混凝土箱梁截面穩(wěn)態(tài)溫度場的徑向基函數(shù)配點法反演

孫維剛， 張筱雨， 秦 煜， 許軍才

(1.石家莊鐵道大學土木工程學院， 石家莊 050043； 2.長安大學公路學院， 西安 710064；3.中鐵二院重慶勘察設計研究院有限責任公司， 重慶 400023; 4.河海大學力學與材料學院， 南京 210098)

在混凝土箱梁溫度場分析中，截面內(nèi)部分測點溫度值較為容易測得，但若要仿真整個截面的溫度場，需要確定邊界條件類型、邊界條件參數(shù)，如對流系數(shù)、環(huán)境溫度等，其中有些參數(shù)難以準確確定[1]. 這類通過已知部分測點溫度值來求解邊界條件或直接模擬整個截面溫度場的問題，可以視作熱傳導反問題[2]. 解決這種缺省邊界條件下的溫度場仿真問題，對精確計算混凝土溫度場、模擬溫度效應，具有一定意義.

無網(wǎng)格法是一種新型的數(shù)值分析方法，它避免了網(wǎng)格劃分，在解決不規(guī)則形式的數(shù)值計算方面，具有一定優(yōu)勢. 徑向基函數(shù)配點(radial basis function collection method， RBFCM)法[3]從某種意義上來說是一種真正的無網(wǎng)格方法. 它與空間維數(shù)無關，具有形式簡單、各向同性等優(yōu)點，可以逼近幾乎所有的函數(shù)[4]. 早期研究者希望用解析方法研究熱傳導反問題，但是由于實際問題的復雜性和多樣性，只有少數(shù)問題能夠求得解析解. Yu 等[5]研究基于解的反演無網(wǎng)格法，并將其應用于穩(wěn)態(tài)熱傳導問題的邊界溫度和對流分布的確定.

無網(wǎng)格方法目前已成為計算科學研究的熱點之一，由于對其研究較晚，目前尚未解決的問題較多，對其應用進行研究是非常重要的[6]. 無網(wǎng)格法在工程中有大量應用，取得了一定成效，但是從發(fā)展狀況來看，對無網(wǎng)格徑向基函數(shù)配點法的研究重點還處在理論階段，無網(wǎng)格法主要應用于解決規(guī)則的長方形或者不規(guī)則的圓形結構問題，在箱梁結構中的應用鮮有報道[3-6]. 因此，結合對無網(wǎng)格徑向基函數(shù)配點法的理論研究，對混凝土箱梁截面穩(wěn)態(tài)溫度場進行分析，針對具體問題，編程對混凝土箱梁溫度場進行模擬，實現(xiàn)對混凝土箱梁溫度場的反演.

1 二維穩(wěn)態(tài)熱傳導理論

1.1 熱傳導方程

二維穩(wěn)態(tài)熱傳導問題的熱傳導方程為

(1)

1.2 邊界條件

混凝土水化熱的邊界條件，通常采用第三類邊界條件，即采用對流邊界條件. 數(shù)學表達式為

(2)

式中：Ta為環(huán)境溫度，℃；β為表面對流系數(shù)，kJ/(m2·h·℃)；λ為導熱系數(shù)，kJ/(m·h·℃).

2 徑向基函數(shù)配點法

徑向基函數(shù)法具有形式簡單、和空間維數(shù)無關、收斂速度快的特點[7]，F(xiàn)ranke等[8]比較了20種離散數(shù)據(jù)插值方法，發(fā)現(xiàn)Hardy提出的多二次函數(shù)(multiquadrics，MQ)[9]插值精度更高. 逆多二次函數(shù)(reciprocal MQ，RMQ)是多二次函數(shù)MQ的倒數(shù).

徑向基函數(shù)是以Euclideam范數(shù)r=‖x-xk‖為自變量的函數(shù)，記為Φ(r)或者Φ(‖x-xk‖)，式中xk為空間中的場節(jié)點(基點).

2.1 徑向基函數(shù)

定義在全域上的以節(jié)點xi(i=1,2，…，N)為中心的徑向基函數(shù)有[10]

MQ函數(shù)

(3)

RMQ函數(shù)

(4)

式中ds為支撐域尺寸.

