《平面向量基本定理(1)》的教學(xué)反思與重構(gòu)

蔣智東 周建平

[摘要]平面向量基本定理是數(shù)學(xué)的核心概念，教師要努力揭示數(shù)學(xué)定理的發(fā)展過程和本質(zhì)，通過例題教學(xué)鞏固知識、訓(xùn)練技能，通過課堂小結(jié)完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

[關(guān)鍵詞]平面向量;基本定理;反思;重構(gòu)

[中圖分類號]G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A [文章編號]1674-6058（2020）05-0001-03

定理教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)，教師要努力揭示數(shù)學(xué)定理的發(fā)展過程和本質(zhì)，通過典型例子的分析和學(xué)生自主探究活動，使學(xué)生理解定理產(chǎn)生的背景和逐步形成的過程，體會蘊含在其中的思想，領(lǐng)悟定理本質(zhì)及豐富內(nèi)涵，定理只有被深刻理解，學(xué)生才具有遷移與應(yīng)用的能力。

但是，在日常教學(xué)中，我們也看到許多教師把定理教學(xué)的重點放在情境引入、定理的形成以及定理體系的建構(gòu)等環(huán)節(jié)上，對于例題教學(xué)、課堂小結(jié)等在定理教學(xué)中的作用和地位重視程度不夠，認(rèn)識研究不足，定理教學(xué)缺乏系統(tǒng)性，削弱了學(xué)生對定理本質(zhì)的理解及其應(yīng)用，因此，很有必要研究定理教學(xué)的規(guī)律。

一、例題教學(xué)是定理教學(xué)不可或缺的組成部分

1.對例題教學(xué)的認(rèn)識及教學(xué)現(xiàn)狀

例題教學(xué)即設(shè)計例題，分析、解決例題的活動，它是定理教學(xué)的重要組成部分，它是把知識、技能和思想方法聯(lián)系起來的紐帶，它承擔(dān)著理解定理本質(zhì)的作用，它還擔(dān)負(fù)著把知識轉(zhuǎn)化為能力的重要使命。

那么，在《平面向量基本定理（1）》的教學(xué)中，我們的教師正在進(jìn)行怎樣的例題教學(xué)呢？

意圖是在用基底線性表示的基礎(chǔ)上，利用線性表示的唯一性求解參數(shù)，希望在完成一定數(shù)量題目的基礎(chǔ)上加深對定理的理解，體會其應(yīng)用。

2.分析與反思

本節(jié)課是《平面向量基本定理》的第1課時，這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)主要是探究定理的形成過程，體會并理解定理的內(nèi)容，因此，例題的設(shè)計，要緊緊圍繞本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行，在整個課堂教學(xué)過程中應(yīng)為熟悉、鞏固定理內(nèi)容，理解定理本質(zhì)服務(wù)，在此基礎(chǔ)上，我們可以對上述各種情形進(jìn)行反思。

（1）從上面的例題意圖分析來看，例1起到了鞏固理解定理的作用，例2及其拓展是在平面向量定理的基礎(chǔ)上進(jìn)行向量的運算，屬于應(yīng)用范疇，已經(jīng)偏離了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，說明許多教師對例題在定理教學(xué)中的定位和作用認(rèn)識不足，缺乏對例題教學(xué)在定理體系建構(gòu)中的作用的認(rèn)識。

（2）在定理的實際教學(xué)中，許多教師認(rèn)為只要通過一定量的例題引導(dǎo)和足夠的練習(xí)訓(xùn)練，學(xué)生便自然能理解所學(xué)定理，因此，在定理教學(xué)中存在忽視定理的形成過程，而在以例題為載體的應(yīng)用上“濃墨重彩”，李士錡教授在《熟能生巧嗎？》一文中指出，熟練并不一定能自然達(dá)到理解，片面強調(diào)機械記憶、模仿訓(xùn)練及復(fù)雜技巧無益于定理本質(zhì)和蘊含的思想的理解，反而增加了學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān)，而不理解的知識是難以記憶的，更說不上掌握和靈活應(yīng)用了。

（3）例題教學(xué)中，變式教學(xué)可以幫助學(xué)生從不同角度加深對定理的理解，使其更加接近其本質(zhì)，上面例1和例2的變式與例題并無本質(zhì)的變化，只起到了熟化的作用，例1的變式不妨可以考慮在同一背景下，用不同的基底來表示同一個向量;例2為促進(jìn)學(xué)生對共線向量的進(jìn)一步理解，可以讓學(xué)生將公共起點換成B再證明一次。

3.有效重構(gòu)

