三等分點(diǎn)、角平分線、線段一半的性質(zhì)

廣東省廣州市駿景中學(xué)

在研究2019年廣州市數(shù)學(xué)中考第24題的過程中,筆者發(fā)現(xiàn)了三角形中的角、邊、角平分線三者間的關(guān)系,即本文所關(guān)注的三等分點(diǎn)、角平分線、線段一半的性質(zhì).其中“三等分點(diǎn)”是指三角形某條邊上的一個(gè)三等分點(diǎn),“角平分線”是指該邊所對的角的平分線,“線段一半”是指三角形的另外兩邊中,其中一條邊的邊長是另一條邊的一半.

原題如圖 1,等邊ΔABC中,AB= 6,點(diǎn)D在BC上,BD= 4.點(diǎn)E為邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合),ΔCDE關(guān)于DE的軸對稱圖形為ΔFDE.

(1)當(dāng)點(diǎn)F在AC上時(shí),求證:DF//AB;

圖1

(2)設(shè)ΔACD的面積為S1,ΔABF的面積為S2,記:S=S1-S2,S是否存在最大值？若存在,求出S的最大值;若不存在,請說明理由;

(3)當(dāng)B、F、E三點(diǎn)共線時(shí),求AE的長.

在拆解第(3)問的過程中發(fā)現(xiàn)了以下性質(zhì):三等分點(diǎn)、角平分線、線段一半,三者中已知任意兩個(gè)就能得出第三個(gè).

1 三等分點(diǎn)+角平分線?線段一半

已知:如圖2,ΔABC中,OA是∠BAC的角平分線,點(diǎn)O是BC的三等分點(diǎn)(OB=2OC).

圖2

圖3

解析如圖3,在AB上截取AD=AC,連接OD.因?yàn)椤? = ∠2,AO=AO,所以ΔADO∽= ΔACO,所以O(shè)D=OC.以點(diǎn)O為圓心,OC為半徑畫圓,圓必過點(diǎn)D,且與BC交于點(diǎn)E,則:OC=OE.因?yàn)镺B= 2OC,所以O(shè)C=OE=BE.連接CD交OA于點(diǎn)F,因?yàn)椤螮DC=∠3=90°,所以ED//OA,所以所以

2 角平分線+線段一半?三等分點(diǎn)

已知:如圖4,ΔABC,AO為∠BAC的角平分線,AC=

結(jié)論:點(diǎn)O為BC的三等分點(diǎn)(OB=2OC).

圖4

圖5

解析如圖5,在AB上截取AD=AC,連接OD.因?yàn)椤? = ∠2,AO=AO,所以ΔADO∽= ΔACO,所以O(shè)D=OC,以點(diǎn)O為圓心,OC為半徑畫圓,必過點(diǎn)D,且與BC交于點(diǎn)E,得OC=OE.連接DC、DE,得:∠EDC= ∠3 = 90°,所以DE//AO,所以因?yàn)樗运约碆E=OE.所以O(shè)C=OE=EB,所以點(diǎn)O為BC三等分點(diǎn).

3 三等分點(diǎn)+線段一半?角平分線

已知:如圖6,ΔABC,點(diǎn)O為BC的三等分點(diǎn)(OB=

結(jié)論:AO為∠BAC的角平分線(∠1=∠2).

圖6

圖7

解析如圖7,分別取AB、OB的中點(diǎn)D、E,連接CD、DE,線段CD與AO交點(diǎn)F,所以DE//AO(中位線).因?yàn)镺B = 2OC,所以O(shè)C = OE,所以所以FD = FC.因?yàn)辄c(diǎn)D是AB的中點(diǎn),所以因?yàn)锳F = AF,所以ΔADF ∽= ΔACF (SSS),所以∠1=∠2.

綜上歸納,三等分點(diǎn)、角平分線、線段一半,三者中已知任意兩個(gè)就能得出第三個(gè).

性質(zhì)1已知三等分點(diǎn)、角平分線,可以得到線段一半.

性質(zhì)2已知角平分線、線段一半,可以得到三等分點(diǎn).

性質(zhì)3已知三等分點(diǎn)、線段一半,可以得到角平分線.

4 回歸原題,解決問題

原題第(3)問的解析過點(diǎn)E作EG⊥BC于點(diǎn)G,因?yàn)棣DE 關(guān)于DE的軸對稱圖形為ΔFDE,所以ED 平分∠BEC.

因?yàn)镈C = 2,BD = 4,所以DB = 2DC(即: 點(diǎn)D是BC 的三等分點(diǎn)), 根據(jù)上述性質(zhì)1: 已知三等分點(diǎn)、角平分線, 可以得到線段一半,可得CE = EF = FB. 設(shè)CE = x, 則EB = 2x, 在RtΔCGE 中,∠C = 60°,所以所以在RtΔEGB 中,因?yàn)镋G2+BG2= BE2,從而(2x)2. 所以從而,