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    算理貫通 理法相融

    2020-01-07 14:09:11周小芳周琪靳培英鞏子坤
    關(guān)鍵詞:學(xué)習(xí)路徑

    周小芳 周琪 靳培英 鞏子坤

    【摘? ?要】要實現(xiàn)算理貫通,就要促進(jìn)多種表征貫通;要實現(xiàn)理法相融,就要促進(jìn)算理走向算法。教師采用行動研究法,探查了有利于算理貫通、理法相融的兩位數(shù)加一位數(shù)(進(jìn)位)的學(xué)習(xí)路徑。該加法的本質(zhì)與關(guān)鍵是“進(jìn)位”,即“滿十進(jìn)一”,這為加法豎式的“進(jìn)位”做好了鋪墊。優(yōu)化的學(xué)習(xí)路徑包括3個層次推進(jìn)的認(rèn)知任務(wù):兩位數(shù)加一位數(shù)(不進(jìn)位)→兩位數(shù)加一位數(shù)(進(jìn)位)→一位數(shù)加兩位數(shù)(進(jìn)位),每個任務(wù)充分呈現(xiàn)算理的直觀表征、符號表征與程序表征,并實現(xiàn)三類表征的貫通。學(xué)習(xí)了兩位數(shù)加一位數(shù),也就明白了整數(shù)加法的兩個基本原理,即“數(shù)位對齊”與“滿十進(jìn)一”,從此,再無整數(shù)加法;大而言之,小學(xué)階段再無加法。

    【關(guān)鍵詞】兩位數(shù)加一位數(shù)(進(jìn)位);表征貫通;算理理解;學(xué)習(xí)路徑

    一、問題提出

    兩位數(shù)加一位數(shù)(不進(jìn)位)要解決的關(guān)鍵問題是“算理貫通”“數(shù)位對齊”,并實現(xiàn)理法相融;兩位數(shù)加一位數(shù)(進(jìn)位)要解決的關(guān)鍵問題是“算理貫通”“進(jìn)位”,并實現(xiàn)理法相融。在前文(見本刊2020年第11期《算理貫通? ?理法相融——兩位數(shù)加一位數(shù)(不進(jìn)位)學(xué)習(xí)新路徑研究》)中我們通過三次教學(xué)設(shè)計、二次教學(xué)實踐,對比課堂教學(xué)中學(xué)生的表現(xiàn)、課后測試的結(jié)果,得到了兩位數(shù)加一位數(shù)(不進(jìn)位)優(yōu)化的學(xué)習(xí)路徑C。同樣,要實現(xiàn)兩位數(shù)加一位數(shù)(進(jìn)位)算理貫通、理法相融的教學(xué)目標(biāo),也要設(shè)計合理的、具有邏輯關(guān)系的、層次遞進(jìn)的學(xué)習(xí)任務(wù),這一系列學(xué)習(xí)任務(wù)就構(gòu)成了兩位數(shù)加一位數(shù)(進(jìn)位)的學(xué)習(xí)路徑。因而,為了得到這樣的學(xué)習(xí)路徑,本文同樣研究了如前文中所述的4個問題。

    我們同樣采取行動研究法,在杭州一所普通小學(xué)的教師Z執(zhí)教的甲、乙兩班繼續(xù)開展實證研究,研究設(shè)計、程序與有關(guān)的理論框架如前文。

    二、學(xué)習(xí)路徑D

    (一)學(xué)習(xí)路徑D呈現(xiàn)

    教師Z在甲班實施的學(xué)習(xí)路徑D如圖1所示。

    任務(wù)1、任務(wù)2都有現(xiàn)實背景。任務(wù)1是兩位數(shù)加一位數(shù)(不進(jìn)位),個位與個位相加不滿十,不需要進(jìn)位,重點解決“數(shù)位對齊”,這里意在幫助學(xué)生回憶、梳理已有的知識經(jīng)驗,為順利遷移到兩位數(shù)加一位數(shù)(進(jìn)位)做鋪墊。

    任務(wù)2是兩位數(shù)加一位數(shù)(進(jìn)位),在學(xué)生已有經(jīng)驗的基礎(chǔ)上,教師引導(dǎo)學(xué)生通過擺小棒這樣直觀的操作到有條理的語言表達(dá),讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象的過程,以此幫助學(xué)生理解算理,掌握算法。

    (二)存在問題與原因分析

    1.沒有實現(xiàn)算理貫通

    通過對課堂實錄的分析,發(fā)現(xiàn)教師Z意在通過多種方式來表征算理。然而,事與愿違,沒有實現(xiàn)算理的貫通,僅僅是多種表征的堆砌。

    師:怎樣用小棒表示24+8的計算過程?

