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    分式方程解法探究

    2020-03-18 04:30:44劉月
    關(guān)鍵詞:解法探究

    劉月

    [摘要]探討已知分式方程的解如何求其中參數(shù)的值,以幫助學(xué)生突破難點(diǎn),提高學(xué)生解決問題的能力。

    [關(guān)鍵詞]分式方程;解法;探究

    [中圖分類號(hào)]G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A [文章編號(hào)]1674-6058(2020)05-0021-02

    分式方程是相對于整式方程的一類方程,因其獨(dú)特性成為中考的必考點(diǎn),與分式方程相關(guān)的試題類型包括解分式方程、分式方程的應(yīng)用、分式方程的解等,可通過去分母、解整式方程、檢驗(yàn)得到分式方程的解,它與解整式方程最大的不同是在方程兩邊都乘以一個(gè)含有未知數(shù)的整式,當(dāng)這個(gè)整式為0時(shí),分式方程就會(huì)出現(xiàn)增根,所以解分式方程的最后一定要驗(yàn)根。反過來,已知分式方程的解,如何求其中參數(shù)的值呢?

    一、分式方程的解是一個(gè)取值范圍時(shí)。確定字母的取值范圍

    含有字母的分式方程,如果已知它的解是一個(gè)取值范圍,我們就可以據(jù)此確定其中字母的取值范圍,分式方程解的取值范圍可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)、非正數(shù)、非負(fù)數(shù)、大于1等,為了確定其中字母的取值范圍,我們需要求得分式方程的解,為了得到解,我們需要解方程,解的是含有字母的分式方程。

    點(diǎn)評:可化為一元一次方程的分式方程有唯一解,有兩層意思,一是分式方程化成整式方程ax=b后,未知數(shù)的系數(shù)a不為o;二是分式方程有解,也就是無增根,即分式方程的各分母都不為0.據(jù)此,我們可以確定其參數(shù)的值,這里的第二層意思仍是一個(gè)隱含條件,學(xué)生容易疏忽。

    三、分式方程有增根。確定字母的值

    分式方程在去分母時(shí),要在方程的兩邊都乘以各分母的最簡公分母,因?yàn)檫@個(gè)最簡公分母是含有未知數(shù)的整式,不是一個(gè)確定的實(shí)數(shù),所以它的值是不確定的,也就是說,最簡公分母有可能為0.當(dāng)最簡公分母為0時(shí),我們在去分母時(shí)就違反了方程的變形規(guī)則,即在方程的兩邊都乘以0.所以解分式方程的最后一定要檢驗(yàn),使最簡公分母為0的根是分式方程的增根,必須舍去,那么分式方程的增根是否就是“壞根”,沒有用處呢?答案是否定的,請看下面實(shí)例。

    點(diǎn)評:分式方程的增根,就是使各分母為0時(shí),未知數(shù)的值,增根雖不是分式方程的根,卻是去分母后整式方程的根,所以我們只可以將增根代入整式方程求參數(shù)的值,而不可以將增根代入分式方程求參數(shù)的值,從這里可以看出,增根并非一無是處,它也是有價(jià)值的根。

    四、分式方程無解時(shí)。確定字母的值

    分式方程無解與分式方程有增根是兩個(gè)概念,不能混為一談,這其中的原因有兩點(diǎn):一是分式方程無解不一定有增根,如分式方程化為一元一次方程后,一元一次方程無解從而使分式方程無解,一元一次方程就沒有根,何來增根?二是分式方程有增根不一定分式方程無解,如分式方程化為一元二次方程后,一元二次方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,其中一個(gè)根是分式方程的根,另一個(gè)是分式方程的增根,這時(shí)分式方程既有增根也有根,對于可化為一元一次方程的分式方程來說,若分式方程無解時(shí),其原因恰好來自兩個(gè)方面,一方面整式方程無解;另一方面分式方程有增根。

    分析:先去分母,化分式方程為整式方程,并整理成整式方程的一般形式,當(dāng)整式方程的未知數(shù)系數(shù)為0時(shí),整式方程無解,造成分式方程無解;或者讓整式方程有根,但這個(gè)根是分式方程的增根,然后舍去,從而造成分式方程無解。

    解:把m看成常數(shù),解分式方程(2m+x)x-x(x-3)=2(x-3),整理得(2m+1)x=-6.①

    當(dāng)2m+1=0時(shí),方程①無解,原分式方程也無解,此時(shí)m=-0.5。

    當(dāng)2m+1≠0時(shí),方程①有解,要使原分式方程無解,須使方程①的解為分式方程的增根,即x=3或x=0.

    把x=0代入①得0=-6.此方程無解,把x=3代入①,得m=-1.5.所以m的值為-0.5或-1.5.故選D。

    點(diǎn)評:可化為一元一次方程的分式方程無解,首先要將方程化成ax=b的形式,然后分兩種情形討論,(1)當(dāng)a=0.6≠0時(shí),整式方程無解,則分式方程也無解;(2)當(dāng)a≠0時(shí),整式方程有解,這個(gè)解是分式方程的增根時(shí),分式方程仍無解。

    分式方程的解是分式方程中一個(gè)重要的概念,如果已知分式方程的解求字母的值,直接代入分式方程,然后解分式方程就可以了,當(dāng)把分式方程的增根,整式方程的無解也加入之后,難度也就增加了,從以上例題可見一斑,但不管怎樣,解分式方程或解含字母的分式方程,化分式方程為整式方程,并將整式方程整理為最簡形式,是繞不開的步驟,分式方程的增根就是使最簡公分母為0的根,是不變的硬道理。

    (責(zé)任編輯:黃桂堅(jiān))

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