2.2 支持域尺寸

ds計算公式為

ds=c0dc

(5)

式中：c0為該支撐域的量綱一的形狀參數(shù)；dc為位于計算點附近支撐域內(nèi)的節(jié)點間距.

節(jié)點平均間距可以簡單定義為

(6)

式中：As為預估支持域的面積；nAs為包含在該面積內(nèi)的預估支持域中的節(jié)點數(shù).

2.3 徑向基函數(shù)插值

將求解域區(qū)域用場節(jié)點離散，函數(shù)u(x)在域Ω中的近似函數(shù)uh(x)可用各場節(jié)點xk為中心的徑向基函數(shù)φi(‖x-xi‖)的線性組合表示為

(7)

式中：ai為待定系數(shù)；φi(‖x-xi‖)為MQ函數(shù)或RMQ函數(shù).

假設該近似函數(shù)uh(x)在給定的離散節(jié)點處xi(i=1,2，…，N)與由控制方程和邊界條件決定的已知函數(shù)值ui=u(xi)相等，從而建立關于系數(shù)ai的線性方程組

(8)

用矩陣方程表示為

Φa=u

(9)

式中

求解線性方程組，得到系數(shù)a. 由于配點法中矩陣u是根據(jù)控制方程或者邊界條件確定的已知條件，所以a是能夠求解的，且不包含未知數(shù).

a=Φ-1u

(10)

將a代入式(7)得到任一計算點的溫度場.

3 徑向基函數(shù)配點法推導熱傳導方程

將函數(shù)u(x)具體化為T(x). 近似函數(shù)T(x)可用各場節(jié)點xk為中心的徑向基函數(shù)φi(‖x-xi‖)的線性組合表示為

(11)

3.1 熱傳導方程

對于二維穩(wěn)態(tài)熱傳導方程進行無網(wǎng)格法變換，可以表示為

(12)

3.2 邊界條件

第三類邊界條件的無網(wǎng)格表示為

(13)

將式(13)寫成矩陣的形式并合并同類項為

(14)

4 徑向基函數(shù)配點法數(shù)值模型建立

4.1 穩(wěn)態(tài)溫度場分析總體剛度矩陣

假設箱梁結構共有N個計算點，其中箱梁內(nèi)部有n0個計算點，滿足第三類邊界條件的有n1個計算點，組裝相應計算點的方程可得到徑向基函數(shù)配點法正分析離散系統(tǒng)方程為

Ka=F

(15)

式中的總體剛度矩陣K和總體源向量F的形式為

式中N=n0+n1.

對于反問題，部分條件未知但部分測點的溫度值已知，因此，增加附加條件式

(16)

式中：nc表示已知溫度值的測點數(shù)；右側(cè)fi(x,y)表示測點實測溫度值.

此時，求解域內(nèi)部已知溫度值的測點不僅滿足控制方程式(11)(12)，而且滿足附加條件式(16). 從式(15)(16)求得系數(shù)ai并代入式(11)，即可求得穩(wěn)態(tài)溫度場.

4.2 誤差分析

計算結果的誤差通過相對均方根誤差(relative root mean square error，RRMSE)體現(xiàn)，計算公式為

(17)

式中：Tj為精確解，本文視有限元解為精確解;Te,j為計算值；P為測試RRMSE的數(shù)據(jù)數(shù)量. 無網(wǎng)格法通過有限測點溫度值仿真全截面箱梁溫度場，這是有限元法所不具備的功能. 研究目的不是對比無網(wǎng)格法和有限元法在仿真溫度場時精度的高低，因此，以有限元法作為反分析結果校核的標準，能相對體現(xiàn)無網(wǎng)格法分析的準確性.

5 箱形截面溫度場反演分析

為了研究徑向基函數(shù)配點法數(shù)值模型的實用性，以混凝土箱梁為例，研究表面邊界條件缺失情況下的混凝土箱梁溫度場反問題.

