對(duì)一類遞推數(shù)列單調(diào)性的思考與探究

安徽省天長(zhǎng)中學(xué)(239300) 王 威

1 問題的提出

筆者在高三教學(xué)過程中遇到這樣一道探究遞推數(shù)列單調(diào)性的習(xí)題：

題目已知數(shù)列{xn}滿足猜想數(shù)列{x2n}的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.

為什么這個(gè)遞推數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成遞減數(shù)列? 其奇數(shù)項(xiàng)是否也單調(diào)? 筆者對(duì)這類問題產(chǎn)生了好奇，在幾何畫板中作出函數(shù)的圖象，由xn →f(xn)→xn+1→f(xn+1)，如圖1，不難發(fā)現(xiàn)，f(x)的圖象與直線y=x相交于點(diǎn)是遞減數(shù)列，{x2n-1}是遞增數(shù)列，且當(dāng)n →∞時(shí)，即那么這類問題是否有更一般的規(guī)律呢?

圖1

下面是筆者的點(diǎn)滴思考，不當(dāng)之處，敬請(qǐng)斧正.

2 幾個(gè)結(jié)論及典型例題

2.1 函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，且與直線y=x存在唯一交點(diǎn)P(x0,y0).數(shù)列{an}滿足an+1=f(an),n ∈??.

(1)若a1＜x0,a3＞a1，則a1≤a2n-1＜a2n+1＜x0＜a2n+2＜a2n ≤a2.

(2)若x0＜a1,a3＜a1，則a2≤a2n ＜a2n+2＜x0＜a2n+1＜a2n-1≤a1.

2.2 函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，且與直線y=x存在唯一交點(diǎn)P(x0,x0).數(shù)列{an}滿足an+1=f(an),n ∈??.

(1)若a1＜x0,a3＜a1，則a2n+1＜a2n-1＜x0＜a2n ＜a2n+2.

(2)若x0＜a1,a3＞a1，則a2n+2＜a2n ＜x0＜a2n-1＜a2n+1.

下面用數(shù)學(xué)歸納法給出結(jié)論2.1(1)的證明，其他的可由讀者自證.

①n= 1 時(shí)，由于f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以a2=f(a1)＞f(x0)=x0,a3=f(a2)＜f(x0)=x0，即a1≤a1＜a3＜x0，結(jié)論成立.

② 假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即a1≤a2k-1＜a2k+1＜x0，那 么當(dāng)n=k+ 1 時(shí)，由于f(x)在[a1,x0)上單調(diào)遞減，于是f(a1)≥f(a2k-1)＞f(a2k+1)＞f(x0)，即a2≥a2k ＞a2k+2＞x0.再次利用f(x)在(x0,a2]上單調(diào)遞減，可得f(a2)≤f(a2k)＜f(a2k+2)＜f(x0)，即a1≤a3≤a2k+1＜a2k+3＜x0，所以當(dāng)n=k+1 時(shí)，結(jié)論也成立.綜上可知，對(duì)于任意n ∈??，都有a1≤a2n-1＜a2n+1＜x0.同樣，不難得到x0＜a2n+2＜a2n ≤a2.

例1(2014 高考重慶卷理科第22 題節(jié)選)設(shè)a1=1,an+1=b,(n ∈??).若b=-1，問：是否存在實(shí)數(shù)c使得a2n ＜c ＜a2n+1對(duì)所有n ∈??都成立? 證明你的結(jié)論.

圖2

分析考慮f(x)=則an+1=f(an).易知f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減，且與直線y=x存在唯一交點(diǎn)如圖2.計(jì)算可得由結(jié)論2.1(1)可得故必存在實(shí)數(shù)使得a2n ＜c ＜a2n+1對(duì)所有n ∈??都成立.當(dāng)函數(shù)f(x)為增函數(shù)時(shí)，也可得到相應(yīng)數(shù)列的單調(diào)性.

2.3 函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，數(shù)列{an}滿足an+1=f(an),n ∈??.

(1)若f(x)＞x,則an+1＞an; (2)若f(x)＜x，則an+1＜an.

