數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休

吳進

摘? 要：華羅庚先生說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠聯(lián)系莫分離。”“數(shù)”的準確性和“形”的直觀性，可以引導學生更全面地認識數(shù)學本質，發(fā)展學生的數(shù)學思維，觸發(fā)高效的數(shù)學學習。

關鍵詞：以形助數(shù);以數(shù)解形;數(shù)形結合;小學數(shù)學

數(shù)學是一門研究客觀世界中的數(shù)量關系和空間形式的學科，具有抽象性、邏輯性和概括性等特點，而“數(shù)”和“形”就是貫穿小學數(shù)學課本的兩條基本主線。

■一、以形助數(shù)，抽象知識直觀化

現(xiàn)階段，在小學數(shù)學學習中，“數(shù)”指的是數(shù)與代數(shù)，包括了數(shù)的認識、數(shù)的運算、數(shù)量關系、常見的量等內容。然而基于學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求，我們傳統(tǒng)的數(shù)與代數(shù)的教學就顯得：重數(shù)量，輕質量;重過程，輕思維;重內容，輕生活;重形式，輕價值。

小學階段，低年級學生的思維趨向于將數(shù)學知識與具體事物或生動表象聯(lián)系在一起，高年級學生逐步學會區(qū)分概念中的本質與非本質屬性、主要與次要的因素，學會用抽象、科學的定義概括生活表象，思維邏輯性逐漸增強。但是，總體而言，小學生的數(shù)學思維仍然趨向于將數(shù)學知識與直接的、感性的經驗聯(lián)系在一起，具有很明顯的具體形象性。

因此，在小學階段，如何賦予“數(shù)與代數(shù)”這塊內容更多的趣味性、直觀性、實用性，可以說是我們亟須考慮的問題！結合小學數(shù)學幾何圖形直觀形象的特點，我們做了如下嘗試。

1. 數(shù)的認識

數(shù)的認識，包含了自然數(shù)、整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)等概念的學習，是小學數(shù)學學習中最基本的內容，是學生今后構建數(shù)的概念體系、掌握數(shù)的運算、探究數(shù)量關系的重要基礎。那么如何建立起枯燥概念與直觀圖形的紐帶呢？

我們就以認識“分數(shù)的意義”為例。分數(shù)的概念：把單位“1”平均分成若干份，取其中一份或幾份的數(shù)叫作分數(shù)。如果單靠字面含義，難以理解分數(shù)的概念，而教材中直觀圖的及時呈現(xiàn)恰好可以提供幫助。例如，聯(lián)系第2張圖，學生明白了：把一個長方形看作單位“1”平均分成8份，取其中5份就表示“八分之五”。化抽象概念為具體事例的同時，加深了學生對分數(shù)的理解，為接下來學習分數(shù)的運算、數(shù)量關系的分析打下了堅實的基礎。

2. 數(shù)的運算

數(shù)的運算指根據(jù)一定的數(shù)學概念、法則和定理，由一些已知量通過計算得出確定結果的過程。新課標指出，學生運算能力的培養(yǎng)要注重以下幾點：理解運算意義，理解運算算理，掌握運算方法，選擇運算方法解決問題。在傳統(tǒng)的計算教學中，家長、學生、教師更注重掌握運算方法，鑒于其相對抽象、枯燥、死板，學生多采用“題海戰(zhàn)”來強化練習，卻對運算本質知之甚少。

為了發(fā)展學生的思維，探尋數(shù)學運算的本質，現(xiàn)階段，幫助學生理解運算意義、理解運算算理才是我們計算教學的重中之重。那如何讓枯燥的算理“活”起來，更易于學生理解呢？我們智慧的數(shù)學教師，契合小學生思維發(fā)展特點，想到了用圖來化解難點。

例如，在教學“整數(shù)乘分數(shù)”中，運算方法是：分母不變，分子與整數(shù)相乘的積作為分子。簡單的一句話卻包含了兩個關鍵點：“為什么分母不變？”“分子與整數(shù)相乘的積表示什么？”多數(shù)學生對此是比較模糊的。而圖形恰好可以形象地說明，其中一個小長方形表示一個“十分之一”米，分子乘分母就是計算有幾個“十分之一”米。由圖可見，“分母不變”是說明分數(shù)單位不變，“分子與整數(shù)相乘的積作為分子”表示有多少個這樣的分數(shù)單位。從算理到算法，從一般到特殊，在幫助學生理解算理的同時，增強了運算學習的直觀性、趣味性。

3. 數(shù)量關系

數(shù)量關系是從數(shù)學問題中總結出來的揭示某些數(shù)量之間的本質聯(lián)系，并以數(shù)量關系式表示這種聯(lián)系。因此，學生深刻理解、掌握“數(shù)學問題”背后的數(shù)量關系，對于解決同類問題，培養(yǎng)“舉一反三”能力，形成對應的解題策略，發(fā)展數(shù)學思維，就顯得尤為重要了。

為了在復雜問題中，清晰、準確地找到數(shù)量關系，我們小學數(shù)學中常用的方法之一就是“線段圖”，它有助于將數(shù)學問題中數(shù)量以及數(shù)量之間的關系可視化、直觀化。