5.1 問題描述

以某典型混凝土箱形截面為研究對象，其截面如圖1所示. 混凝土導熱系數(shù)λ=10.09 kJ/(m·h·℃)，表面的對流系數(shù)均為β=60 kJ/(m2·h·℃). 箱梁頂面邊界Γ1：TΓ1=35 ℃；箱梁內(nèi)表面邊界Γ2：TΓ2=20 ℃；其余外表面邊界Γ3：TΓ3=30 ℃. 反演分析中，假設右側(cè)腹板邊界條件未知，無網(wǎng)格法場節(jié)點離散圖見圖2，有限元法網(wǎng)格劃分見圖3，溫度測點布置見圖4.

5.2 結果分析

無網(wǎng)格節(jié)點坐標值等于對應有限元網(wǎng)格劃分后的節(jié)點坐標值，節(jié)點離散間距為0.2 m. 配點法計算時，箱梁內(nèi)部邊界和外部邊界均采用對流邊界條件. 節(jié)點離散如圖2所示. 分別對比采用RMQ和MQ函數(shù)的配點法的計算結果. 計算不同c0下的RRMSE，見圖5.

從圖5中可以看出，當c0在0.5～9.0范圍內(nèi)，形狀參數(shù)c0和RRMSE形成近似二次曲線型關系，MQ配點法的RRMSE曲線更為規(guī)則，RRMSE的最大值在范圍的兩端，RRMSE變化明顯，而RMQ配點法的RRMSE曲線規(guī)則性不強，較為平緩，并且在c0=0.8～0.85時，RRMSE驟降.

MQ配點法在c0=5時，RRMSE最小，為0.003 92. RMQ配點結果在c0=3.5時，RRMSE最小，為0.003 44，表明采用RMQ配點法的正算效果優(yōu)于MQ配點法.

反演時，由于域內(nèi)有已知的節(jié)點溫度值，因此，正分析中由控制方程離散的實測點處的溫度場方程，轉(zhuǎn)化為溫度場已知的離散方程. 分別對比采用RMQ和MQ函數(shù)配點法的計算結果，計算不同c0下的RRMSE，見圖6.

從圖6中可以看出，MQ配點法下，在c0=3之前，RRMSE穩(wěn)定，當c0=3.5時，RRMSE突變，在c0=4.5之后，RRMSE又出現(xiàn)震蕩，當c0=4.5時，RRMSE最小，為0.013 21. RMQ配點法下，在c0=3.5之前，RRMSE穩(wěn)定，當c0=4.0時，RRMSE突變，當c0=2.0時，RRMSE最小，為0.006 872. 表明采用RMQ配點法的反演效果優(yōu)于MQ配點法.

以上分析表明，有限元和徑向基函數(shù)配點法的計算結果吻合度較高. 基于徑向基函數(shù)配點法，在部分邊界條件缺失的情況下，能將測點實測溫度值作為已知的附加條件，直接代入徑向基函數(shù)配點法離散矩陣，求出待定系數(shù)向量，進而確定整個截面的溫度場，可以避免求解邊界對流條件，克服部分邊界條件未知導致的溫度場仿真困難.

6 結論

文章推導并建立混凝土箱梁截面穩(wěn)態(tài)溫度場正反分析的徑向基函數(shù)配點法模型，并將該模型應用于混凝土箱梁截面穩(wěn)態(tài)溫度場的計算中.

1) 對于箱形截面穩(wěn)態(tài)分析，正算中，當c0為0.5～9.0，c0和RRMSE形成近似凹曲線型關系，采用MQ和RMQ函數(shù)的配點法求得的溫度值和有限元結果的RRMSE存在最小值.

2) 反演中，MQ函數(shù)配點法下，在c0=3之前，RRMSE穩(wěn)定，當c0=3.5時，RRMSE突變，在c0=4.5之后，RRMSE又出現(xiàn)震蕩，RRMSE存在最小值.c0-RRMSE曲線為震蕩型凹型線.

3) 采用徑向基函數(shù)配點法計算的溫度值和有限元法計算的溫度值在箱梁截面的對應節(jié)點上差值較小，吻合度較高. 采用RMQ配點法的正算和反演效果均優(yōu)于MQ配點法.

4) 徑向基函數(shù)配點型無網(wǎng)格法可以避免求解邊界條件，克服邊界條件缺失對仿真溫度場的限制，為提高箱梁溫度場仿真精度提供便捷的方法.