幾何證明、尺規(guī)作圖的解題規(guī)范與解題技巧

摘要：幾何證明（文字證明題）、尺規(guī)作圖題近兩年在福建省中考卷是必考題，基本定位為基礎(chǔ)題（送分題），然而從考后的質(zhì)量分析看，這兩類題的得分并不高，丟分主要集中在書寫表達(dá)不規(guī)范、幾何證明邏輯錯(cuò)誤、推理過程條理混亂等。下面就幾何證明、尺規(guī)作圖的解題規(guī)范與解題技巧說說幾點(diǎn)意見。

關(guān)鍵詞：幾何證明;尺規(guī)作圖;解題規(guī)范;解題技巧

一、 幾何證明的解題規(guī)范與技巧

（一）幾何證明題解題步驟與技巧

一審題。先讀完題目，弄清楚題目意思，需要求證什么。對于題目中的條件應(yīng)思考條件之間的聯(lián)系，聯(lián)想能得到什么結(jié)論;結(jié)論可以由什么條件得到。二要標(biāo)記。讀題時(shí)每個(gè)條件都要在圖形中標(biāo)注出來。如邊相等，就用邊相等的符號(hào)來表示。三要構(gòu)造。有的題目隱藏某條線或幾條線，所以我們要學(xué)作輔助線，那么這里的作輔助線就需要平時(shí)熟練掌握定理推論和基本圖形。然后再考慮證明還缺少哪些條件，把題目轉(zhuǎn)換成證明其他的結(jié)論，通常缺少的條件會(huì)在第三步引申出的條件和題目中。

幾何的文字證明題，關(guān)鍵是要分清題目的條件和結(jié)論，然后“翻譯”成符號(hào)語言和圖形語言;再分析思路，書寫證明過程。

（二）幾何證明題書寫規(guī)范

證明題規(guī)范書寫，就是要按嚴(yán)密的邏輯推理，執(zhí)因索果，言簡意賅。書寫要有條理性，有根有據(jù);關(guān)鍵得分點(diǎn)要寫，表述要準(zhǔn)確，還有字跡要清晰，這樣才能提高得分。下面舉例說明：

（問題1：沒有從已知條件出發(fā)，題目的原始條件是ABCD）

（問題2：作為一道大題分值高步驟少，每一步都是得分點(diǎn)應(yīng)該書寫詳細(xì)，應(yīng)將證明三角形全等的條件羅列清楚）

（問題3：語句不完整，應(yīng)改為：四邊形ABCD是平行四邊形或在ABCD中）

又∵對頂角相等（問題4：對頂角相等直接用）

（問題5：濫用又∵，又∵是需要多個(gè)條件得到結(jié)論的情況下使用表示補(bǔ)充，此處對頂角相等一個(gè)條件便可得到結(jié)論，不需要又∵）

【例2】求證：相似三角形對應(yīng)邊上的中線之比等于相似比。

要求：①根據(jù)給出的△ABC及線段A′B′，∠A′（∠A′=∠A），以線段A′B′為一邊，在給出的圖形上用尺規(guī)作出△A′B′C′，使得△A′B′C′∽△ABC，不寫作法，保留作圖痕跡;

②在已有的圖形上畫出一組對應(yīng)中線，并據(jù)此寫出已知、求證和證明過程。

不規(guī)范書寫3：

已知，如圖，△ABC∽△A′B′C′，對應(yīng)邊成比例，D是AB的中點(diǎn)，D′是A′B′的中點(diǎn)。

求證：中線比等于相似比。

（問題6：沒有結(jié)合圖形將文字語言轉(zhuǎn)化為幾何語言。）

證明：∵△ABC∽△A′B′C′，

A′B′AB=B′C′BC=A′C′AC=k，∠A′=∠A，∠B′=∠B，∠C′=∠C

（問題7：將條件所得所有結(jié)論都羅列出來，有些結(jié)論與答題無關(guān)沒有必要。）

二、 尺規(guī)作圖的解題規(guī)范與技巧

（一）尺規(guī)作圖有關(guān)知識(shí)

在幾何里，用沒有刻度的直尺和圓規(guī)來畫圖，叫做尺規(guī)作圖。最基本、最常用的尺規(guī)作圖，通常稱基本作圖。初中五種常用的基本作圖是：（1）作一條線段等于已知線段;（2）作一個(gè)角等于已知角;（3）平分已知角;（4）作線段的垂直平分線;（5）經(jīng)過一點(diǎn)作已知直線的垂線。學(xué)過基本作圖后，在以后的作圖中，遇到屬于基本作圖的地方，只需用一句話概括敘述就可以了。如：（1）作線段××=××;（2）作∠×××=∠×××;（3）作××（射線）平分∠×××;（4）過點(diǎn)×作××⊥××，垂足為×;（5）作線段××的垂直平分線××。

（二）常見幾何作圖語句

（1）過點(diǎn)×、點(diǎn)×作直線××;或作直線××，或作射線××;

（2）連結(jié)兩點(diǎn)×、×;或連結(jié)××;

（3）在××上截取××=××;

（4）以點(diǎn)×為圓心，××為半徑作圓（或?。?

