指向高階思維發(fā)展的數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)

金怡婷

【摘要】學(xué)生的思維狀態(tài)決定著學(xué)生學(xué)習(xí)的效能.發(fā)展學(xué)生高階思維是當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)有之義.高階思維具有深刻性、嚴(yán)謹(jǐn)性、靈活性、批判性、創(chuàng)造性等特點(diǎn).本文結(jié)合課例“因數(shù)和倍數(shù)”，通過把握高階思維的特點(diǎn)，從促進(jìn)深度體驗(yàn)、推動(dòng)深度認(rèn)知、引領(lǐng)深度探索、發(fā)展深度交流、拓延深度實(shí)踐入手，在深度學(xué)習(xí)中實(shí)現(xiàn)低階思維向高階思維的轉(zhuǎn)變.

【關(guān)鍵詞】高階思維;深度學(xué)習(xí)

隨著數(shù)學(xué)課程改革逐步深入，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)框架逐步明確，數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)已經(jīng)成了課堂教學(xué)的重點(diǎn).布魯姆的教學(xué)目標(biāo)分類理論把認(rèn)知目標(biāo)分為六個(gè)子類：記憶、理解、應(yīng)用、分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造.其中，前三者是較低層次的認(rèn)知水平，屬于低階思維;而對(duì)知識(shí)的分析、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造是較高層次的深層認(rèn)識(shí)，屬于高階思維.因此，面對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)理念的不斷升級(jí)，把握高階思維的特點(diǎn)可以促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的產(chǎn)生與發(fā)展，從而提升數(shù)學(xué)教學(xué)品質(zhì).本文結(jié)合蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)“因數(shù)和倍數(shù)”的教學(xué)實(shí)例，闡述如何通過推動(dòng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，促進(jìn)高階思維發(fā)展的一些做法和思考.

一、促進(jìn)深度體驗(yàn)，培養(yǎng)思維的深刻性

深度學(xué)習(xí)是一種高投入的沉浸式學(xué)習(xí).知識(shí)的學(xué)習(xí)需要經(jīng)歷還原與下沉，學(xué)生通過生活化的情境可以感受知識(shí)的來龍去脈，可以了解知識(shí)的產(chǎn)生過程，進(jìn)而抓住知識(shí)的本質(zhì)和規(guī)律，加深對(duì)知識(shí)的理解.并且，深度學(xué)習(xí)從一開始就應(yīng)該是自發(fā)的、主動(dòng)的、積極的加工過程，這就需要教師巧妙設(shè)置情境，趣味引入問題，讓學(xué)生集中注意力，以最快的速度、最佳的狀態(tài)投入到學(xué)習(xí)中，進(jìn)而深入思考問題.

在課堂導(dǎo)入的教學(xué)環(huán)節(jié)中，筆者設(shè)置了用12塊正方形地磚鋪長(zhǎng)方形地面的情境（課件顯示雜亂排列的12塊小正方形地磚），隨后用卡通形象提問：“我有12塊同樣大小的正方形地磚，你能鋪出一塊長(zhǎng)方形的地面嗎？想一想，準(zhǔn)備怎么鋪？鋪出的長(zhǎng)方形是怎樣的？”學(xué)生回答：“可以每排鋪4塊，鋪3排.”“每排鋪6塊，鋪2排.”“12塊鋪成1排.”

