分類討論思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用分析

邱琴

摘 要：分類討論思想是一種非常重要的數(shù)學(xué)邏輯思想。這種思想在發(fā)展學(xué)生思維、提高學(xué)生的核心素養(yǎng)起著重要作用。在歷年的中考中，有關(guān)此思想的數(shù)學(xué)命題占有重要地位，但對(duì)初中學(xué)生來(lái)說(shuō)又是一大難點(diǎn)。本文從分類討論思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用問(wèn)題和應(yīng)用策略及類型分析這幾個(gè)方面進(jìn)行闡述，希望有助于實(shí)際教學(xué)的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：分類討論;初中數(shù)學(xué);應(yīng)用

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1005-8877（2020）32-0096-02

【Abstract】Classified discussion is a very important thought of mathematical logic. This kind of thought plays an important role in developing students' thinking and improving their core quality. In the senior high school entrance examination over the years，the mathematical proposition about this idea occupies an important position，but it is a big difficulty for junior high school students. This paper expounds the application of classified discussion thought in junior high school mathematics teaching，application strategies and type analysis，hoping to contribute to the development of practical teaching.

【Keywords】Classified discussion;Junior high school mathematics;Application

所謂分類討論，就是在研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，問(wèn)題所給對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究，我們就需要將對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)區(qū)分出為不同種類，然后逐類進(jìn)行研究和解決，最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問(wèn)題的解決，這一思想方法，我們稱之為“分類討論的思想”.也就是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的解題策略。此思想可以培養(yǎng)學(xué)生全面觀察事物、靈活處理問(wèn)題的能力，有利于初中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與提升。下面對(duì)分類討論思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行一些初步探討：

1.教學(xué)中，學(xué)生在解題時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)的問(wèn)題。

在利用此思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生存在著一些問(wèn)題有待解決，其一：學(xué)生對(duì)知識(shí)系統(tǒng)掌握的不夠扎實(shí)，沒(méi)有分類討論的意識(shí);其二：學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)題目比較難，數(shù)學(xué)思維量比較大，如何進(jìn)行分類存在著很大問(wèn)題;其三：學(xué)生對(duì)分類思想方法的具體應(yīng)用不是很清晰，在分類中就會(huì)存在著不合理之處，也就導(dǎo)致了考慮問(wèn)題不周全而造成漏解或重復(fù);其四：分類討論的思想有著很多的技巧，程度不好的學(xué)生就沒(méi)辦法完全掌握。

2.初中數(shù)學(xué)中分類討論思想在解題中常見(jiàn)的類型

教師要能夠?qū)Ψ诸愑懻撍枷胗忻鞔_詳細(xì)的認(rèn)識(shí)，這樣才能更好的指導(dǎo)學(xué)生。老師要在教材的理解以及教學(xué)目標(biāo)方面有著充分了解，掌握各方面的知識(shí)和技能，將專業(yè)水平不斷的提升，只有如此，才能將分類討論思想的作用在教學(xué)中得到充分發(fā)揮。在進(jìn)行應(yīng)用分類討論思想的時(shí)候，要能將討論的對(duì)象以及討論的范圍加以明確化，要能確定同一類的標(biāo)準(zhǔn)，并能科學(xué)的對(duì)全體對(duì)象實(shí)施分類，而且分類要做到不重復(fù)，不遺漏，然后逐類地加以討論，最后進(jìn)行綜合性的加以概括和得出結(jié)論，需要分類討論的類型主要有以下幾方面：

（1）由數(shù)學(xué)概念導(dǎo)致的分類討論，利用定義要考慮所有可能的情況;

例1：已知點(diǎn)A（3，0）、C（0，?4）在線段AC上，有一點(diǎn)Q，AQ=4，若在x軸上有一點(diǎn)E，使得以A、E、Q為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，請(qǐng)求出E點(diǎn)的坐標(biāo)。等腰三角形的定義中描述：有兩邊相等的三角形為等腰三角形，所以要考慮AE=EQ，AE=AQ，EQ=AQ三種情況，最后得解。

（2）由數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)、公式的限制條件引起的分類討論;

例2：若xx-2019=1，求x的值。

此題根據(jù)：（1）公式x0=1（x不等于0），（2）1n=1，（3）（-1）2n=1這三種情況來(lái)分析，得出x=2019，1，-1.

例3：某工廠準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲乙兩種商品，甲種進(jìn)價(jià)80元/件，售價(jià)120元/件;乙種進(jìn)價(jià)60元/件，售價(jià)90元/件，計(jì)劃購(gòu)進(jìn)兩種商品共100件，其中甲種不少于65件.

