幾何中角度最值問(wèn)題的另法探析

廣東省深圳市華強(qiáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)校

廣東省惠州市博羅中學(xué)(516100)易 敏

1 常見(jiàn)的角度最值問(wèn)題

例1點(diǎn)A 與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是(1,0),(5,0),點(diǎn)P是在該直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P 在y軸上移動(dòng)時(shí),∠APB是否有最大值？若有,求點(diǎn)P的坐標(biāo),并說(shuō)明此時(shí)∠APB最大的理由;若沒(méi)有,也請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1

如圖1,過(guò)點(diǎn)A作AC⊥ PB,垂足為C,設(shè)P(0,y),則OP = y,因?yàn)椤螩BA = ∠OBP,∠BCA = ∠BOP,所以ΔBCA ∽ΔBOP,所以在RtΔACP中,

該題是中學(xué)常見(jiàn)的角度最值問(wèn)題,我們可以發(fā)現(xiàn)幾何中角度的最值問(wèn)題往往不是直接用角度進(jìn)行描述的,通常要利用三角函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.通過(guò)三角函數(shù)的解析式分析,求出三角函數(shù)的最值,再利用角度與三角函數(shù)的關(guān)系,從而達(dá)到求解角度最值的目的,這種方法我們稱(chēng)為三角函數(shù)解析法.三角函數(shù)解析法的優(yōu)點(diǎn)是方向很明確,分析所求角的三角函數(shù)解析式的最值,利用三角函數(shù)的單調(diào)性,從而分析出角的最值.但其難點(diǎn)和關(guān)鍵就在于三角函數(shù)解析式的求解和分析,當(dāng)三角函數(shù)解析式較為復(fù)雜時(shí),就難以判斷三角函數(shù)的最值了.

另法探析既然三角函數(shù)解析式的求解和分析是一個(gè)難點(diǎn),那么我們是否可以繞開(kāi)求解三角函數(shù)解析式？那角度的描述還有什么途徑呢？在平面幾何中,我們還學(xué)習(xí)過(guò)相關(guān)角.只要我們找到相關(guān)角以及確定的相關(guān)關(guān)系,那么求解相關(guān)角的最值,進(jìn)而就能夠分析出所求角的最值了.問(wèn)題的關(guān)鍵就轉(zhuǎn)化為求解相關(guān)角了,而不用三角函數(shù)解析法又如何描述相關(guān)角的最值呢？下面我們先了解兩個(gè)結(jié)論.

結(jié)論1等腰三角形底邊長(zhǎng)不變,底邊上的高越長(zhǎng),頂角越小.反之,頂角越大.

圖2

結(jié)論2不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓.

如圖 3,設(shè)P(0,y)(y /= 0),過(guò)A,B,P三點(diǎn)做一個(gè)圓,圓心為O 易知圓心O 在線段AB的中垂線上,可設(shè)O(3,n),AP中點(diǎn)由可得點(diǎn)O的坐標(biāo)為

圖3

在圓O中,2∠P = ∠AOB,在等腰三角形OAB中,點(diǎn)O是隨點(diǎn)P的變化而變化的,則底邊上的高當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí),h最小,頂角∠AOB最大,∠P也最大.故當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí),∠P最大.

利用不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓的結(jié)論,成功將點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為圓心O的運(yùn)動(dòng),這一轉(zhuǎn)化的前提是另外兩點(diǎn)A,B是定點(diǎn),而角度的最值問(wèn)題常常就是符合這樣條件的,這是該方法的巧妙之處.在動(dòng)圓O上,動(dòng)角∠P正好與動(dòng)角∠AOB有相關(guān)關(guān)系2∠P=∠AOB,這是構(gòu)造三點(diǎn)圓最巧妙的地方.先判斷∠AOB的最值,利用2∠P=∠AOB,即可得到∠P的最值.而∠AOB在等腰三角形AOB上,這又是構(gòu)造三點(diǎn)圓又一巧妙之處.利用結(jié)論1,將∠AOB的最值判斷轉(zhuǎn)化為等腰三角形底邊高h(yuǎn)的最值判斷,就成功的繞開(kāi)三角函數(shù)解析式的復(fù)雜求解和分析了.而高h(yuǎn)的求解即是圓心O的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值,這是比較容易計(jì)算和分析.總的來(lái)說(shuō),這種方法思維十分巧妙,但思路確是值得探究的,利用構(gòu)造三點(diǎn)圓,將已知?jiǎng)狱c(diǎn)轉(zhuǎn)為相關(guān)動(dòng)點(diǎn),將已知?jiǎng)咏寝D(zhuǎn)化為相關(guān)動(dòng)角,從而更加簡(jiǎn)化了三角函數(shù)解析法的計(jì)算和分析.當(dāng)然這種方法不僅僅適用于這個(gè)題,我們?cè)賮?lái)看看點(diǎn)P的圓錐曲線上運(yùn)動(dòng)的情況.

2 圓錐曲線上的角度最值問(wèn)題

例2如圖4,已知點(diǎn)P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn),A、B分別為左、右頂點(diǎn),求證點(diǎn)P在什么位置時(shí),∠APB最大.

圖4

設(shè)點(diǎn)P(x,y),A(-a,0),B(a,0)則kP A=所以

由對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限及C點(diǎn),則有kP B ＜0,故tan ∠APB=當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,即時(shí),tan ∠APB取最大,即∠APB最大,也就是點(diǎn)P在頂點(diǎn)C處,∠APB取得最大值,同樣點(diǎn)P在橢圓下頂點(diǎn)處時(shí),∠APB也取得最大值.