因數(shù)和倍數(shù)的概念是抽象的，但在“鋪長(zhǎng)方形地面”的情境中卻是真實(shí)而實(shí)在的.將抽象的概念與生活實(shí)際相聯(lián)系，與具體的圖形產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，學(xué)生雖然此時(shí)并不明白因數(shù)和倍數(shù)與拼成的長(zhǎng)方形有著怎樣的關(guān)系，但在思考長(zhǎng)方形的形狀并對(duì)其進(jìn)行描述的過程中，學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)知發(fā)生了從無到有的變化，意義建構(gòu)正在悄然發(fā)生.通過這樣的巧妙導(dǎo)入，學(xué)生對(duì)因數(shù)和倍數(shù)的概念產(chǎn)生了初始的認(rèn)識(shí).緊接著，教師提問：“你能用乘法算式表示嗎？”這樣便將學(xué)生的思維從淺顯引向深入，學(xué)生發(fā)現(xiàn)原來長(zhǎng)方形的形狀是可以用乘法算式來表示的，從生活化到數(shù)學(xué)化，從圖形化到算式化，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)體驗(yàn)的深入，伴隨著思維走向深刻.由“形”到“數(shù)”，由表及里，體驗(yàn)愈深，思維愈深.

二、推動(dòng)深度認(rèn)知，培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性

數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，其概念表述、實(shí)驗(yàn)操作、邏輯推理、歸納演繹等都呈現(xiàn)出規(guī)范性與科學(xué)性的特點(diǎn).這樣的嚴(yán)謹(jǐn)并非嚴(yán)苛，而是對(duì)知識(shí)本質(zhì)的強(qiáng)調(diào)凸顯以及知識(shí)關(guān)聯(lián)間的強(qiáng)化.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以有意識(shí)地加強(qiáng)學(xué)生對(duì)概念或知識(shí)本質(zhì)的理解與內(nèi)化，加深對(duì)概念的認(rèn)知，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

“因數(shù)”和“倍數(shù)”概念的嚴(yán)謹(jǐn)性體現(xiàn)在兩個(gè)方面，一是研究范圍一般是在非0自然數(shù)內(nèi)進(jìn)行，這一點(diǎn)只需在介紹概念時(shí)簡(jiǎn)單指出即可，無須加以討論;二是因數(shù)和倍數(shù)是描述自然數(shù)之間關(guān)系的概念，客觀存在于兩個(gè)具體的自然數(shù)之間，兩者相互依存，并不能離開其中任何一個(gè)數(shù)去談因數(shù)和倍數(shù).在教學(xué)因數(shù)和倍數(shù)概念時(shí)，筆者先以“3×4=12”這個(gè)算式為例，講授因數(shù)和倍數(shù)的概念，并用剩下的兩個(gè)算式“6×2=12”“12×1=12”來進(jìn)行訓(xùn)練，加深學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí).

因數(shù)和倍數(shù)概念嚴(yán)謹(jǐn)性教學(xué)的難點(diǎn)：即使學(xué)生充分體會(huì)因數(shù)和倍數(shù)相互依存的關(guān)系，充實(shí)對(duì)概念的體驗(yàn)，筆者在教學(xué)時(shí)將這種依存關(guān)系分解成了兩道口答題：（1）4是8的（ ），4是2的（ ）.（2）有人說“6是因數(shù)，12是倍數(shù)”，這樣的說法對(duì)嗎？第一道口答題意在讓學(xué)生體會(huì)“同一個(gè)數(shù)既可以是一個(gè)數(shù)的因數(shù)，也可以是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)”，到底是因數(shù)還是倍數(shù)并不是固定不變的，而是隨它和另一個(gè)數(shù)的關(guān)系發(fā)生變化.有了第一道口答題作為鋪墊，第二道口答題便顯得水到渠成.學(xué)生發(fā)現(xiàn)在表述因數(shù)和倍數(shù)這兩個(gè)概念時(shí)，必須說清楚誰是誰的因數(shù)、誰是誰的倍數(shù)，也就是必須用完整的語句來表述因數(shù)和倍數(shù)這兩個(gè)概念是相互依存的.在對(duì)概念的深化理解中，培育了學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

