對稱問題的歸類探析

陳乾美

對稱問題是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，其實質(zhì)是曲線上的點與點間的對稱，抓住對稱點間的內(nèi)在聯(lián)系，可將幾何對稱（圖形語言）轉(zhuǎn)化為代數(shù)坐標（相關(guān)點）及方程（符號語言）.

考慮到同學們剛接觸解析幾何，我們借助例題的形式來對對稱問題進行簡單歸類，期待能給同學們一些啟示.

一、點的對稱問題

點的對稱問題主要有點關(guān)于點對稱和點關(guān)于線對稱兩類.

二、直線的對稱問題

直線的對稱問題有直線關(guān)于點對稱和直線關(guān)于直線對稱兩類.

分析 （1）直線關(guān)于點對稱，顯然這兩直線是平行關(guān)系且已知點到兩直線的距離相等，這樣，利用待定系數(shù)法即可輕松求解;

（2）直線關(guān)于一般直線對稱，我們可以利用點關(guān)于直線對稱的方法，任意從已知直線上取兩點，求出關(guān)于一般直線的對稱點后，利用兩點式就可以得到對稱直線的方程.

點評 直線關(guān)于點對稱的解題方法雖然比較巧妙，充分利用了幾何的性質(zhì)，但是與第（2）問一比較，我們也很容易想到，還可以在直線上任意取點，求對稱點后用兩點式表示對稱直線的方程.

求解直線關(guān)于直線對稱的問題，方法還是很多的，從幾何的思路出發(fā)，多思考，結(jié)合數(shù)形轉(zhuǎn)化，就會豁然開朗.

三、利用對稱求最值問題

利用對稱求最值實質(zhì)是用線段中垂線的性質(zhì)進行問題轉(zhuǎn)化.利用對稱點轉(zhuǎn)化為三點共線時，有兩點之間線段最短，可求距離之和的最小值;由三角形的兩邊之差小于第三邊，可求距離之差的最大值.靈活利用對稱性求解最值能使解題過程簡明扼要.

點評 此題靈活利用對稱，借助圖形很直觀地將無從下手的最值問題簡捷化，將代數(shù)問題幾何化.

由以上3個例題的歸類探究，發(fā)現(xiàn)對稱問題的實質(zhì)是求對稱點和對稱直線.求對稱點的通法是先設(shè)對稱點坐標，再用垂直、平分聯(lián)立方程組求解.

求對稱直線的通法：先設(shè)對稱直線上任意P'點的坐標，再由垂直和平分求P'的對稱點P的坐標，最后將點P坐標代入已知直線方程即可.

在學完直線與方程后，需將對稱問題中蘊含的數(shù)學思想與方法進行適當?shù)臍w納總結(jié)，這樣才能對該知識有一個完整的、系統(tǒng)的認識，解決對稱問題時才能得心應(yīng)手.