發(fā)展初中生直觀想象的教學(xué)實(shí)踐與思考

李衛(wèi)華

【摘要】直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，具備直觀想象素養(yǎng)的學(xué)生，能夠?qū)?fù)雜的言語(yǔ)信息圖像化，也能夠從幾何圖形中找到不變量及變量，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)突出.因此，發(fā)展初中生直觀想象能力的教學(xué)實(shí)踐研究很有必要.筆者選取現(xiàn)行人教版八年級(jí)下冊(cè)教材與直觀想象能力直接相關(guān)的“菱形的判定”這一節(jié)內(nèi)容，就初中數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)學(xué)生直觀想象能力的培養(yǎng)提出自己的思考和教學(xué)建議.

【關(guān)鍵詞】直觀想象;初中數(shù)學(xué);教學(xué)實(shí)踐

一、問(wèn)題的提出

直觀想象內(nèi)涵的解讀，可以將其分為幾何直觀與空間想象兩部分.幾何直觀對(duì)初中生來(lái)說(shuō)，主要是指“數(shù)形結(jié)合”.空間想象包含圖形變換、圖形識(shí)別、圖形折疊、圖形展開(kāi)、圖形推理、圖形與計(jì)算.從最近幾年各地區(qū)學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)試題可以發(fā)現(xiàn)，考查直觀想象的題目占比越來(lái)越大，而學(xué)生的作答情況并不樂(lè)觀.筆者以“菱形的判定”這一節(jié)課為例，就初中數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)學(xué)生直觀想象能力的培養(yǎng)提出自己的思考和教學(xué)建議.

人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第十八章第二節(jié)“菱形的判定”這節(jié)課的內(nèi)容，在編寫(xiě)時(shí)，采用探索與證明相結(jié)合的方式展開(kāi)相關(guān)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比矩形的判定，探索菱形的常用判定方法，并對(duì)探索得到的結(jié)論進(jìn)行證明和應(yīng)用，讓學(xué)生經(jīng)歷“類(lèi)比—發(fā)現(xiàn)—猜想—證明—應(yīng)用”的過(guò)程.如果長(zhǎng)期這樣，勢(shì)必造成初中生幾何直觀意識(shí)的缺乏：對(duì)于所給圖形，缺乏將其與一定數(shù)量關(guān)系或情境相聯(lián)系的意識(shí);對(duì)于所給問(wèn)題情境，缺乏借助圖形進(jìn)行表征的意識(shí).筆者嘗試在教學(xué)中讓學(xué)生經(jīng)歷“具體—抽象—具體”的思維轉(zhuǎn)化過(guò)程，從而提升其直觀想象素養(yǎng).筆者以“菱形的判定”為例，在問(wèn)題情境、數(shù)學(xué)問(wèn)題、數(shù)學(xué)結(jié)論、結(jié)論運(yùn)用等環(huán)節(jié)中設(shè)計(jì)了通過(guò)直觀想象感知、直觀想象分析、直觀想象構(gòu)建，發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

二、 對(duì)“菱形的判定”新授課的創(chuàng)新設(shè)計(jì)

在設(shè)計(jì)理念上，秉持“數(shù)學(xué)教育要以理性思維育人”的教育思想，崇尚“數(shù)學(xué)教學(xué)要為思維而教”的教學(xué)觀，情境和經(jīng)驗(yàn)是實(shí)現(xiàn)直觀想象的兩大條件.將教學(xué)過(guò)程分為四個(gè)步驟：

環(huán)節(jié)一 問(wèn)題引入

活動(dòng)1（復(fù)習(xí)）：菱形的定義與性質(zhì).（設(shè)置動(dòng)態(tài)圖形）

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)圖形運(yùn)動(dòng)直觀感知圖形變化，在幾何變換中感受概念的關(guān)鍵條件.通過(guò)圖形的變化，進(jìn)行圖形識(shí)別的訓(xùn)練，從圖形變換中理解概念的內(nèi)涵，發(fā)展直觀想象能力.

問(wèn)題1：你能指出其中菱形特有的性質(zhì)嗎？

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)圖形的性質(zhì)的復(fù)習(xí)，特別指出：此處一定要結(jié)合圖形.通過(guò)圖形與數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換，加深學(xué)生對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)，提升學(xué)生對(duì)圖形的直觀感知.

活動(dòng)2（操作）：折紙游戲：將一張矩形紙片如圖1這樣對(duì)折后，沿圖1中的虛線AB剪下，將△ABO完全展開(kāi)得到圖2.

問(wèn)題2：猜想圖2中四邊形ABCD是什么特殊的四邊形，你能說(shuō)明自己猜想的正確性嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，思考圖形變換中的不變量，提出問(wèn)題，引出課題.通過(guò)創(chuàng)設(shè)學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)發(fā)展的教學(xué)情境，使抽象問(wèn)題變得直觀化，便于學(xué)生理解.