通過例題教學(xué)，鞏固理解定理，通過例題教學(xué)運用定理，這就是定理教學(xué)中例題的教學(xué)功能，結(jié)合教學(xué)實際，我們認(rèn)為《平面向量基本定理（1）》的例題設(shè)計，重點應(yīng)放在鞏固理解定理上，由教材中的例1來承擔(dān);對于定理的應(yīng)用，可以放在后面的課時，由教材中的例2及其適當(dāng)?shù)淖兪胶屯卣箒沓袚?dān)。

利用選定的基底，通過三角形法則和平行四邊形法則，可以表示平面內(nèi)任一向量，這是向量運算的起點，雖然基本但很重要，學(xué)生需熟練掌握，這一過程體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的思想，前面案例中的例1就可以起到這個作用，它使定理具有可操作性，我們還可以通過變式，進(jìn)一步挖掘例題的潛在價值。

意圖是使學(xué)生明確，同一平面圖形中的基底不是唯一的。

變式2：在上述平行四邊形中，若E是MD的中點，試分別用a，b和m，n表示AE。

意圖是使學(xué)生明確，同一平面圖形中的基底是可以選擇的，不同基底的選擇會影響到解題的繁簡程度，使學(xué)生認(rèn)識到選擇基底的重要性，深入體會定理的作用。

兩個變式不但強化了用基底表示向量的技能，還大大提升了學(xué)生對定理的認(rèn)識水平。

例題的設(shè)計，要結(jié)合時間、學(xué)情、內(nèi)容等因素統(tǒng)籌考慮，關(guān)注題目的數(shù)量和質(zhì)量，在我們所聽到的多節(jié)《平面向量基本定理》第1課時的公開課、評優(yōu)課中，大家都能將定理的探究作為重點，因此，一般都只能完成到例1和它的一到兩個變式，至此，我們認(rèn)為本節(jié)課的教學(xué)目的已基本達(dá)到。

例題教學(xué)是知識理解與能力提升的紐帶與載體，例題教學(xué)是課堂教學(xué)至關(guān)重要的一環(huán)，如何去除例題教學(xué)功能的純工具化定位，實現(xiàn)例題教學(xué)效果的最優(yōu)化，需要我們不斷思考和總結(jié)。

二、課堂小結(jié)是課堂教學(xué)的“把關(guān)者”

1.對課堂小結(jié)的認(rèn)識及教學(xué)現(xiàn)狀

課堂小結(jié)是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，廣大教師在實際教學(xué)中，已將課堂小結(jié)常態(tài)化，說明教師已經(jīng)認(rèn)識到課堂小結(jié)在課堂教學(xué)中的地位和作用。

那么，在《平面向量基本定理（1）》的教學(xué)中，我們的教師正在進(jìn)行怎樣的例題教學(xué)呢？

情形1：教師以提問的形式讓學(xué)生回顧并敘述平面向量基本定理的內(nèi)容，并以板書的形式呈現(xiàn)定理中的關(guān)鍵點，比如“基底”“唯一表示”等，強化學(xué)生對所學(xué)知識的掌握。

情形2：教師對定理教學(xué)有進(jìn)一步的體會，他們在讓學(xué)生回顧定理內(nèi)容、強調(diào)關(guān)鍵點之后，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合例題來體會定理的本質(zhì)，增加感悟的環(huán)節(jié)，為下面的應(yīng)用打下基礎(chǔ)。

情形3：教師會在回顧、感悟定理內(nèi)容的基礎(chǔ)上，組織學(xué)生提煉在情境引入、定理形成等環(huán)節(jié)所用到的數(shù)學(xué)思想方法以及定理本身所體現(xiàn)的思想方法，以定理教學(xué)為載體來感悟數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用。

2.分析與反思

上述情形下的課堂小結(jié)是否發(fā)揮出了應(yīng)有的作用呢？從形式上來看，情形1的課堂小結(jié)只有單一數(shù)學(xué)知識的簡單羅列，較為關(guān)注課堂所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識，重視本節(jié)課知識結(jié)構(gòu)的建構(gòu)，忽視引導(dǎo)學(xué)生對本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行理性的反思過程;情形2有感悟環(huán)節(jié)，但缺少方法論的提升和數(shù)學(xué)經(jīng)驗的梳理總結(jié)，情形3仍缺少定理體系的建構(gòu)，忽視引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注本節(jié)課的內(nèi)容在整個章節(jié)、整個模塊甚至是整個高中數(shù)學(xué)知識中的地位和價值。

3.有效重構(gòu)