三、引領(lǐng)深度探索，培養(yǎng)思維的靈活性

高階思維的培養(yǎng)需要獨(dú)立學(xué)習(xí)與合作學(xué)習(xí)的共同作用：它產(chǎn)生于高質(zhì)量的個(gè)體獨(dú)立學(xué)習(xí)中，但高質(zhì)量的獨(dú)立學(xué)習(xí)又離不開復(fù)雜情境或者說是“復(fù)雜任務(wù)導(dǎo)向”.合作學(xué)習(xí)有助于思維的碰撞與發(fā)散，學(xué)生在“學(xué)習(xí)共同體”中可以提升其思維品質(zhì).思維的靈活性是指能從不同角度、方向出發(fā)思考問題，能用多種方法來解決問題.靈活地掌握和理解知識(shí)以及應(yīng)用這些知識(shí)解決問題是深度學(xué)習(xí)的重要內(nèi)涵.當(dāng)學(xué)習(xí)的探索活動(dòng)走向深度，獨(dú)立學(xué)習(xí)與合作學(xué)習(xí)交替進(jìn)行時(shí)，學(xué)生的思維自然靈活起來.

（一）復(fù)雜任務(wù)導(dǎo)向

從“低階思維”到“高階思維”離不開學(xué)習(xí)者個(gè)體的深思，重視學(xué)生主體的自覺自悟，提倡在任務(wù)引領(lǐng)下經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生過程，能促進(jìn)思維的轉(zhuǎn)化過程.同時(shí)，任務(wù)的復(fù)雜性、時(shí)間的充分性更有助于思維的靈活發(fā)展.

教材中例2“找出36的全部因數(shù)”就是一個(gè)復(fù)雜任務(wù).學(xué)生通過例1剛剛建立起因數(shù)的概念，此時(shí)馬上轉(zhuǎn)入找一個(gè)數(shù)的全部因數(shù)，并且這是一個(gè)相對(duì)比較大的數(shù).不可否認(rèn)，這是有一定難度的.但在實(shí)際教學(xué)中，我們會(huì)驚喜地發(fā)現(xiàn)這個(gè)難度恰可以激活學(xué)生的思維：通過抓住因數(shù)的概念可以得出“凡是乘積為36的兩個(gè)自然數(shù)，都是36的因數(shù)”，這就是“辣椒”卡通的想法;如用乘法算式表示，就是“蘑菇”卡通的想法;部分學(xué)生還能在除法算式里看出因數(shù)與倍數(shù)的關(guān)系，就像“蘿卜”卡通那樣思考;還有學(xué)生結(jié)合乘、除法的關(guān)系來找，“如果一個(gè)乘數(shù)是2，另一個(gè)乘數(shù)是36÷2=18，……”假使把36換成20，降低了難度，學(xué)生可以直接由表內(nèi)乘法找到20的全部因數(shù)，那么上述的后兩種想法可能也會(huì)隨之消失.

（二）“學(xué)習(xí)共同體”

深度學(xué)習(xí)倡導(dǎo)在平等、互利和公開的基礎(chǔ)上建立“學(xué)習(xí)共同體”，強(qiáng)調(diào)合作學(xué)習(xí)、共同學(xué)習(xí).當(dāng)學(xué)生積極地一起學(xué)習(xí)時(shí)，他們可能將承擔(dān)起更高的挑戰(zhàn)，激起多角度的思考，將探索活動(dòng)推向深度.

在學(xué)生完成“36的因數(shù)”的自主探索后，我找了幾份有“代表性”的作品，讓“作者”分別說說是怎樣找到36的全部因數(shù)的.“作者”把想法“輸出”，聽眾把想法“輸入”.接著，讓學(xué)生自主評(píng)價(jià)“你喜歡誰的作品？說說你的理由.”在分析、比較、評(píng)價(jià)中逐步形成了找法的優(yōu)化，傳遞了有序的數(shù)學(xué)思想，推動(dòng)探索的深度發(fā)展，助力發(fā)散思維與聚斂思維的并行推進(jìn).