    生:先擺2捆,再擺4根,接著再擺8根。這8根中拿出6根和4根湊成10根,捆成一捆,結(jié)果是32。

    師:先算什么?再算什么?

    生:先算24+6=30,再算30+2=32。

    師:還可以怎么算?

    生:8根和4根先加起來是12根,12根加2捆,結(jié)果是32。

    師:先算什么?再算什么?

    生:先算4+8=12,再算20+12=32。

    師:如果用計數(shù)器表示,你會嗎?

    生:先在十位上撥2顆算珠,再在個位上撥4顆算珠,最后在個位上再撥8顆算珠。

    師:個位上的算珠超過了9怎么辦?

    生:在十位加1顆,個位只留2顆。

    師:那就相當(dāng)于先算什么?再算什么?

    生:先算4+8=12,再算20+12=32。

    師:那你們見過這兩種算法嗎?

    (課件呈現(xiàn)豎式和 24+10-2=32)

    師(指著豎式):這是什么意思?

    生:這是豎式。4加8等于12,個位滿十要向十位進(jìn)一,所以個位寫2,向十位進(jìn)一,十位上2加1等于3,結(jié)果是32。

    師(指著方法24+10-2=32):那這種方法你能看懂嗎?

    生:8+2等于10,10-2等于8。

    師:我們把8化成10-2,之前我們學(xué)過了兩位數(shù)加整十?dāng)?shù),那么24+10等于34,然后34-2等于?

    生:等于32。

    由此可以看出,教師在教學(xué)過程中呈現(xiàn)的直觀圖僅僅是計算的結(jié)果,沒有體現(xiàn)出計算的過程,也就是沒有通過直觀來凸顯“進(jìn)位”的過程,因而,也就沒有留下直觀的“進(jìn)位”痕跡。如24+8=32,十位上由2變成3,這多出來的1個十,來源于何處,是如何得到的,直觀圖均沒有體現(xiàn)(當(dāng)然,教材中也沒有出現(xiàn))。沒有直觀的圖,就不利于學(xué)生理解“滿十進(jìn)一”。

    強調(diào)算法的多樣性,本是一件好事,但是,本節(jié)課的主要目的是“理解算理,并實現(xiàn)不同表征的貫通”,因而,算法絕不是越多越好。教師使用了多種橫式和豎式來表征24+8的計算過程,橫式一種是4+8=12,20+12=32;另一種是24+6=30,30+2=32;還有一種是24+10-2=32。僅僅豎式和橫式24+10-2=32教師就用了將近四分鐘的時間來講解。但是這些表征都沒有很好地體現(xiàn)出“進(jìn)位”,尤其24+10-2=32更是巧妙地避開了“進(jìn)位”,與我們的教學(xué)目標(biāo)背道而馳。教師追求多種方法的講解,什么都想教給學(xué)生,結(jié)果反而使得計算方法雜亂無章、多而繁,由此造成直觀表征與直觀表征之間、直觀表征和符號表征之間的割裂,沒有實現(xiàn)表征的貫通,本質(zhì)上也就沒能夠?qū)崿F(xiàn)算理的有效貫通。

    2.沒有實現(xiàn)理法相融

    師:現(xiàn)在我們就有四種方法來計算24+8,你們都學(xué)會了嗎?

