般要再驗(yàn)算一遍。很多學(xué)生都會(huì)出現(xiàn)算了兩遍，甚至3遍，出現(xiàn)同一個(gè)答案，以為正確。試卷一發(fā)下來(lái)，才恍然大悟，這是由于思維定式的影響，我們應(yīng)從不同的角度進(jìn)行驗(yàn)算。

5. 以特殊代替一般

如在中學(xué)數(shù)學(xué)的幾何證明題中，一些學(xué)生畫(huà)特殊圖形代替一般圖形，造成證題推理無(wú)根據(jù)。

例3.在△ABC中，AB=AC，D是BC上的任意一點(diǎn)，E是AC上的任意一點(diǎn)，AD=AE，求證：∠BAD=2∠EDC。

[A][B][C][D][E]

錯(cuò)誤證法：假設(shè)D 是BC的中點(diǎn)，

∵AB=AC

∴AD⊥BC，AD平分∠BAC

（等腰三角形三線合一）

令∠BAD=α，則∠DAC=α

∵AD=AE（已知）∴∠ADE=∠AED

∵∠DAE+∠ADE+∠AED=180°

∴∠ADE=[12]（180°-∠DAE）=[12]（180°-α）=90°-[12]α

∴∠EDC=90°-∠ADE=90°-（90°-[12]α）=[12]α=[12]∠BAD

上述5個(gè)方面是解題后該反思的基本問(wèn)題，考試時(shí)如此，平時(shí)更應(yīng)如此，學(xué)生應(yīng)養(yǎng)成解題后反思的良好習(xí)慣。事實(shí)上，有不少學(xué)生只滿足于一知半解，解完了事，不假探索回顧，任其漏洞百出。

二、反思一題多解和多題一解，提高綜合解題能力

數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)聯(lián)系，解題思路靈活多變，解題方法途徑繁多，通過(guò)探求一題多解，尋找最優(yōu)的解題方法，拓寬學(xué)生的發(fā)散思維能力。

例4. 求一次函數(shù)y=3x-1于y=-3x+5的交點(diǎn)坐標(biāo)。

分析：可以利用圖像法解，也可以利用求方程組的解得出。不同的解法既可以揭示出數(shù)與形的聯(lián)系，又溝通了幾類(lèi)知識(shí)的橫向聯(lián)系。

例5. 如圖，∠1=∠5，∠3=∠4，

[A][B][C][D][E][F][1][2][3][4][5][6]

∠2=∠6，求證AD∥BC。

證法一：∵在△ABF中，

∠2+∠3+∠AFB=180°

在△AED中，

∠6+∠4+∠5=180°

∵∠2=∠6，∠3=∠4

∴∠AFB=∠5

又∵∠5=∠1，∴∠AFB=∠1

∴AD∥BC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）。

證法二：∵∠2=∠6

∴AB∥CE（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

∴∠EAB+∠4=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

即∠2+∠5+∠4=180°

∵∠5=∠1，∠4=∠3

∴∠2+∠1+∠3=180°，即∠2+∠ABC=180°

∴AD∥BC（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）

上述兩種方法，中差生普遍采用前一種證法，可見(jiàn)前一種證法較具體，學(xué)生易掌握。

多題一解可以培養(yǎng)學(xué)生化歸思維，使學(xué)生覺(jué)得書(shū)“越讀越薄”，學(xué)習(xí)能力越來(lái)越高，體驗(yàn)到學(xué)習(xí)的輕松愉快。

三、積極反思，系統(tǒng)小結(jié)

反思題目能否變換引申，改變題目的條件，會(huì)導(dǎo)出什么新結(jié)論;保留題目的條件，結(jié)論能否進(jìn)一步加強(qiáng);條件作類(lèi)似的變換，結(jié)論能否擴(kuò)大到一般;思維方法能否遷移。

例6. 如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，

[A][B][C][D][E]

AB=DC，求證：∠B=∠C。

變形：已知梯形ABCD中，AD∥BC，

AB=DC，∠B=60°，AD=15，AB=45，

求BC的長(zhǎng)。

分析：該題主要思路是平移腰將梯形分成等腰三角形和平行四邊形。結(jié)合平行四邊形及正三角形的邊長(zhǎng)特征來(lái)解決問(wèn)題。通過(guò)變形，使學(xué)生進(jìn)行全方位的思考，這常常是學(xué)生發(fā)現(xiàn)新知識(shí)、認(rèn)識(shí)新知識(shí)的突破口。

例：求證順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是平行四邊形。

分析：此題除了要反思一題多解，還可以將題設(shè)變換為特殊的“平行四邊形”“矩形”“菱形”“正方形”等情況，以有助于開(kāi)拓學(xué)生的解題思路，讓學(xué)生思維插上想象的翅膀。

培養(yǎng)學(xué)生解題能力的途徑和方法很多，但無(wú)論哪種途徑和方法，最根本最相通的是離不開(kāi)思維的訓(xùn)練。注重題后反思，在尋找錯(cuò)誤原因中享受成功，力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次，優(yōu)化解題過(guò)程，尋求最佳解答方法，舉一反三，觸類(lèi)旁通，融會(huì)貫通，重視滲透和揭示基本的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生經(jīng)歷探索的過(guò)程，體驗(yàn)如何用數(shù)學(xué)思想方法分析和解決問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)習(xí)的能力，在學(xué)生的心靈中撒播“善于思考”的種子，搭建可持續(xù)發(fā)展的平臺(tái)。

（作者單位：江蘇省蘇州市吳江區(qū)青云中學(xué)? ?200041）