四、發(fā)展深度交流，培養(yǎng)思維的批判性

“深度”是建立在完整而深刻的處理和理解知識(shí)的基礎(chǔ)之上的.深度學(xué)習(xí)的過程并不是一蹴而就的，它是一個(gè)逐步深化的學(xué)習(xí)過程，在這個(gè)過程中必定有曲折、有阻礙、有分歧.交流是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行深度加工的重要工具，交流中的爭(zhēng)辯是無可厚非的，也只有經(jīng)歷這樣的爭(zhēng)辯才能鞏固對(duì)知識(shí)本質(zhì)的掌握，才能對(duì)知識(shí)進(jìn)行深度加工.與此同時(shí)，這樣深入的交流也會(huì)使學(xué)生的批判性思維在慢慢生長(zhǎng).

在探究“一個(gè)數(shù)因數(shù)的特點(diǎn)”時(shí)，筆者通過“一屏展示”的方式，即把先前在探索“找一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法”教學(xué)環(huán)節(jié)中涉及的找36、15和16的因數(shù)的結(jié)果有意識(shí)地將它們?cè)O(shè)計(jì)在一張課件中顯示，意在讓學(xué)生通過觀察這些數(shù)的因數(shù)，進(jìn)而產(chǎn)生比較，發(fā)現(xiàn)一個(gè)數(shù)因數(shù)的特點(diǎn).由于材料的特殊性與局限性，大部分學(xué)生的第一反應(yīng)是“一個(gè)數(shù)越大，它的因數(shù)個(gè)數(shù)就越多”，但顯然這并不正確.筆者在備課過程中也曾思考通過改變素材從而盡量避免這樣的錯(cuò)誤結(jié)論.但如果事事“一帆風(fēng)順”，處處出于刻意，那課堂是不是就盡由教師掌控，失去了應(yīng)有的生機(jī)與趣味？因此，筆者在課堂上沒有特意回避這個(gè)問題，相反展開了追問：“6的因數(shù)有幾個(gè)？”“4個(gè).”“7比6大，7的因數(shù)有幾個(gè)？”“2個(gè).”“大的那個(gè)數(shù)因數(shù)反而少了，你的結(jié)論還正確嗎？”“不正確.”簡(jiǎn)單的一個(gè)例子，學(xué)生豁然開朗.值得一提的是，在有的班級(jí)上課時(shí)，這樣的追問出自于學(xué)生自己.當(dāng)學(xué)生開始反思自己的問題、開始對(duì)同伴提出異議時(shí)，批判性思維由此開始生長(zhǎng).這樣的問題還有：有學(xué)生認(rèn)為“單數(shù)的因數(shù)有雙數(shù)個(gè)，雙數(shù)的因數(shù)有單數(shù)個(gè).”很快就被其他同學(xué)給否定了，因?yàn)樗麄儼l(fā)現(xiàn)“6的因數(shù)有4個(gè).”交流在走向深入，思維在發(fā)生碰撞.故意營(yíng)造的“障礙”，適切適時(shí)的“追問”，能夠讓學(xué)生的學(xué)習(xí)過程變得主動(dòng)熱烈，將師生、生生間的交流引向深層次，將學(xué)生對(duì)知識(shí)的“淺表認(rèn)識(shí)”推向“深層認(rèn)識(shí)”，實(shí)現(xiàn)批判性學(xué)習(xí).

五、拓延深度實(shí)踐，培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性

深度學(xué)習(xí)要求學(xué)習(xí)者在對(duì)知識(shí)本身獲得深度理解的基礎(chǔ)上，力圖將它們遷移到不同的情境中，以解決現(xiàn)實(shí)問題.其本質(zhì)是在對(duì)知識(shí)高度概括基礎(chǔ)上進(jìn)行新穎組合后的系統(tǒng)遷移，在遷移過程中離不開學(xué)習(xí)者思維的創(chuàng)造性.因此，在教學(xué)中，我們要適度放大知識(shí)的運(yùn)用、拓寬知識(shí)的外延、挖掘知識(shí)的內(nèi)涵，創(chuàng)設(shè)具有深度的情境場(chǎng)域，給予學(xué)生充分的思維空間，以實(shí)現(xiàn)實(shí)踐之外的深度拓延，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維.