（5）以點(diǎn)×為圓心，××為半徑作弧，交××于點(diǎn)×;

（6）分別以點(diǎn)×、點(diǎn)×為圓心，以××、××為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)××;

（7）延長××到點(diǎn)×，或延長××到點(diǎn)×，使××=××。

（三）尺規(guī)作圖解題技巧

近幾年中考作圖題形式有改變，不再滿足檢測圖形變換等常見知識(shí)點(diǎn)，著重考查學(xué)生動(dòng)手操作及課本一些畫圖知識(shí)。尺規(guī)作圖解題關(guān)鍵是要弄清作圖原理與根據(jù)，牢記五種常用的基本作圖的方法，要求學(xué)生熟練掌握全等三角形判定后，重新審視作圖依據(jù)，梳理基本作圖的內(nèi)在聯(lián)系;描述作圖步驟，把文字語言轉(zhuǎn)化為圖形表達(dá)，按所作圖形的等量關(guān)系用幾何符號(hào)表達(dá)。

【例3】已知銳角∠AOB，如圖，

（1）在射線OA上取一點(diǎn)C，以點(diǎn)O為圓心，OC長為半徑作PQ，交射線OB于點(diǎn)D，連接CD;

（2）分別以點(diǎn)C，D為圓心，CD長為半徑作弧，交PQ于點(diǎn)M，N;

（3）連接OM，MN。

根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（?? ）

A. ∠COM=∠COD

B. 若OM=MN，則∠AOB=20°

C. MN∥CD

D. MN=3CD

解答思路與技巧1：

學(xué)生需要理解圖是如何作出來的，即根據(jù)提供的作圖步驟文字描述表達(dá)成符號(hào)語言和圖形語言。由作圖知CM=CD=DN，又由于PQ是以O(shè)為圓心的圓的一部分，根據(jù)定理在同圓或等圓中，弦相等則弦所對的圓心角也相等，可得∠COM=∠COD，故A選項(xiàng)正確;

解答思路與技巧2：

添加作圖中“過程性”的輔助線。在作圖中，

把每一步使用圓規(guī)截取的線顯現(xiàn)出來，這樣有助于圖形的分析。

如圖，連接ON，CM，DN。由OM=ON=MN，

得∠MON=60°，由CM=CD=DN，知∠MOA=∠AOB=∠BON=13∠MON=20°，故B選項(xiàng)正確;由∠MOA=∠AOB=∠BON=20°，得∠OCD=∠OCM=80°，因此∠MCD=160°，結(jié)合圓周角定理又得∠CMN=12∠AON=20°，所以∠MCD+∠CMN=180°，即MN∥CD，故C選項(xiàng)正確;由于MC+CD+DN>MN，且CM=CD=DN，所以3CD>MN，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤。

（四）尺規(guī)作圖規(guī)范

尺規(guī)作圖的點(diǎn)要標(biāo)大寫字母，作圖完確認(rèn)無誤后描黑，最后要下結(jié)論。

三、 結(jié)語

對于幾何證明，在教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生對基本性質(zhì)定理、判定定理的理解鞏固與訓(xùn)練;學(xué)生的邏輯推理能力普遍較弱，因此對于基本題及其變式題的訓(xùn)練尤為重要;重視幾何題過程書寫的邏輯性、條理性，強(qiáng)調(diào)來龍去脈要清楚，步步有據(jù)，不能想當(dāng)然，不能自加條件。新課教學(xué)時(shí)都要耐心、細(xì)致教會(huì)學(xué)生符號(hào)語言的表達(dá);強(qiáng)調(diào)答題的規(guī)范性要求：如畫圖要用工具，輔助線要虛線，要強(qiáng)調(diào)用黑色簽字筆描黑，符合要求，要準(zhǔn)確到位。

對于尺規(guī)作圖，在平時(shí)教學(xué)中要研究課本，學(xué)好教材;注重尺規(guī)作圖原理的分析;重視發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力。

幾何證明和尺規(guī)作圖二者相輔相成，幾何證明是尺規(guī)作圖思維過程的體現(xiàn)，而尺規(guī)作圖又是幾何證明演繹推理的源頭。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳輝，林進(jìn)東.返璞歸真，突出本質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)——2018年福建中考數(shù)學(xué)試題分析與啟示[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（3）：38-41.

[2]陳少毅，張小峰.以中考為例，談新課標(biāo)下尺規(guī)作圖教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2016（5）：14-16.

作者簡介：

鄭秋月，福建省漳州市，福建省漳州市第八中學(xué)。