從數(shù)學(xué)試題來認(rèn)識“數(shù)學(xué)運(yùn)算”能力

唐光明

[摘要]從不同時(shí)期的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱、數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中“教學(xué)目的”或“課程目標(biāo)”對數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的描述變化，可以充分認(rèn)識數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“數(shù)學(xué)運(yùn)算”的能力要求。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn);核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)運(yùn)算能力

[中圖分類號]G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A [文章編號]1674-6058（2020）05-0006-03

20世紀(jì)的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱對“數(shù)學(xué)運(yùn)算”能力的“正確迅速”降低了一些能力要求，與2003年版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)相比，2017年版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)首次提出了數(shù)學(xué)區(qū)別于其他學(xué)科的核心素養(yǎng)，包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等六個(gè)方面，由原來的"X2基”轉(zhuǎn)變?yōu)椤八幕迸c“四能”，提出通過高中數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)，使學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動能力和經(jīng)驗(yàn)得以提高，培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，提升學(xué)生分析和解決問題的能力，同時(shí)“提高數(shù)學(xué)能力”轉(zhuǎn)變?yōu)椤鞍l(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)”，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中，學(xué)生能發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》首次把“數(shù)學(xué)運(yùn)算”能力分解為兩大方面，即“數(shù)學(xué)運(yùn)算”和“數(shù)據(jù)分析”，增加“數(shù)據(jù)分析”主要基于1986年版到2002年版的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱對“數(shù)學(xué)”的描述：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的一門科學(xué)，”2003年版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對“數(shù)學(xué)”的描述是：“數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，是刻畫自然規(guī)律和社會規(guī)律的科學(xué)語言和有效工具，”而《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》（中華人民共和國教育部制訂，2003年4月第1版）中對“數(shù)學(xué)”的描述改成了：“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)，”交換了“數(shù)量關(guān)系”和“空間形式”的順序，首次把“數(shù)量關(guān)系”擺在了“空間形式”的前面，這是社會的發(fā)展，時(shí)代的需要，數(shù)據(jù)分析是研究隨機(jī)現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)技術(shù)，是大數(shù)據(jù)時(shí)代數(shù)學(xué)應(yīng)用的主要方法，也是“互聯(lián)網(wǎng)+”相關(guān)領(lǐng)域的主要數(shù)學(xué)方法，數(shù)據(jù)分析技術(shù)已經(jīng)深入到科學(xué)、技術(shù)、工程和現(xiàn)代社會生活的各個(gè)方面。

從考試大綱及其說明中，可以了解考試大綱對運(yùn)算能力的要求，《教學(xué)大綱》規(guī)定如何進(jìn)行教學(xué)，而《考試說明》則規(guī)定考試的性質(zhì)、內(nèi)容、形式等，因此，《考試說明》與《教學(xué)大綱》是對立統(tǒng)一、相輔相成的。

1.《全日制十年制學(xué)校中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試行草案）》（中華人民共和國教育部制定，1978年2月第1版）的“教學(xué)目的”中對數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的要求是“具有正確迅速的運(yùn)算能力”。

[例1]1982年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理科）第二大題第1小題：

本小題結(jié)合了二項(xiàng)式的展開考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算能力，考查考生“正確迅速的運(yùn)算能力”。

2.《全日制中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》（中華人民共和國國家教育委員會制定，1986年12月第1版）的“教學(xué)目的”中對數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的要求是“培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力”。

依據(jù)國家教委1986年頒發(fā)的《全日制中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》，于1990年11月由國家教育委員會考試中心組織編寫的1991年版《考試說明》指出：“數(shù)學(xué)科考試旨在測試中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本方法和運(yùn)算能力、邏輯想象能力以及運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識和方法，分析和解決問題的能力?！?/p>

相應(yīng)的數(shù)學(xué)科《考試說明》對復(fù)數(shù)運(yùn)算這一內(nèi)容的“考試要求”是“掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，能正確地進(jìn)行復(fù)數(shù)的運(yùn)算，并理解復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義”。

[例2]1991年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題（理工農(nóng)醫(yī)類）第三大題解答題第（22）小題（本小題滿分8分）：

本小題考查復(fù)數(shù)基本概念和運(yùn)算能力，

3.國家教委頒發(fā)的《現(xiàn)行普通高中教學(xué)計(jì)劃的調(diào)整意見》（教基[1990]004號文件），將普通高中的課程分為必修課和選修課兩部分，于是有了《全日制中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（修訂本）》（中華人民共和國國家教育委員會制定，1990年4月第2版），大綱中的“教學(xué)目的”中指出“培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力”，依據(jù)這一大綱的《普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)科考試大綱》指出數(shù)學(xué)科的考試，按照“考查基礎(chǔ)知識的同時(shí)，注重考查能力”的原則，考查考生的“運(yùn)算能力”，特別地在“能力要求”中對“運(yùn)算能力”做了如下說明：“會根據(jù)概念、公式、法則進(jìn)行數(shù)、式、方程的正確運(yùn)算和變形;能分析條件，尋求與設(shè)計(jì)合理、簡捷的運(yùn)算途徑;能根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)和近似計(jì)算?！?/p>