在練習(xí)應(yīng)用的最后環(huán)節(jié)，筆者采用了學(xué)生喜愛的游戲方式設(shè)計(jì)了名為“誰中獎(jiǎng)啦？”的活動(dòng).游戲規(guī)則如下：每個(gè)學(xué)生有一個(gè)數(shù)牌（自然數(shù)1-50），課件顯示一個(gè)數(shù)，如果誰數(shù)牌上的數(shù)是課件上數(shù)的因數(shù)或倍數(shù)，那么誰就中獎(jiǎng)了.如果數(shù)牌上的數(shù)是課件上數(shù)的因數(shù)，就獲得獎(jiǎng)品A;是倍數(shù)，就獲得獎(jiǎng)品B.游戲共分三輪：第一輪課件顯示8;第二輪課件顯示11;第三輪課件顯示1.

第一輪游戲過后，學(xué)生除了能迅速反應(yīng)，給出給定數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)并完整地進(jìn)行表述外，還發(fā)現(xiàn)“如果數(shù)牌的數(shù)和課件上的數(shù)一樣，就能收獲兩份獎(jiǎng)品”，這是對(duì)“一個(gè)數(shù)的因數(shù)最大是其本身和一個(gè)數(shù)的倍數(shù)最小是其本身”的靈活運(yùn)用.有了這樣的思考，學(xué)生開始希望課件出示的數(shù)如果和自己數(shù)牌上的數(shù)相同就最好了;不僅如此，還有退一步想的備選方案：即課件出示的數(shù)是自己數(shù)牌上數(shù)的因數(shù)或倍數(shù)，機(jī)靈的孩子已經(jīng)對(duì)出現(xiàn)哪些數(shù)自己能獲獎(jiǎng)胸有成竹.學(xué)生已經(jīng)并不是被動(dòng)地在參與游戲，等待數(shù)的出現(xiàn)，而是思考著“課件出示哪個(gè)數(shù)自己可以中獎(jiǎng)”“我希望課件上的數(shù)是幾”在進(jìn)行游戲.第二輪游戲并不是第一輪游戲的簡(jiǎn)單重復(fù)，而是選擇了不同于第一輪游戲的質(zhì)數(shù)11，雖然本節(jié)課并未提及質(zhì)數(shù)與合數(shù)，但在此處可以給學(xué)生初次的體驗(yàn)，初步感受質(zhì)數(shù)因數(shù)的特點(diǎn).另外，經(jīng)過兩輪游戲，學(xué)生又產(chǎn)生了新的體驗(yàn)：“數(shù)牌是1的同學(xué)每次都能中獎(jiǎng)”，感受到所有的數(shù)的因數(shù)里都有1.第三輪游戲后，學(xué)生對(duì)因數(shù)和倍數(shù)又有了新的發(fā)現(xiàn)：“1是所有不是0的自然數(shù)的因數(shù)，所有不是0的自然數(shù)都是1的倍數(shù)”.

通過這樣一個(gè)有趣的游戲，不僅鞏固了因數(shù)和倍數(shù)的相關(guān)知識(shí)，還挖掘了它們背后潛藏的知識(shí)點(diǎn)，一步步向著更深處實(shí)踐著.而那些或藏于學(xué)生內(nèi)心或脫口而出的聲音就是學(xué)生深度學(xué)習(xí)實(shí)踐的現(xiàn)實(shí)展現(xiàn).在不露痕跡的巧心構(gòu)思中，讓學(xué)生的創(chuàng)造性思維大放異彩.

結(jié) 語

由于思維具有整體性，任何思維品質(zhì)并不單獨(dú)存在于學(xué)習(xí)過程的某一環(huán)節(jié)，只是其中占主導(dǎo)作用的成分有所不同.教學(xué)要用整體性的視野規(guī)劃整個(gè)教學(xué)流程，落實(shí)深度學(xué)習(xí)的發(fā)生，推動(dòng)高階思維的發(fā)展.