例析化歸法求解函數(shù)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題

江西省鷹潭市第一中學(xué) (335000) 黃鶴飛

化歸法就是將待解決的問(wèn)題和未解決的問(wèn)題，采取某種策略，轉(zhuǎn)化歸結(jié)為一個(gè)已經(jīng)解決的問(wèn)題；或歸結(jié)為一個(gè)熟知的具有確定解決方法和程序的問(wèn)題；或歸結(jié)為一個(gè)比較容易解決的問(wèn)題，最終求得原問(wèn)題的解.本文例舉其在解決函數(shù)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中的運(yùn)用.

例1 已知函數(shù)f(x)=lnx-ax2(a∈R).

(1)討論y=f(x)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)x1，x2，證明：x1x2>e．

評(píng)注:本題(2)主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，求解中采用了換元法、等價(jià)變換法進(jìn)行化歸轉(zhuǎn)換法.

例2 已知函數(shù)f(x)=x2(6lnx-4x+6a-3)有兩個(gè)極值點(diǎn).

(1)求a的取值范圍；

解：(1)由f(x)=x2(6lnx-4x+6a-3)，得f′(x)=12x(lnx-x+a).函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于f′(x)=0在(0,+∞)上有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于lnx-x+a=0在(0,+∞)上有兩個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)a≤1時(shí)，g(x)max≤0恒成立，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，不可能有兩個(gè)極值點(diǎn)，舍去；

當(dāng)a>1時(shí)，e-a∈(0,1),ea∈(1,+∞),g(e-a)=-e-a<0,g(ea)=2a-ea<0，而g(1)>0，由零點(diǎn)存在性定理得g(x)在(0,1)和(1,+∞)內(nèi)分別存在一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn).綜上，所求a的取值范圍為(1,+∞).

評(píng)注:本題為導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用問(wèn)題,主要考查到利用函數(shù)極值求參數(shù)范圍及利用極值點(diǎn)證明不等式問(wèn)題，其求解中重點(diǎn)考查到化歸方法的應(yīng)用.

(1)若函數(shù)f(x)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

評(píng)注:本題除考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的恒成立問(wèn)題，也考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，并考查了利用函數(shù)的極值求參數(shù)范圍，采用換元構(gòu)造法構(gòu)造新函數(shù)研究恒成立等問(wèn)題，其求解過(guò)程中重點(diǎn)是運(yùn)用了化歸法,將問(wèn)題不斷朝求解方向轉(zhuǎn)化.