相應(yīng)的數(shù)學(xué)科《考試說明》對復(fù)數(shù)運(yùn)算這一內(nèi)容的“考試要求”是“掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，能正確地進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法、減法、乘法、除法的運(yùn)算，能正確地進(jìn)行復(fù)數(shù)三角形式的乘法、除法、乘方、開方的運(yùn)算，并理解復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義”，這里明確提出了對復(fù)數(shù)的三角形式運(yùn)算的要求。

[例3]1994年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）第三大題解答題第21題：

本小題考查共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的三角形式等基礎(chǔ)知識及運(yùn)算能力。

4.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》（中華人民共和國教育部制定，2003年4月第1版）的第二部分“課程目標(biāo)”中對數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的要求是“提高空間想象、抽象概括、推理論證、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理等基本能力”。

對“運(yùn)算能力”提出了詳細(xì)的考試要求是“努力培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，包括：空間想象、直覺猜想、歸納抽象、符號表達(dá)、運(yùn)算求解、演繹證明、體系構(gòu)建等諸多方面，能夠?qū)陀^事物中的數(shù)量關(guān)系和數(shù)學(xué)模式做出思考和判斷”。

依據(jù)國家教育部2002年頒布的《全日制普通高級中學(xué)課程計(jì)劃》和《全日制普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》編寫的《普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱》指出：數(shù)學(xué)科的考試，按照“考查基礎(chǔ)知識的同時(shí)，注重考查能力”的原則，確立以能力立意命題的指導(dǎo)思想，將知識、能力與素質(zhì)的考查融為一體，全面檢測考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，在其“能力要求”中也對“運(yùn)算能力”進(jìn)行了說明：“會根據(jù)法則、公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理;能根據(jù)問題的條件和目標(biāo)，尋找與設(shè)計(jì)合理、簡捷的運(yùn)算途徑;能根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)和近似計(jì)算，運(yùn)算能力是思維能力和運(yùn)算技能的結(jié)合，運(yùn)算包括對數(shù)字的計(jì)算、估值和近似計(jì)算，對式子的組合變形與分解變形，對幾何圖形各幾何量的計(jì)算求解等，運(yùn)算能力包括分析運(yùn)算條件、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算公式、確定運(yùn)算程序等一系列過程中的思維能力，也包括在實(shí)施運(yùn)算過程中遇到障礙而調(diào)整運(yùn)算的能力以及實(shí)施運(yùn)算和計(jì)算的技能”。

依據(jù)中華人民共和國教育部2003年頒布的《普通高中課程方案（實(shí)驗(yàn)）》和《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》編寫的《普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱》中，在考查考生“運(yùn)算求解能力”的同時(shí)，增加了考查考生“數(shù)據(jù)處理能力”。

對“運(yùn)算求解能力”的要求為“會根據(jù)法則、公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理，能根據(jù)問題的條件，尋找與設(shè)計(jì)合理、簡捷的運(yùn)算途徑，能根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)和近似計(jì)算，運(yùn)算求解能力是思維能力和運(yùn)算技能的結(jié)合，運(yùn)算包括對數(shù)字的計(jì)算、估值和近似計(jì)算，對式子的組合變形與分解變形，對幾何圖形各幾何量的計(jì)算求解等，運(yùn)算能力包括分析運(yùn)算條件、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算公式、確定運(yùn)算程序等一系列過程中的思維能力，也包括在實(shí)施運(yùn)算過程中遇到障礙而調(diào)整運(yùn)算的能力”。

[例4]2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)第（4）題：

若考生能夠知曉共軛復(fù)數(shù)的乘積是實(shí)數(shù)，則有m²=1且m=-1.選B，對“運(yùn)算求解能力”的要求減少了“實(shí)施運(yùn)算和計(jì)算的技能”，體現(xiàn)了考生對“數(shù)學(xué)模式作出思考和判斷”。

5.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》（中華人民共和國教育部制定，2017年4月第1版）的“學(xué)科核心素養(yǎng)與課程目標(biāo)”，對“數(shù)學(xué)運(yùn)算”能力的要求：數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)，主要包括：理解運(yùn)算對象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等。

數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段，數(shù)學(xué)運(yùn)算是演繹推理，是計(jì)算機(jī)解決問題的基礎(chǔ)。

數(shù)學(xué)運(yùn)算主要表現(xiàn)為：理解運(yùn)算對象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，求得運(yùn)算結(jié)果。

通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力;有效借助運(yùn)算方法解決實(shí)際問題;通過運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神。

[例5]廣西2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)試題第（2）題：