    生:學(xué)會了。

    師:接下來我要考考大家了。(接著學(xué)生開始做練習(xí))

    在教授完四種方法后,教學(xué)戛然而止,直接進(jìn)入練習(xí)環(huán)節(jié),教師并沒有對兩位數(shù)加一位數(shù)(進(jìn)位)的算法進(jìn)行一個總結(jié)、升華。雖然講解了計算24+8的多種方法,但是這幾種方法有沒有相同點,有沒有共性,學(xué)生不得而知。另外,教師在教學(xué)24+8時,在無任何鋪墊的情況下出示了豎式,學(xué)生感到愕然。首先,教師要明白,豎式在一定程度上屏蔽了算理,不利于學(xué)生對算理本質(zhì)的理解;其次,本次教學(xué)應(yīng)該為后面“豎式”的學(xué)習(xí)做相應(yīng)的鋪墊,而不是簡單蒼白地呈現(xiàn)豎式。否則,后面學(xué)習(xí)兩位數(shù)加兩位數(shù)出現(xiàn)豎式時同樣會使學(xué)生愕然。

    (三)學(xué)習(xí)路徑完善的建議

    1.改變表征方式

    要真正理解算理,就要促使多種直觀表征之間、直觀表征和符號表征之間相互貫通,實現(xiàn)表征一致性,進(jìn)而實現(xiàn)優(yōu)化。因此,無論是直觀表征還是符號表征都要體現(xiàn)出進(jìn)位,留下進(jìn)位的痕跡,建議刪去屏蔽了進(jìn)位的橫式和豎式。

    2.增加關(guān)鍵提問

    在學(xué)生掌握算理的基礎(chǔ)上,為促使算理走向算法,就要及時提出關(guān)鍵問題:這些表征過程有何相同之處?在學(xué)生明確了要個位與個位對齊,滿十進(jìn)一后,再接著問:你能比較24+5和24+8的異同嗎?

    3.增加任務(wù)3

    增加任務(wù)3:計算8+24,以此鞏固算理、算法,并初步感受加法交換律。

    三、重構(gòu)的學(xué)習(xí)路徑E

    (一)學(xué)習(xí)路徑E呈現(xiàn)

    教師Z在乙班重構(gòu)的學(xué)習(xí)路徑E如圖2所示。

    相對于學(xué)習(xí)路徑D,學(xué)習(xí)路徑E有以下變化:

    (1)實現(xiàn)多種表征的一致性。直觀表征都留下了進(jìn)位的痕跡,從進(jìn)位前到進(jìn)位后,整個計算過程一目了然。且直觀表征與直觀表征之間、直觀表征與符號表征之間也相互貫通,相互呼應(yīng),有利于算理貫通。雖然學(xué)生在20以內(nèi)的進(jìn)位加法中學(xué)習(xí)了進(jìn)位的概念,但那時的進(jìn)位,所進(jìn)上去的那位(十位)空無一物,無所依傍,也無所相加,因而,進(jìn)上去的“1”顯得孤零零的,學(xué)生對進(jìn)位的感受并不明顯;特別地,學(xué)生對8+7等于15已經(jīng)朗朗上口,這進(jìn)一步掩蓋了進(jìn)位的本質(zhì)。所以,要濃墨重彩描述“進(jìn)位”,凸顯進(jìn)位的過程,實現(xiàn)進(jìn)位的一致與貫通。這恰恰是本堂課要突破的重點與難點。

    (2)增加了思考問題。學(xué)生通過多種方法進(jìn)行計算后,基本上已經(jīng)掌握了算理,這時及時提出思考問題,引導(dǎo)學(xué)生尋找這些方法的相同之處,以促進(jìn)算理有效貫通。同時,總結(jié)算法,使學(xué)生明白當(dāng)個位相加滿十時,需要向前進(jìn)一位。

    (3)增加了任務(wù)3,意在鞏固算理,同時滲透加法交換律,使學(xué)生明白即便算式的形式改變了,但是本質(zhì)沒有變,依然要相同數(shù)位對齊,依然要滿十進(jìn)一;交換加數(shù)的位置,和不變。

    (二)重構(gòu)路徑的效果分析

    1.教學(xué)實況分析

    (1)實現(xiàn)表征貫通。

    師:用計數(shù)器怎樣表示24+8的計算過程?

    生:先在十位上畫2顆算珠,在個位上畫4顆算珠,因為是加8,所以在個位上再畫8顆算珠。(學(xué)生邊說,教師邊在黑板上操作,畫出直觀圖)

    師:這樣個位上的算珠有多少顆?

    生:12顆。

    師:我們知道計數(shù)器的個位上最多只有幾顆算珠?