例如，張寧和王曉星一共有78張郵票，張寧給了王曉星18張郵票后，兩人一樣多，那么張寧和王曉星原來各有多少張郵票？這個問題看似比較簡單，然而“張寧給了王曉星18張郵票后，兩人一樣多”這句話很容易讓學生誤以為：張寧的郵票數(shù)-王曉星的郵票數(shù)=18（張）。但如果將條件和問題整理成一張線段圖，學生可以輕易發(fā)現(xiàn)，實則：張寧的郵票數(shù)-王曉星的郵票數(shù)=36（張）。由此可見，線段圖融合了條件和問題的同時，能夠清晰地呈現(xiàn)數(shù)量之間的內在聯(lián)系，其表現(xiàn)方式更契合小學生思維的形象性，更有助于學生數(shù)學思維的發(fā)展。

4. 常見的量

常見的量包括了時間、長度、面積、體積等知識。縱觀小學階段“常見的量”的學習，其抽象性讓學生的體驗感不強，大多數(shù)只會生搬硬套，不能夠正確建模和應用。然而，抽象的文字卻與生活實際緊緊聯(lián)系在一起，我們數(shù)學教師的任務之一就是要架構起它們之間的橋梁。

例如，在教學“認識體積單位”時，常見的體積單位依次有立方厘米、立方分米、立方米，單靠文字，學生難以體驗其實際大小。考慮小學生認知發(fā)展水平的直觀形象性，以體驗“1立方分米的大小”為例，一方面我們借助常見的幾何圖形進行理解：棱長是1分米的正方體，體積是1立方分米;另一方面我們借助生活中的物體進行理解：1立方分米相當于1個粉筆盒大小。多角度幫助學生化抽象為具體，讓“冰冷”的知識“鮮活”起來，真正為學生的思想“減負”。

■二、以數(shù)解形，表面現(xiàn)象精準化

小學數(shù)學學習中，另一條主線是“形”，指的是圖形與幾何，主要包含四部分：圖形的認識、圖形的測量、圖形與變換、圖形與位置?？v觀小學六年級中“圖形與幾何”知識板塊的教學，“圖形與幾何”無論是在學習還是生活中，學生從直觀、表面上去認識它們是比較容易的，但同時也是相對膚淺的。如果有了“數(shù)與代數(shù)”的支撐，我們就可以進一步深入、精準了解圖形，挖掘圖形的內在價值，為我們解決有關“圖形與幾何”的實際問題搭橋鋪路。比如：

1. 圖形的認識

以“認識長方體”為例。如果沒有數(shù)據(jù)支撐，我們僅僅只是知道生活中的牙膏盒、油箱、游泳池等類似的幾何形狀是長方體;有了數(shù)據(jù)支撐，我們便知道長方體有8個頂點、12條棱和6個面，相對的棱長度相等，相對的面完全一樣……從而我們可以依據(jù)長方體的特點，自主地制造我們需要的長方體物體。

2. 圖形的測量

以“測量線段的長度”為例。如果沒有數(shù)據(jù)支撐，我們僅僅只是知道上海去南京很遠;有了數(shù)據(jù)支撐，我們知道兩地大約相距300公里，開車大約需要4小時，坐高鐵大約需要一個半小時，乘飛機大約需要1小時……可以幫助人們合理安排時間、合理安排交通出行。

3. 圖形與變換

以“圖形的放大與縮小”為例。如果沒有數(shù)據(jù)支撐，我們僅僅只是知道照片可以放大或縮小;有了數(shù)據(jù)支撐，我們知道圖形放大或縮小后，對應邊成比例，形狀才不會發(fā)生變化，可以按1∶2縮小，也可以按5∶1放大……依此，拍證件照片時，我們僅需拍一次照片，就可以按需要打印1寸、2寸等不同大小的照片。

4. 圖形與位置

以“確定位置”為例。如果沒有數(shù)據(jù)支撐，我們僅會用“四面八方”確定大概方向;有了數(shù)據(jù)支撐，我們可以知道具體位置在什么方向，多少角度，多少距離……例如，當軍艦發(fā)現(xiàn)遇難船只在北偏東50°方向12海里處，可以更方便、更迅速地去展開救援。

由此可見，圖形的直觀性、簡潔性確實在某種程度上契合了小學生的認知發(fā)展特點，但如果我們的數(shù)學學習僅限于此就難免顯得淺薄了;而在數(shù)據(jù)支撐下，學生可以更深入、更細致、更精準地去了解圖形、了解客觀世界，體驗數(shù)學學習的價值。

■三、數(shù)形結合，助推數(shù)學問題的有效解決

“數(shù)”表示抽象思維，“形”表示形象思維。“數(shù)形結合”告訴我們，使抽象思維與形象思維相結合，通過“數(shù)”與“形”的互相轉化可以高效解決一系列數(shù)學問題。而從上面的交流中，我們也不難體會出“數(shù)學結合”思想對我們學習數(shù)學知識、解決數(shù)學問題、體會數(shù)學價值大有裨益。

小學階段，學生的思維以具體形象為主，逐步向抽象邏輯思維過渡，小學生更多地能夠體會到“以形助數(shù)，抽象知識直觀化”的優(yōu)點，若是能夠巧妙地運用“數(shù)形結合”思想，往往會使抽象問題直觀化，復雜問題簡單化，達到優(yōu)化解題路徑，達到事半功倍的效果。而隨著年齡的增長，學段的上升，尤其到了高中、大學階段，學生會對“以數(shù)解形，表面現(xiàn)象精準化”的理解更加深刻。因此，我們高年級教學可以適當滲透，待學生以后進一步感悟。