新課程下基于初中數學折疊問題的教學思考

焦鷗

【摘要】折疊問題是初中數學教學中一類非常重要的問題，對學生空間想象力、思維能力以及動手操作能力等具有較高要求，同時講究技巧性與規(guī)律性，增加了學生的解題難度，所以傳授給他們正確的折疊問題求解思路與方法顯得尤為關鍵.本文在對折疊問題特征與求解思路進行闡述的基礎上，結合具體例題，對常見的幾種折疊問題求解方法進行了重點探析，以期可以幫助初中生順利突破這部分數學學習難關.

【關鍵詞】初中;數學;折疊問題;對稱;解題方法

在新課標下，初中數學更加側重考查學生的思維能力，如發(fā)散思維、辯證思維、抽象思維等等，同時也越多地側重考查學生的數學關鍵能力，如推理論證能力、空間想象力等等.其中折疊問題是一類綜合考查學生空間想象力、思維認知能力等眾多關鍵能力的數學問題，對學生的問題求解能力具有較高要求.因此，為了幫助初中生順利地攻克這部分學習難點，必須要注意系統(tǒng)化指導他們掌握求解該類問題的思路與常用方法.

一、新課程下初中數學折疊問題的求解思路

折疊問題的本質是圖形軸對稱變換問題，求解的核心主要是有效地運用軸對稱的相關性質與思想，如基于軸對稱性質對圖形折疊前后的變量與不變量進行有效確定，配合三角形的相似性、全等性以及方程知識等來構建有關角度和線段之間的相關性.與此同時，在求解折疊問題的過程中還需要靈活地借助背景圖形性質以及軸對稱方面的相關性質來判斷折疊圖形的相關共性規(guī)律與特征（找到其中涉及的關鍵變量與不變量），如折疊圖形的折線本身是對稱軸、折線兩邊的折疊圖形保持全等狀態(tài);折疊圖形上面任意兩個對稱點相連構成的直線和折線之間保持垂直狀態(tài);對應的折疊圖形邊線之間保持相互平行狀態(tài)或者交點處于對稱軸上.在求解折疊問題的過程中要綜合運用上述的各種數學結論，并在此基礎上有效地運用構造輔助線的方式構造出直角三角形，然后利用銳角三角函數、相似形、方程思想等有關圖形和函數方面的知識來對折疊問題進行系統(tǒng)化求解，借助這一求解思路可以逐步簡化折疊問題的求解過程，有利于提高解題的簡潔性和清晰性.

二、新課程下初中數學教學中常見的折疊問題及解題方法

2.1 以基本圖形要素為考點的折疊問題及解題方法

在新課程下初中數學教學中涉及的常見折疊問題首先體現在平面圖形不同基本要素的折疊，即以“點”“線”和“面”為基本單位的圖形折疊問題，它們對應的求解方法如下：

（1）“點”的折疊問題及求解方法.在“點”的折疊問題中主要涉及對折線的“中點”，這就涉及軸對稱，并且會相應地生成相等的角和線段，這樣更有助于集中有關的解題條件.如果題目當中涉及直角，那么可以將相應的解題條件集中于比較小的直角三角形當中，之后用勾股定理方面的數學知識進行求解即可.

例1 如圖1，某一次函數與坐標軸分別交于A點和B點，將△AOB沿著AB進行翻折，那么可以得到△ACB.如果已知C點坐標為3[]2，32，那么試確定相應一次函數的解析式.

解析 本題以△AOB為主體，折疊變換之后所得到的△ACB和原△AOB保持全等，這時候可以借助對稱性和三角函數關系來求解出AO和CO的邊長，之后可以分別求出點A和點B的相應坐標，配合待定系數法的應用可以快速確定直線AB的解析式.

（2）“線”的折疊問題及求解方法.“線”的折疊問題，主要是以某條線為基準進行翻折，相應問題求解中需要對圖形折疊前后的圖形形狀以及相應線條的對應位置進行確定，之后再運用軸對稱性質與特征的相關知識來求解.

（3）“面”的折疊問題及求解方法.在求解折疊問題時，如果可以靈活地運用“面”的對稱性特征可以相應地得到相等的角和面積以及全等的對折圖形.如果可以抓住對折圖形中的變量和不變量，挖掘其中幾何圖形性質以及相關的數量關系之后可以快速求解相應的折疊問題.

例3 如圖3，△OAB是一等邊三角形，邊長為2.其中O為直角坐標系的坐標原點，點B位于y軸上，將該三角形進行折疊操作后使A點落于邊OB上并交于A′點，相應折疊的折痕為邊EF.假定A′在邊OB上面進行移動但是不交于點B和點O，試求能否使所形成的△A′EF為一個直角三角形？

解析 鑒于該道折疊問題中涉及動點A′，所以在求解的過程中需要進行分類討論，即可以首先確定所形成的直角頂點不可能存在A′處，之后分別假定所形成直角三角形的直角頂點位于F點或E點處進行分析，看是否可行.