該解法就是常用的三角函數(shù)解析法,其亮點(diǎn)在于將直線的斜率作為變量描述所求角的三角函數(shù),也是該解法的精辟之處.雖說(shuō)比直接用點(diǎn)P的坐標(biāo)作為變量更加簡(jiǎn)便,但其計(jì)算量并不會(huì)因此而減少多少,利用此解法還是逃不過(guò)三角函數(shù)解析式的求解和分析.

經(jīng)計(jì)算得出該教材整套AWL覆蓋率為4.63%，介于1.4%和10%之間，即該《新視野》既不屬于通用英語(yǔ)也不屬于學(xué)術(shù)英語(yǔ)，更偏向于通用英語(yǔ)。由圖5知，《新視野》四冊(cè)書(shū)的AWL覆蓋率變化范圍由3.67%到5.41%，介于通用英語(yǔ)和學(xué)術(shù)英語(yǔ)文本之間。但整體在平均AWL覆蓋率4.63%上下波動(dòng)。同時(shí)，圖5表明，四冊(cè)書(shū)的AWL覆蓋率變化值波動(dòng)幅度顯著，《新視野》教材的AWL覆蓋率并未呈現(xiàn)出由低到高、循序漸進(jìn)的理想狀態(tài)。因此，可做出相對(duì)調(diào)整，如第一冊(cè)與第三冊(cè)可調(diào)換位置，第二冊(cè)與第四冊(cè)調(diào)換位置。

不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限及C點(diǎn),由A,B,P不共線可知,存在圓O′過(guò)A,B,P三點(diǎn),且圓心O′在y軸負(fù)半軸上,在圓O′中,有∠APB=先求圓心O′的坐標(biāo),設(shè)P(x,y),B(a,0),中點(diǎn)由可得,由則y越大,越小,等腰三角形O′AB的高O′O越長(zhǎng),∠AO′B越小,∠APB越大,則當(dāng)y=b,即點(diǎn)P在C點(diǎn)處,∠APB取最大,同樣點(diǎn)P在橢圓下頂點(diǎn)處時(shí),∠APB也取得最大值.

圖5

該種解法同樣是構(gòu)造三點(diǎn)圓,分析相關(guān)點(diǎn)、角的最值進(jìn)而得出所求角的最值,該種方法比起三角函數(shù)解析法在計(jì)算方面要簡(jiǎn)便很多,而且這道題利用這個(gè)思路可以分析,動(dòng)點(diǎn)P從B移動(dòng)到C的過(guò)程中,圓心O′在y軸負(fù)半軸越來(lái)越遠(yuǎn)離原點(diǎn)O,∠AO′B越小,則∠APB越大.所以單從思路分析來(lái)看,這種方法更容易得出結(jié)論,可以直接判斷出∠APB取最大值時(shí),點(diǎn)P的位置.

3 研究結(jié)果

從例1和例2的分析求解過(guò)程,可以發(fā)現(xiàn)它們都是定線段所對(duì)動(dòng)角的最值問(wèn)題,這一類(lèi)問(wèn)題可以利用構(gòu)造圓去解決,而這種獨(dú)特方法的精髓之處是:

(1)思路:動(dòng)點(diǎn)影響變量(長(zhǎng)度、角度、面積等)的最值問(wèn)題,抓住動(dòng)點(diǎn)的特點(diǎn),找出其相關(guān)點(diǎn),分析相關(guān)點(diǎn)的動(dòng)態(tài)對(duì)所求變量的影響;

(2)技巧:構(gòu)造不共線三點(diǎn)圓,從而將原動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為圓心的分析.

利用這種思路和技巧,可以解決定線段所對(duì)動(dòng)角的最值問(wèn)題.反之,通過(guò)研究可以發(fā)掘出類(lèi)似的定線段所對(duì)動(dòng)角的最值問(wèn)題,豐富幾何中角度最值問(wèn)題.比如下面兩個(gè)變式,以圓錐曲線為載體的角度最值問(wèn)題,可以通過(guò)三角函數(shù)解析法去求解,也可利用構(gòu)造圓去求解,而且還涉及到不等式,正是能夠綜合考查高中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和分析解題能力.

變式1在O為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系中,拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),問(wèn):∠OPF是否有最大值？若有,求點(diǎn)P的坐標(biāo);若沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由.

變式2在O為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)到直線l:x=4的距離和它到定點(diǎn)F(1,0)的距離的比是常數(shù)4,點(diǎn)P是直線l上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求M的軌跡方程;

(2)∠OPF是否有最大值？若有,求點(diǎn)P的坐標(biāo); 若沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由.

4 研究發(fā)展與改進(jìn)方向

本次研究?jī)H是對(duì)平面幾何的角度最值問(wèn)題簡(jiǎn)單分析,并從中得到一種新的方法去解決角度最值問(wèn)題,當(dāng)然這種方法適用性確實(shí)有所局限,但是方法中的思想和思維方式,是解決其他動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題應(yīng)當(dāng)借鑒的.動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題涉及不止角度最值問(wèn)題,還有長(zhǎng)度,面積等相關(guān)問(wèn)題,在今后的的研究中,希望有機(jī)會(huì)能利用文中的想法和思維去解決解析幾何特別是圓錐曲線的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題.除了平面幾何,在立體幾何方面,同樣也有相關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,希望熱愛(ài)數(shù)學(xué)的研究者能夠利用這個(gè)思維方式去解決更多問(wèn)題.同樣,除了構(gòu)造三點(diǎn)圓,線段中點(diǎn)等將原動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為相關(guān)點(diǎn)分析的方法之外,希望能夠找到更多更有實(shí)用價(jià)值的方法,以豐富幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解法.