環(huán)節(jié)二 定理探索

活動(dòng)3：回憶矩形有哪些判定方法？

問(wèn)題3：矩形的判定與性質(zhì)之間有什么關(guān)系？

問(wèn)題4： 矩形的判定除了用矩形的定義之外，另兩個(gè)判定的條件就是矩形的特有性質(zhì)，那么菱形的判定情況又是怎樣的呢？

活動(dòng)4（探索）： 菱形有哪些判定方法呢？

活動(dòng)5（操作探究）：

（1）學(xué)生用尺規(guī)作圖作出菱形，師生交流總結(jié)畫(huà)法.

（2）通過(guò)畫(huà)圖和說(shuō)圖的過(guò)程，學(xué)生交流討論：為什么剛才畫(huà)的四邊形就是菱形呢？并寫(xiě)出你自己的猜想.

（3）你能證明你的猜想嗎？請(qǐng)根據(jù)猜想，嘗試寫(xiě)出證明的全過(guò)程.

學(xué)生在學(xué)習(xí)矩形的判定時(shí)，積累了通過(guò)矩形的性質(zhì)去探索矩形的判定，此時(shí)很容易根據(jù)菱形性質(zhì)去猜想 “對(duì)角線互相垂直的四邊形為菱形”.以畫(huà)圖實(shí)驗(yàn)，否定了對(duì)角線互相垂直的四邊形不一定是菱形的直觀判斷過(guò)程，發(fā)展了學(xué)生的直觀想象能力，也滲透了運(yùn)用直觀的價(jià)值.

設(shè)計(jì)意圖：此時(shí)教學(xué)過(guò)程中建構(gòu)直觀圖，通過(guò)圖形來(lái)直觀解決問(wèn)題.學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖，將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題可視化，將探索菱形的判定方法直觀化，使得圖形語(yǔ)言與文字語(yǔ)言較好地互換.學(xué)生從性質(zhì)出發(fā)，以直觀感覺(jué)入手，探索菱形的判定定理，發(fā)展了學(xué)生的直觀想象能力.

活動(dòng)6：教師用幾何畫(huà)板演示活動(dòng)5作圖.

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)流程為“操作—觀察—猜想—驗(yàn)證”.運(yùn)用幾何畫(huà)板將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可視化圖形，直觀呈現(xiàn)圖形的動(dòng)態(tài)過(guò)程，無(wú)論是教師黑板粉筆作圖，還是學(xué)生紙筆作圖，都很難得出動(dòng)點(diǎn)的位置變化情況.讓學(xué)生用眼睛觀察、用頭腦去想象，挖掘問(wèn)題里的源泉，親歷點(diǎn)的變化過(guò)程，對(duì)提升學(xué)生直觀想象能力有不可忽視的作用.

活動(dòng)7：學(xué)生完成文字概括，并依據(jù)條件畫(huà)出圖形進(jìn)行幾何推理，然后用填空的形式完成數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生畫(huà)圖，一個(gè)定理對(duì)應(yīng)著相應(yīng)圖形，一個(gè)圖形反映某個(gè)定理，讓條件和結(jié)論落實(shí)到圖形上，有助于幾何直觀能力的培養(yǎng).

環(huán)節(jié)三 類(lèi)比建構(gòu)定理

活動(dòng)8：建構(gòu)菱形的判定定理.

問(wèn)題5：你能類(lèi)比矩形的性質(zhì)與判定畫(huà)出菱形的性質(zhì)與判定的思維導(dǎo)圖嗎？

設(shè)計(jì)意圖：使知識(shí)網(wǎng)絡(luò)直觀化.建構(gòu)矩形與菱形的性質(zhì)和判定的關(guān)系，對(duì)關(guān)系的建構(gòu)過(guò)程也是發(fā)展直觀想象素養(yǎng)的過(guò)程.

環(huán)節(jié)四 例題教學(xué)

活動(dòng)9（應(yīng)用）

問(wèn)題6：你能證明活動(dòng)2的猜想了嗎？

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)剛學(xué)的菱形判定方法及時(shí)鞏固，與前面的課題引入相呼應(yīng)，讓學(xué)生知道學(xué)有所用.

問(wèn)題7：在剛才的矩形紙片中，連接四條邊的中點(diǎn)得到的這個(gè)四邊形是菱形嗎？

例1： 如圖3，E，F(xiàn)，G，H分別是矩形ABCD各邊的中點(diǎn)，請(qǐng)猜想四邊形EFGH是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想.

問(wèn)題8：對(duì)矩形紙片ABCD，除了活動(dòng)2那樣的操作，你還能用其他對(duì)折展開(kāi)的方法得到菱形嗎？

例2：如圖4，把矩形ABCD紙片沿直線BD對(duì)折，使點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，BE與AD交于點(diǎn)F，再將折疊的圖形展開(kāi)，點(diǎn)F與BC邊上的點(diǎn)G重合，連接DG，求證：四邊形BGDF是菱形.

例3：如圖5，把矩形ABCD紙片沿直線EF對(duì)折，使點(diǎn)A 與點(diǎn)C重合， 直線EF與AD，BC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接CE，AF，求證：四邊形AFCE是菱形.