第一，若購(gòu)進(jìn)這100件商品的費(fèi)用不得超過(guò)7500元，則甲種商品最多購(gòu)進(jìn)多少件？

第二，在第一的條件下，該工廠對(duì)甲種商品以每件優(yōu)惠a（0

第二的解答：設(shè)總利潤(rùn)為w元，因?yàn)榧追N商品不少于65件，所以65≤x≤75.w=（40-a）x+30（100-x）=（10-a）x+3000.根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)（10-a）進(jìn)行討論，（10-a）的不同取值對(duì)最值產(chǎn)生影響：方案1：當(dāng)00，w隨x的增大而增大，所以當(dāng)x=75時(shí)，w有最大值，則購(gòu)進(jìn)甲種商品75件，乙種商品25件;

方案2：當(dāng)a=10時(shí)，所有方案獲利都相同，所以隨便哪種方案進(jìn)貨都可以;

方案3：當(dāng)10

（3）由數(shù)學(xué)式子的變形所需要的限制條件引起的分類討論;

例4：若|x|=2，|y|= 3，則x+y等于多少？要考慮x，y是非負(fù)數(shù)還是負(fù)數(shù)，才能把絕對(duì)值符號(hào)去掉，本題要分①x=2，y=3? ②x=2，y=?3? ③ x= ?2，y=3? ④x= ?2，y= ?3四種情形進(jìn)行討論。

（4）結(jié)論存在多種情況，不能一概而論時(shí)而引起的分類討論;

例5：求不等式的1-ax>3解集時(shí)，要根據(jù)不等式的性質(zhì)對(duì)a進(jìn)行分析。即a>O與a<0這兩種情況進(jìn)行討論

例6：如圖，拋物線經(jīng)過(guò)A（4，0），B（1，0），C（0，?2）三點(diǎn).

第一，求出拋物線的解析式;

第二，P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在P點(diǎn)，使得以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由;

第一的解答略，第二∵△OAC是直角三角形，以A、P、M為頂點(diǎn)的三角形與其相似，由于點(diǎn)P可能在x軸的上方，或者下方，分三種情況，每種位置又有兩種情形一是△APM∽△ACO，另一種是△APM∽△CAO，分別用相似比解答;

（5）由圖形的位置和大小的不確定性而引起的分類討論;

例如：⊙O1、⊙O2的半徑分別為13和20，兩圓相交于A、B兩點(diǎn)，且AB的長(zhǎng)24，求圓心距O1O2和∠O1AO2（精確到1°）。

此題沒(méi)有圖形，所以一定要考慮分類的情況，將不同位置的兩個(gè)相交圓畫出，一種是兩個(gè)圓心位于AB的同側(cè)，另一種是位于AB的兩側(cè)。這道題主要是防止題目漏解的情況出現(xiàn)。

3.在初中數(shù)學(xué)解題中分類討論思想的應(yīng)用策略

初中數(shù)學(xué)老師在應(yīng)用分類討論思想過(guò)程中，要對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況有充分的了解，對(duì)學(xué)生這一解題思想的應(yīng)用情況，針對(duì)性的提出幫助，幫助學(xué)生掌握分類討論思想的應(yīng)用。具體策略如下：

（1）轉(zhuǎn)變教學(xué)理念，打破傳統(tǒng)的教學(xué)思想模式，通過(guò)現(xiàn)代化的教學(xué)思想進(jìn)行教學(xué)，緊密和新課程標(biāo)準(zhǔn)相結(jié)合，并將學(xué)生作為教學(xué)的中心，圍繞著學(xué)生來(lái)展開(kāi)教學(xué)活動(dòng)，創(chuàng)新性的應(yīng)用分類討論思想。

（2）制定準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)，對(duì)教學(xué)中的每個(gè)知識(shí)點(diǎn)和模塊都要進(jìn)行精心的設(shè)計(jì)，滿足學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)需求。并能通過(guò)現(xiàn)代化技術(shù)的應(yīng)用，促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和效率的提升，將多媒體技術(shù)和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)在課堂中加以應(yīng)用，營(yíng)造動(dòng)態(tài)化的教學(xué)環(huán)境。

（3）在教學(xué)中應(yīng)注重對(duì)學(xué)生分類討論思想的培養(yǎng)，將分類討論的思想滲透到解題過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察，合理展開(kāi)分類。在分類過(guò)程中，善于引導(dǎo)學(xué)生簡(jiǎn)化討論方法，防止分類過(guò)分復(fù)雜導(dǎo)致錯(cuò)誤。并注重提高學(xué)生在進(jìn)行分類討論時(shí)的思維縝密性，讓學(xué)生在具體的練習(xí)中養(yǎng)成分類討論的習(xí)慣，了解分類討論的原則 。最后達(dá)到利用分類討論思想來(lái)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合解題能力，這也是新課改的具體要求。

總而言之，初中數(shù)學(xué)的解題教學(xué)中，應(yīng)用分類討論思想要能遵循相應(yīng)的原則，這樣才能將分類討論的作用得到充分發(fā)揮，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)效率才能有效提升。分類討論思想的應(yīng)用中，老師要能夠?qū)⒔虒W(xué)的內(nèi)容作為主要的載體，和每個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)的特征相結(jié)合，然后將分類討論的思想在每個(gè)環(huán)節(jié)中加以融入，通過(guò)科學(xué)化的方式讓學(xué)生能對(duì)這一解題思想得以領(lǐng)會(huì)并吸收，讓學(xué)生確實(shí)掌握分類討論的問(wèn)題的解決方法與策略，才能讓學(xué)生學(xué)習(xí)效率得以提升，才更能利于培養(yǎng)與提高中學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)

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[2]劉繼和.“分類討論”在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[A].中華教育理論與實(shí)踐科研論文成果選編第4卷，2010