追根求源鍥而不舍—一對一道概率統(tǒng)計試題的探究與反思

北京師范大學(xué)鹽城附屬學(xué)校（224007） 郝文華

有人說，解題就像挑線頭一樣，一團毛線在眼前，東拉一下，西扯一下，最后搞得毫無頭緒，只有放棄.但如果能夠從條件出發(fā)，順藤摸瓜，追根求源，找到題目最本質(zhì)最原始的一面，挖掘出題目最深層的結(jié)構(gòu)，問題便會簡單很多.但是，這個過程往往蘊含著百思不解，愁腸百結(jié)，惋惜糾結(jié)，豁然開朗，別有洞天等情感歷程.最近筆者就遇到一道聯(lián)考試題，激起眾多師生的激烈討論和窮追不舍.

1.原題呈現(xiàn)

題目某公司生產(chǎn)的某種產(chǎn)品，如果年返修率不超過千分之一，則其生產(chǎn)部門當(dāng)年考核優(yōu)秀，現(xiàn)獲得該公司2011－2018年的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：

注年返修率=

(Ⅰ)從該公司2011－2018年的相關(guān)數(shù)據(jù)中任意選取3年的數(shù)據(jù)，以ξ表示3年中生產(chǎn)部門獲得考核優(yōu)秀的次數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(Ⅱ)根據(jù)散點圖發(fā)現(xiàn)2015年數(shù)據(jù)偏差較大，如果去掉該年的數(shù)據(jù)，試用剩下的數(shù)據(jù)求出年利潤y(百萬元)關(guān)于年生產(chǎn)臺數(shù)x(萬臺)的線性回歸方程(精確到0.01)．

附線性回歸方程中，

問題(Ⅱ)答案如下：

因為x5== 6，所以去掉2015年的數(shù)據(jù)后不影響的值，所以而去掉2015年的數(shù)據(jù)之后從而回歸方程為： ?y= 0.48x+1.27．答案直接說出“因為x5==6，所以去掉2015年的數(shù)據(jù)后不影響的值”，不禁讓人感到突兀，進而對其引發(fā)了一系列的猜想和探究.

2 問題再探

探究視角1研究公式

通過觀察公式，很容易發(fā)現(xiàn)，剔除第五個樣本點(6,3)之后，由于x5==6，因此(x5-)2=0，進而分母的值不會發(fā)生改變.

而分子呢? 這時，有部分同學(xué)提出，由于(x5-)=0，因此，(x5-)(y5-)=0，從而得出分子的取值也不發(fā)生改變.乍一看，似乎有點道理，但很快就有同學(xué)提出不同的意見： 雖然(x5-)(y5-)=0，但是剔除第五個樣本點(6,3)之后，剩下的七個點的卻發(fā)生了改變，由原來的變成現(xiàn)在的因此，這說明不了分子到底是變還是未變，這都有可能性，還需要進一步探究.

探究視角2進行數(shù)據(jù)實驗.

取A(1,2),B(2,4),C(3,3)和D(2.7)四個樣本點，則

探究視角3一般性探究.

假設(shè)樣本點為(x1,y1),(x2,y2),(x3,b3),··· ,(xn,yn)，其中有一個樣本點(xt,yt)，且xt=，下面對剔除(xt,yt)前后的值進行對比.剔除前，

剔除后，

性質(zhì)1在利用最小二乘法求樣本點的線性回歸直線方程時，若增減一些橫坐標(biāo)與相同的樣本點，則不會影響所求線性回歸方程的斜率，但其在y軸上的截距可能會發(fā)生改變.

為什么b的值不發(fā)生改變呢? 這需要追蹤b值的來源.

探究視角4順藤摸瓜，追根求源.

對于線性回歸系數(shù)b的推導(dǎo)，在高中數(shù)學(xué)必修和選修教材中均有涉及，究其來源，要從平面中一個樣本點(xt,yt)與一條直線y=a+bx的“距離”說起.數(shù)學(xué)中可以用多種量來刻畫平面中點與直線的“接近程度”，但是在最小二乘法中，是利用[yi-(a+bxi)]2來刻畫的.教材中力求利用最小二乘法找到一條最“理想”的直線y=a+bx，來擬合樣本點(x1,y1),(x2,y2),··· ,(xn,yn),這就要求a,b,使這n個點與直線y=a+bx的“接近程度”之和最小，即使得Q(a,b)=(y1-a-bx1)2+(y2-a-bx2)2+···+(yn-a-bxn)2達到最小.教材中經(jīng)過變形，發(fā)現(xiàn)當(dāng)

時，Q(a,b)取最小值，可以認(rèn)為，此時b的值即為函數(shù)Q(a,b)的最小值點.如果在樣本點中，有一點為(xt,yt),且xt=，將其剔除，由于回歸直線必過中心點(,)，因此，Q(a,b)的值將會減少一個常量(yt -)2.一個函數(shù)去掉一個常數(shù)，其最值點是不會發(fā)生改變的，因此，b的值不會發(fā)生改變.這樣，就找到了b值不變的根源，問題得到解決.

3 一點思考

培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)是當(dāng)前教育改革的主旋律.新課標(biāo)指出，數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)要求學(xué)生在掌握“四基”(基礎(chǔ)知識、基本技能、基本方法和基本活動)和提高“四能”(發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力)的基礎(chǔ)上，進一步發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).其中，“數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運算”兩大素養(yǎng)的確立，體現(xiàn)了發(fā)展核心素養(yǎng)應(yīng)遵循“科學(xué)性、時代性和民族性”三大原則，適應(yīng)當(dāng)前信息化、大數(shù)據(jù)時代對人才培養(yǎng)的要求，這也是高中數(shù)學(xué)“六大核心素養(yǎng)”中最鮮明、最新穎的兩個基本素養(yǎng).近幾年來，高考中的概率與統(tǒng)計試題，對學(xué)生“數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運算”能力的考查要求越來越明顯.這需要在備考時，進一步回歸教材，精讀教材的每一個角落，對教材中的統(tǒng)計學(xué)知識再挖掘，并深入理解統(tǒng)計學(xué)原理，領(lǐng)悟統(tǒng)計學(xué)思想.對于公式，不應(yīng)停留在記住結(jié)論、公式的表層上，要弄清公式的來源、變形、推導(dǎo)過程及公式間的內(nèi)部聯(lián)系.例如，對于樣本數(shù)據(jù)x1,x2,x3,··· ,xn的方差公式和隨機變量X的方差公式在實質(zhì)上是一脈相承的關(guān)系，可通過類比進行理解記憶.

另外，在公式的變形上還要學(xué)會融會貫通，例如，2016年全國Ⅲ卷的概率統(tǒng)計解答題，在求相關(guān)系數(shù)r的時候，附表中給出的公式就是但是根據(jù)題目條件和所給數(shù)據(jù)，不能直接計算分子的值，這個時候就要類比教材中線性回歸方程的系數(shù)公式

的結(jié)構(gòu)形式，推得相關(guān)系數(shù)的變形結(jié)構(gòu)

這樣才能使問題迎刃而解.因此，在高三復(fù)習(xí)備考中，除了深入研究歷年統(tǒng)計與概率真題外，還要進一步回歸教材，特別是教材中知識產(chǎn)生的背景、過程和結(jié)論，都應(yīng)認(rèn)真對待，不可輕視.