    生:9顆。

    師:也就是說個位上的算珠數(shù)已經(jīng)超過了?

    生:超過了9。

    師:那怎么辦呢?

    生:滿十進(jìn)一,要從12顆中拿出10顆放在十位上,也就是個位上的10顆變成十位上的1顆。

    師:那個位上還有幾顆?

    生:還有2顆。

    師:所以結(jié)果是?

    生:32。

    (學(xué)生邊說,教師邊在黑板上操作,畫出如圖3所示的直觀圖,留下思考的痕跡)

    師:那么用擺小棒的方法怎么表示呢?

    生:先擺2捆,再擺4根,加8,就再擺8根。

    師:那右邊有幾根?

    生:有12根。

    師:可以變一變這個形式嗎?

    生:從右邊拿10根捆成1捆,放在左邊。

    師:那左邊現(xiàn)在有幾捆了?

    生:有3捆。

    師:這一捆哪里得到的?

    生:從右邊拿出的10根捆成了1捆。

    師:那右邊還剩多少?

    生:還剩2根。

    師:所以結(jié)果是?

    生:32。

    (學(xué)生邊說,教師邊在黑板上操作,畫出如圖4所示的直觀圖;該圖事實上是為豎式的出現(xiàn)做好鋪墊)

    (2)實現(xiàn)理法相融。

    師:這兩種方法得出的計算結(jié)果一樣嗎?

    生:一樣,都是32。

    師:用的工具一樣嗎?

    生:不一樣。

    師:為什么用的工具不一樣,而結(jié)果會一樣呢?

    生:計算過程一樣,都是先算個位,再算十位。

    師:還有呢?

    生:都是滿十進(jìn)一。

    師:都是哪里滿十進(jìn)一?

    生:都是個位滿十,向十位進(jìn)一。

    師:個位怎么計算的?

    生:4+8=12。

    師:滿十進(jìn)一的十從哪里來的?

    生:從12中拿出一個10。

    師:也就是把12分成10和2。然后把拿出來的這個十加到哪一位上?

    生:十位。

    師:也就是說十位上要加一個十,算式是?

    生:20+10=30。

    師:個位上還剩幾?

    生:還剩2。

    師:所以十位上和個位上的數(shù)加起來是?

    生:30+2=32。

    師:老師想問問大家,算式24+8和24+5有什么不一樣嗎?

    生:第一個加數(shù)都一樣,都是24,第二個加數(shù)一個是8,一個是5。

    生:24+5個位上的數(shù)相加沒有滿十,24+8個位上的數(shù)相加滿十了,要向前進(jìn)一位。

    師:對,滿十要進(jìn)一。你會計算8+24嗎?

    生:會,等于32。

    師:誰來說說是怎么計算的?

    生:因為24+8等于32,8+24也等于32,它們都是一樣的數(shù),只不過交換了一下加數(shù)的位置,結(jié)果還是一樣的。

    師:如果讓你用這些方法表示,你會嗎?怎么表示?(教師指向直觀圖)

    生:先畫出數(shù)字8,再畫出數(shù)字24。

    師:計算方法是?

    生:先算個位,個位滿十要向十位進(jìn)一。

    通過以上教學(xué)過程,最終使學(xué)生明白,兩位數(shù)加一位數(shù),要先算個位,當(dāng)個位上的數(shù)相加滿十時,需要進(jìn)位,滿十進(jìn)一。在此過程中,邊回顧算理,邊讓算理水到渠成地走向算法。

    2.課后測試結(jié)果比較

    為了檢測路徑D、E的實施效果,我們設(shè)計了2道題目,兩次教學(xué)前后分別對甲、乙兩班的學(xué)生實施了前后測(表1、表2),以此考查學(xué)生掌握算理的情況。

    先列式計算,然后用盡可能多的方法,如文字解釋、畫直觀圖、算式表示等來說明你的計算方法是合理的,說明得越詳細(xì)越好[1]。

    (1)小明上午買了28瓶礦泉水,下午又買了4瓶,小明今天一共買了幾瓶礦泉水?

    (2)小明上午花了26元錢,下午花了6元錢,小明今天一共花了幾元錢?