圖3

圖4

證明①當(dāng)n=1 時(shí)，a2=f(a1)＞a1，結(jié)論成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即ak+1＞ak，那么當(dāng)n=k+ 1 時(shí)，由于f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，于是f(ak+1)＞f(ak)，即ak+2＞ak+1.所以當(dāng)n=k+1 時(shí)，結(jié)論也成立.綜上可知，對(duì)于任意n ∈??，都有an+1＞an.同樣，可得結(jié)論2.3(2).特殊地，函數(shù)f(x)與直線y=x存在唯一交點(diǎn)P(x0,x0)，則有以下結(jié)論：

2.3.1 函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,x0]上單調(diào)遞增，且f(x)≥x，當(dāng)且僅當(dāng)x=x0時(shí)等號(hào)成立.數(shù)列{an}滿足an+1=f(an),n ∈??,a ＜a1＜x0，則有a1≤an ＜an+1＜x0.

2.3.2 函數(shù)f(x)在區(qū)間[x0,b)上單調(diào)遞增，且f(x)≤x，當(dāng)且僅當(dāng)x=x0時(shí)等號(hào)成立.數(shù)列{an}滿足an+1=f(an),n ∈??，x0＜a1＜b，則有x0＜an+1＜an ≤a1.

例2 (2012 高考大綱卷第22 題節(jié)選)函數(shù)f(x)=x2-2x -3，定義 數(shù)列{xn}如下：x1= 2,xn+1是過兩點(diǎn)P(4,5),Qn(xn,f(xn))的直線PQn與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．證明：2≤xn ＜xn+1＜3.

分析易知直線PQn的方程為y -5 = (xn+2)(x -4),(xn4)，所 以考 慮 函 數(shù)則xn+1=f(xn)，易知f(x)在[2,3)上單調(diào)遞增，且f(x)≥x，當(dāng)且僅當(dāng)x=3 時(shí)等號(hào)成立，如圖5.由結(jié)論2.3.1 可知2≤xn ＜xn+1＜3.

圖5

圖6

例3 (2015 高考浙江卷理科第20 題節(jié)選)已知數(shù)列{an}滿足且an+1=an - a2n,n ∈??.證明：

分析由an+1=an -a2n可得欲證只需證即證考慮函數(shù)f(x)=x-x2，則an+1=f(an)，易知f(x)在上單調(diào)遞增，且f(x)≤x，當(dāng)且僅當(dāng)x=0 時(shí)等號(hào)成立，如圖6.由結(jié)論2.3.2 可知得證.

例4(2012 高考安徽卷理科第21 題)數(shù)列{xn}滿足：x1=0,xn+1=-x2n+xn+c(n ∈??).

(Ⅰ)證明： 數(shù)列{xn}是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是c ＜0;

(Ⅱ)求c的取值范圍，使數(shù)列{xn}是單調(diào)遞增數(shù)列.

分析(Ⅱ)由(Ⅰ)得：c ≥0.而當(dāng)c= 0 時(shí)，xn=x1= 0，不合題意，故c ＞0.考慮函數(shù)f(x)=-x2+x+c(x ≥0)，則xn+1=f(xn).

圖7

圖8

例5(2009 高考安徽卷第21 題節(jié)選)首項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足3), n ∈??.若對(duì)一切n ∈??都有an+1＞an，求a1的取值范圍.

圖9

分析考慮函數(shù)f(x)=則an+1=f(an)，易知f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增，與直線y=x存在兩個(gè)交點(diǎn)A(1,1)和B(3,3)，如圖9，由結(jié)論2.3 可知：

①當(dāng)0＜a1＜1 時(shí)，a1≤an ＜an+1＜1;

②當(dāng)1＜a1＜3 時(shí)，1＜an+1＜an ≤a1;

③當(dāng)a1＞3 時(shí)，a1≤an ＜an+1;

④當(dāng)a1=1 或a1=3 時(shí)，{an}為常數(shù)數(shù)列.因此可得，對(duì)一切n ∈??，都有an+1＞an的充要條件是0＜a1＜1或a1＞3.

3 結(jié)束語

若將直線y=x換成滿足上述條件的其他單調(diào)遞增函數(shù)g(x)，且數(shù)列{an}滿足g(an+1)=f(an),n ∈??，也有類似的結(jié)論成立，在這不再一一累述，讀者若有興趣，可自行推廣.