解 假定△A′EF的直角頂點位于F點，那么可以結合翻折圖形的軸對稱性質得到∠A′FE=∠AFE=90°，此時點A′和點B保持重合，不滿足已知條件，所以此時不成立;假定△A′EF的直角頂點位于E點，那么可以結合翻折圖形的軸對稱性質得到∠A′EF=∠AEF=90°，此時點A′和點O保持重合，不滿足已知條件，所以此時也不成立.由此可知，在A′位于線段OB上進行移動期間不可能存在使△A′EF為直角三角形的位置.

綜上所述，在求解折疊問題的過程中要對折疊問題的實質進行把握，抓住折疊圖形折疊前后的位置關系變化，從“點”“線”和“面”三個方面出發(fā)來確定翻折前后圖形的變量與不變量，挖掘其中涉及的圖形參數數量關系，最后利用方程思想對數量關系進行表達，最終可以解決相應的數學問題.

2.2 以折疊后不同視角為考點的折疊問題及解題方法

雖然折疊問題的求解基本上都是以“點”“線”與“面”幾個基本元素為基準，但是在實際的折疊問題求解中會涉及不同的視角，如求解點坐標、角度、周長與最小值等等，具體的典型折疊題目類型及解題方法如下：

（1）求點坐標.

例4 如圖4，已知B點和C點的坐標分別為（1，3）和（1，0），過點B的直線y=x+k交x軸于A點.沿著直線AB折疊△ABC后可以得到△ABD，試求A點與D點的坐標.

解析 此題以直角坐標系為基礎，主要考查函數圖像折疊之后“點”的變化，在實際的求解中可以綜合運用函數解析式、數形結合與軸對稱等數學知識進行求解.

解 B點在直線上，代入求得直線解析式為y=x+2，得到A點坐標為（-2，0）.由折疊圖形的對稱性可知，AC=AD=3，故D點的坐標是（-2，3）.

（2）求角度.

例5 如圖5，小紅在某次班級折紙活動中制作了一個△ABC紙板，其中邊AB和邊AC上分別分布有D點和E點.沿著DE將△ABC折疊壓平之后使得A點落在A′點.如果∠A=70°，那么∠1+∠2=.

解析 針對這一道折疊問題的求解，首先要結合三角形折疊的基本性質，明確其中的不變量——角，之后運用三角形內角和、補角等來確定其中包含的等量關系，最后再運用代數方法求出角度.

解 由折疊圖形的對稱性可知∠ADE=∠A′DE;

∴∠1=180°-2∠AED，∠2=180°-2∠A′DE;

∴根據三角形內角和為180°可知，∠1+∠2=360°-2（∠AED+∠A′DE）=2∠A=140°.

（3）求周長.

例6 如圖6，沿虛線①對折矩形紙張后再沿著虛線②剪開，可以剪出一個直角三角形，將其打開之后得到一個等腰三角形，那么其周長是多少？

解析 圖形通過剪切折疊后可以得到軸對稱圖形，再借助勾股定理對相應直角三角形的邊長進行求解，進而求得周長.該道折疊問題不僅考查了學生對軸對稱圖形性質等知識的理解，同時還考查了學生的想象力與動手實操能力.

解 ∵折疊矩形紙張之后，其長度變成了原來的一半，而寬度則保持不變;

∴剪下來的Rt△的兩直角邊長度分別為1和3，根據勾股定理求得其斜邊長度為10.

∴在打開重疊的直角三角形后可以構成一個完整的等腰三角形（腰長為10，底邊長度為2）;

∴可知剪下來的三角形周長為210+2.

除了上述幾種折疊問題的求解題目之外，還有一些折疊題目會以折疊之后的線段長度、圖形面積、函數解析式等為考點.無論求解何種折疊問題，都要注意對該類題型的性質與規(guī)律進行深入把握，靈活運用軸對稱圖形、相似圖形等方面的數學知識，就可以順利攻克這部分問題的求解難點.

總之，折疊問題是新課程下初中數學考試中常見的一類問題，對學生的邏輯思維能力、想象力具有較高要求.為了順利地解決折疊問題，要注意指導學生對該類題型的本質及特征進行把握，從“點”“線”和“面”三個方面出發(fā)，找尋題目中折疊前后的變量與不變量，然后再綜合運用軸對稱圖形、相似圖形等方面的知識來進行求解，配合必要的解題訓練，可以逐步使學生掌握解決折疊問題的思路與方法.

【參考文獻】

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