在反思教學(xué)現(xiàn)狀的基礎(chǔ)上，我們怎樣實施有效的課堂小結(jié)？這就需要我們明確課堂小結(jié)的內(nèi)涵，從課堂小結(jié)的內(nèi)容結(jié)構(gòu)分析，課堂小結(jié)應(yīng)由回顧和反思兩個部分組成，回顧環(huán)節(jié)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對本節(jié)課的基礎(chǔ)知識、基本方法進(jìn)行有效的梳理和總結(jié)，同時還要將問題研究過程中形成的基本經(jīng)驗和本節(jié)課內(nèi)容在整個章節(jié)或體系中的地位、價值進(jìn)行提煉和概括，反思環(huán)節(jié)，教師應(yīng)該在引導(dǎo)學(xué)生反思自己學(xué)會了什么和有何收獲的同時，也要反思哪些地方?jīng)]有學(xué)會，沒有學(xué)懂;還要反思有哪些需要進(jìn)一步研究的問題。

作為一節(jié)課的課堂小結(jié)，是本節(jié)課學(xué)習(xí)過程的一個總結(jié)和回顧，同時也為下節(jié)課的學(xué)習(xí)或是后續(xù)的學(xué)習(xí)做好鋪墊，埋下伏筆，自然地引出以后需要進(jìn)一步研究的問題，結(jié)合課堂小結(jié)結(jié)構(gòu)內(nèi)容的分析以及教學(xué)實踐，我們認(rèn)為有效的課堂小結(jié)應(yīng)為陳述性知識、程序性知識和經(jīng)驗性知識的融合，其中，陳述性知識是關(guān)于“是什么”和“怎么樣”，是關(guān)于數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)原理的知識;程序性知識是關(guān)于“怎么做”，是關(guān)于數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)程序的知識;經(jīng)驗性知識是關(guān)于“怎么想”，是在學(xué)習(xí)過程中涉及的數(shù)學(xué)思想方法、研究方法、數(shù)學(xué)學(xué)科蘊含的人文精神和科學(xué)精神等學(xué)習(xí)經(jīng)驗和體驗的知識。

在此基礎(chǔ)上，我們給出《平面向量基本定理（1）》的課堂小結(jié)：

（1）敘述平面向量基本定理的內(nèi)容，說說你對“基底”“有且只有一個”的認(rèn)識;說說平面向量基本定理與向量的加法、減法以及向量共線定理的關(guān)系，（基本知識的回顧）

（2）平面向量基本定理的研究思路（過程）是怎樣的？用到了哪些思想方法？（研究方法和研究經(jīng)驗的回顧）

研究思路（過程）：

①創(chuàng)設(shè)情境，引出問題

通過力與速度的分解引發(fā)思考：給定平面內(nèi)任意的兩個非零向量，那么該平面內(nèi)任一向量能否類似地進(jìn)行分解？

②數(shù)學(xué)聯(lián)想，自主探究

以向量共線定理為起點，以向量加、減法和平行四邊形法則為依據(jù)探究形成定理，

③領(lǐng)悟內(nèi)涵，構(gòu)建定理體系

通過關(guān)鍵詞“不共線”“有且只有一對”以及λ1（或λ2）與0的關(guān)系，明確定理的本質(zhì)與內(nèi)涵，理解有關(guān)定理之問關(guān)系，形成數(shù)學(xué)定理體系。

④遷移應(yīng)用，深化定理理解

通過例題，使學(xué)生認(rèn)識到選定基底就可以表示平面內(nèi)的任意一個向量，體會定理的作用，研究方法：類比、直觀感知、操作確認(rèn)、歸納猜想、抽象概括等。

（3）反思環(huán)節(jié)

反思1：平面向量基本定理的本質(zhì)是什么？

平面內(nèi)，只要選定一個基底，那么這個平面內(nèi)的任意一個向量都可以用這個基底來唯一表示。

反思2：還有哪些知識沒有學(xué)會，沒有學(xué)懂？

反思3：我們還將繼續(xù)研究什么問題？（教師和學(xué)生共同提出需要進(jìn)一步研究的問題）

問題1：平面向量基本定理中的基底是否有選擇性？有無特殊性？

問題2：當(dāng)平面內(nèi)的向量都用同一個基底表示后，會有哪些用處呢？

課堂小結(jié)表面上看起來是再次幫助學(xué)生整理課堂學(xué)習(xí)過的知識與方法，而實質(zhì)上是通過學(xué)科知識的建構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

綜上，我們將定理教學(xué)的考查點聚焦于例題教學(xué)和課堂小結(jié)，同時，為了更好地理解課堂教學(xué)的實施意圖，將教學(xué)目標(biāo)的制訂也作為考查對象，結(jié)合自己的教學(xué)實踐進(jìn)行思考，立足于定理的本質(zhì)及其育人價值的教育進(jìn)行反思與重構(gòu)，努力建構(gòu)具有實效性的定理課堂教學(xué)模式，最大限度地實現(xiàn)定理教學(xué)的教育價值。