圓錐曲線中三點共線的一個充要條件

云南省彌勒市第一中學(xué)(652399) 孔繁文

圓錐曲線蘊涵著許多神奇美妙的性質(zhì)，筆者對河北省滄州市2019 屆高三高考模擬考試3月聯(lián)考數(shù)學(xué)(理)試題(A卷)第20 題進(jìn)行了探究，得到了圓錐曲線中三點共線的一個充要條件.

一、試題呈現(xiàn)

題目已知圓的圓心為C1，圓的圓心為C2，一動圓C與圓C1內(nèi)切，與圓C2外切.

(Ⅰ)求圓心C的軌跡方程;

(Ⅱ)當(dāng)過點M(3,1)的動直線l與曲線C相交于兩個不同的點A,B時，在線段AB上取點P，滿足點P是否在定直線上? 如果是，求出這條定直線;如果不是，請說明理由.

答案(Ⅰ)圓心C的軌跡方程為;(Ⅱ)點P在定直線x+y=2 上.

二、試題的探究

本題著重考查圓和圓的位置關(guān)系，橢圓的定義，直線和橢圓的位置關(guān)系，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，向量的坐標(biāo)運算等知識，同時還考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想及綜合運算的能力．筆者對(Ⅱ)進(jìn)行深入探究，得到了圓錐曲線中三點共線的一個充要條件．

命題1過橢圓Γ := 1 (a ＞0,b ＞0)外任意一點P分別作橢圓Γ 的割線PAB和切線PC,PD，切點分別為C,D，若Q是線段AB上的一點，則C,Q,D三點共線的充要條件是

證明依題意，設(shè)P(xP,yP),Q(xQ,yQ)，則直線PAB的方程為

(yQ-yP)(x-xP)-(xQ-xP)(y-yP)=0,其中(yQ-yP)2+(xQ-xP)20，于是由

消去y(或x)并整理得

或

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則

于是

另一方面，設(shè)C(x3,y3),D(x4,y4)，則直線PC的方程為直線PD的方程為因為P在直線PC,PD上，所以所以直線CD的方程為即b2xP x+a2yP y=a2b2，所以當(dāng)且僅當(dāng)a2b2-b2xP xQ-a2yP yQ=0，即b2xP xQ+a2yP yQ=a2b2; 也即當(dāng)且僅當(dāng)點Q在直線CD上，所以C,Q,D三點共線的充要條件是

命題2過雙曲線外任意一點P分別作雙曲線Γ 的割線PAB和切線PC,PD，切點分別為C,D，若Q是線段AB上的一點，則C,Q,D三點共線的充要條件是

證明與命題1 類似(略).

命題3過拋物線Γ :y2= 2px(p ＞0)外任意一點P分別作拋物線Γ 的割線PAB和切線PC,PD，切點分別為C,D，若Q是線段AB上的一點，則C,Q,D三點共線的充要條件是

證明依題意，設(shè)P(xP,yP),Q(xQ,yQ)，則直線PAB的方程為

其中yQ-yP0，由

消去x并整理得

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則

由于y21=2px1,y22=2px2，所以

于是

另一方面，設(shè)C(x3,y3),D(x4,y4)，則直線PC的方程為p(x+x3)=y3y，直線PD的方程為p(x+x4)=y4y，因為P在直線PC,PD上，所以p(xP+x3)=yP y3,p(xP+x4)=yP y4，所以直線CD的方程為p(xP+x)=yP y，于是當(dāng)且僅當(dāng)p(xP+xQ)-yP yQ=0，即p(xP+xQ)=yP yQ; 也即當(dāng)且僅當(dāng)點Q在直線CD上，所以C,Q,D三點共線的充要條件是

由上述命題可得圓錐曲線中三點共線的一個充要條件

定理過圓錐曲線Γ 外任意一點P分別作Γ 的割線PAB和切線PC,PD，切點分別為C,D，若Q是線段AB上的一點，則C,Q,D三點共線的充要條件是

推論過圓錐曲線Γ 外任意一點P分別作Γ 的割線PAB和切線PC，切點為C，Q是線段AB上的一點，若直線CQ與Γ 相交于D，則直線PD與Γ 相切的充要條件是(證明略).