問(wèn)題9：若將例3中的矩形紙片換成平行四邊形紙片，還能有上述的結(jié)論嗎？

變式1：如圖6，將平行四邊形紙片ABCD進(jìn)行對(duì)折，使A點(diǎn)與C點(diǎn)重合，折痕與AD，BC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，求證：四邊形AFCE是菱形.

問(wèn)題10：將變式1中的平行四邊形紙片換成梯形紙片呢？

變式2：如圖7，在梯形紙片ABCD中，AD∥BC，將它進(jìn)行對(duì)折，使A點(diǎn)與C點(diǎn)重合，折痕與AD，BC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，猜想：四邊形AFCE是什么特殊的四邊形？并證明你的猜想.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在活動(dòng)中體會(huì)圖形變化，學(xué)會(huì)用直觀圖形解決幾何問(wèn)題，在變式討論中，利用直觀想象解決問(wèn)題，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)能力.

環(huán)節(jié)五 拓展延伸

問(wèn)題11：你還能用其他方法將一張矩形紙片進(jìn)行折疊，得到一個(gè)菱形嗎？

問(wèn)題12：將四邊形紙片ABCD如上面進(jìn)行折疊或剪開(kāi)，四邊形紙片ABCD滿足什么條件時(shí)還能是菱形？

設(shè)計(jì)意圖：本題是一道開(kāi)放性問(wèn)題.學(xué)生通過(guò)抓住圖形變換中不變量和對(duì)圖形折疊、展開(kāi)等變換的綜合操作，發(fā)展學(xué)生的直觀想象能力.這種發(fā)展是幾何教學(xué)作用于發(fā)展關(guān)鍵期的結(jié)果.

三、“初探”的自我認(rèn)識(shí)

1.重視活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，加強(qiáng)實(shí)踐操作

學(xué)生通過(guò)對(duì)圖形的變換或畫(huà)圖以及合作交流等活動(dòng)，不僅為學(xué)習(xí)圖形的性質(zhì)與判定奠定了基礎(chǔ)，也積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展了直觀想象素養(yǎng).如“菱形的判定”中，筆者沒(méi)有像其他老師一樣，證明猜想是否成立時(shí)把圖直接畫(huà)在黑板上，然后讓學(xué)生直接進(jìn)行證明，而是將時(shí)間重點(diǎn)安排在畫(huà)圖探究環(huán)節(jié)，充分調(diào)動(dòng)每一名學(xué)生參與畫(huà)圖.看似多余的環(huán)節(jié)，實(shí)則已經(jīng)為學(xué)生建構(gòu)了菱形的判定知識(shí)，學(xué)生通過(guò)經(jīng)歷過(guò)程，累積學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，完全符合直觀想象素養(yǎng)水平描述中提到的水平三的評(píng)價(jià)之一，即在交流中，能夠利用直觀想象探討問(wèn)題的本質(zhì)及其與數(shù)學(xué)的聯(lián)系.

2.運(yùn)用幾何畫(huà)板，給學(xué)生提供“直觀想象”的機(jī)會(huì)

教師運(yùn)用幾何畫(huà)板等現(xiàn)代信息手段，向?qū)W生展示數(shù)學(xué)圖形的運(yùn)動(dòng)變化，讓學(xué)生在變化過(guò)程中找到不變的量和變化的量，把握問(wèn)題的本質(zhì)，產(chǎn)生解決問(wèn)題的思路.幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)演示，架設(shè)直觀與想象的橋梁， 不僅有圖形， 還讓這些圖形根據(jù)題中的條件動(dòng)起來(lái)，將原本難以想象的畫(huà)面形象地?cái)[在學(xué)生面前，為直觀與想象架設(shè)橋梁.

3.教學(xué)內(nèi)容的拓展，引導(dǎo)學(xué)生掌握直觀想象的方法

在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)該針對(duì)內(nèi)容進(jìn)行變式訓(xùn)練或一題多解訓(xùn)練，給學(xué)生一個(gè)思維的外延導(dǎo)向.學(xué)生通過(guò)觀察、類(lèi)比、猜想、畫(huà)圖驗(yàn)證等活動(dòng)，構(gòu)建出相應(yīng)圖形的特征，鍛煉直觀想象能力.

4.文字圖像化， 為直觀想象提供載體

初中學(xué)生往往對(duì)含數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)的文字和符號(hào)有畏懼心理，尤其是大段的，長(zhǎng)篇幅的更是如此. 數(shù)學(xué)問(wèn)題圖形化，為學(xué)生直觀想象提供可視材料，讓數(shù)學(xué)問(wèn)題變得形象，有親和力，更加符合學(xué)生的認(rèn)知心理特征.將數(shù)學(xué)問(wèn)題用圖形語(yǔ)言表述，使得問(wèn)題變得更加直觀，學(xué)生更容易理解，降低問(wèn)題復(fù)雜性.因此，在開(kāi)展數(shù)學(xué)教育工作過(guò)程中，教師應(yīng)考慮文字圖像化， 為直觀想象提供載體，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力.

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