    由表1可以看出,在三種理解類型上,后測的數(shù)據(jù)高于前測,尤其是程序理解和抽象理解。后測中程序理解的平均分是0.93,也就是說絕大部分學(xué)生可以正確地計算兩位數(shù)加一位數(shù)(進(jìn)位)的得數(shù);直觀理解的平均分是0.2,相對來說增長較少,說明大部分學(xué)生還不會畫直觀圖。

    由表2可以看出,后測數(shù)據(jù)中,程序理解的平均分是0.96,即絕大部分學(xué)生能夠準(zhǔn)確計算出得數(shù),直觀理解的平均分是0.52,即有一半的學(xué)生會畫直觀圖,且這個數(shù)據(jù)大幅度高于前測,抽象理解的平均分是0.72,即有大部分學(xué)生會語言表述計算過程。整體上說,在三種理解類型上,后測的數(shù)據(jù)要大幅度高于前測,也就是說,實施學(xué)習(xí)路徑E后,教學(xué)取得了較好的效果,說明這一路徑得到了優(yōu)化。

    3.問題與改進(jìn)建議

    (1)任務(wù)3的進(jìn)一步完善。

    教師通過引導(dǎo)學(xué)生比較24+5和24+8的異同后,讓學(xué)生計算8+24,給學(xué)生提供時間與空間,以鞏固算理、算法;由于算理不可能一次掌握,所以,此處給學(xué)生提供反思、鞏固的機會就顯得十分必要。同時,讓學(xué)生比較8+24和24+8的異同,以此感悟交換律。

    (2)豎式再次出現(xiàn)。

    盡管我們強調(diào)了“豎式”不利于算理的貫通,甚而屏蔽了算理,但是教師Z沒有采納這一建議。在她看來,也許豎式更利于計算。

    四、結(jié)論與建議

    (一)學(xué)習(xí)路徑的建議

    學(xué)習(xí)路徑設(shè)計的重點是遵循程序性知識學(xué)習(xí)的心理路徑,設(shè)計層層遞進(jìn)的學(xué)習(xí)任務(wù)[2]。通過對學(xué)習(xí)路徑D、E的實踐、分析、反思與批判,從促進(jìn)學(xué)生理解算理的視角出發(fā),我們建議兩位數(shù)加一位數(shù)(進(jìn)位)的學(xué)習(xí)路徑可構(gòu)建如下(圖5)。

    (二)算理貫通的重點是促使多種表征貫通

    調(diào)查表明,大部分學(xué)生“都知道怎樣算,但是對于這樣算的道理卻知之甚少”。[3]

    也就是說,學(xué)生只掌握了算法,并不理解算理。而各種表征就是溝通算理與算法之間的橋梁,一頭連接著隱性而抽象的算理,另一頭連著顯性而具體的算法。因此,學(xué)生能否理解算理,能否靈活運用算法,各種表征的呈現(xiàn)就顯得至關(guān)重要。

    (三)理法相融的重點是促使算理走向算法

    沒有算理的理論支撐,就不能提供正確的思考方向,從而容易導(dǎo)致計算的不合理性和錯誤率,離開算法的提煉概括,算理的存在也是毫無意義的[4]。也就是說,算法中蘊含著算理,算理解釋著算法,促使算理走向算法,實現(xiàn)理法相融至關(guān)重要。

    參考文獻(xiàn):

    [1] 鞏子坤,盧子苓,靳培英,等.分?jǐn)?shù)除以整數(shù)學(xué)習(xí)路徑優(yōu)化的實證研究[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師,2019(2).

    [2] 鞏子坤,俞飛丹,張東,等. 程序性知識視角下的小數(shù)乘小數(shù)學(xué)習(xí)路徑[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師,2017(11).

    [3] 鞏子坤.程序性知識教與學(xué)研究[M].南寧:廣西教育出版社,2009.

    [4] 全素娥.算理算法融會貫通[J].新課程(綜合版),2018(12).

    (1.浙江省杭州銀湖實驗小學(xué)? ? 311400

    2.浙江省杭州市余杭區(qū)育才實驗小學(xué)? ?311110

    3.杭州師范大學(xué)經(jīng)亨頤教師教育學(xué)院? ?311121)

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