保持平行關(guān)系中的重合特例

謝佳慧

[摘要]保持平行關(guān)系是小學(xué)幾何圖形中常見的幾何位置關(guān)系，但是對(duì)于保持平行關(guān)系概念的主體到底是線段還是直線并沒有嚴(yán)格的界定，有時(shí)線段保持平行關(guān)系與直線保持平行關(guān)系的不同表述會(huì)使學(xué)生在理解上產(chǎn)生歧義。線段保持平行關(guān)系是指線段所在的直線保持平行關(guān)系，這樣保持平行關(guān)系就存在一個(gè)重合問題，即兩線重合算不算保持平行關(guān)系。

[關(guān)鍵詞]平行關(guān)系;重合;質(zhì)疑;反思

[中圖分類號(hào)]G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A [文章編號(hào)] 1007—9068（2019）32—0030—01

一、精彩的質(zhì)疑和求教

一天，有兩個(gè)女生來(lái)找我評(píng)理，一個(gè)女生說(shuō)：“老師，我覺得兩根火柴棒這樣子擺放（如圖1的a和b）后，它們似乎不再保持平行關(guān)系了?！薄翱筛舯诎嗟睦蠋焾?jiān)持說(shuō)是保持平行關(guān)系的?！绷硪粋€(gè)女生不服氣地說(shuō)。

兩個(gè)女生爭(zhēng)論的問題源于人教版教材第七冊(cè)第65頁(yè)的第2題“擺一擺：（1）讓兩根火柴棒同時(shí)與第三根火柴棒保持平行關(guān)系，觀察一下，這兩根火柴棒能不能保持平行關(guān)系？（2）讓兩根火柴棒同時(shí)與第三根火柴棒垂直，看一看這兩根火柴棒的位置關(guān)系如何”。這兩個(gè)問題，前一個(gè)直接淺白，后一個(gè)復(fù)雜隱晦，難度逐步加大，思維含量高。我思考片刻，回復(fù)她們：“圖1的擺法沒有錯(cuò)，符合條件，別具一格。但是一旦出現(xiàn)這種情況，兩根火柴棒就無(wú)法構(gòu)成平行關(guān)系，這是一種特殊情況，嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，應(yīng)該叫作兩根火柴棒在同一直線上?！睙o(wú)獨(dú)有偶，后來(lái)我在正式講授第（2）題時(shí)，也有學(xué)生擺出異常的情況（如圖2）。

圖1和圖2的情況不能認(rèn)定為互相保持平行關(guān)系，但火柴棒作為有長(zhǎng)度的木棍，可視為線段，出現(xiàn)這兩種特殊情況情有可原。可教材沒有正式提出“兩條線段在同一直線上”這一空間定義，四年級(jí)的學(xué)生能不能無(wú)師自通、不言自明？要不要老師進(jìn)行專題講解？教了能否聽懂？如果不講解，在遇到上述特殊情況時(shí)如何處置？……一連串的問號(hào)出現(xiàn)在我的腦海里，久久無(wú)法解開。

二、爭(zhēng)論后的反思

教材安排這兩道題，其目的在于讓學(xué)生通過操作、反思、辨析，總結(jié)歸納出兩條推論：一是兩直線同時(shí)與同一平面內(nèi)另一條直線保持平行關(guān)系，那么這兩直線也構(gòu)成平行的位置關(guān)系;二是兩條直線同時(shí)與同一平面內(nèi)另一條直線垂直，那么這兩條直線也構(gòu)成平行的位置關(guān)系。因?yàn)檫@兩條推論到了初中，就成為兩條定理，可見這兩條推論成為小學(xué)數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的銜接橋梁。顯而易見，課本編排這兩道題，是科學(xué)合理的，是有著深遠(yuǎn)意義的。

教師首先要弄清直線與線段的異同：線段有兩個(gè)端點(diǎn)，是截取直線的一部分而得到，其長(zhǎng)度是具體可測(cè)的;而直線是沒有端點(diǎn)限制的，其長(zhǎng)度不受限，因此不可測(cè)。可以說(shuō)，直線是由無(wú)數(shù)條線段無(wú)間隙連接而成。

三、反思后的實(shí)踐探索

師：這兩根火柴棒在幾何學(xué)上屬于線段還是直線？

生₁：線段。

師：若將圖1中水平放置的兩根火柴棒都視為直線，那么會(huì)有什么情況發(fā)生？這兩條直線最終會(huì)有什么神奇變化？

生₂：與自身重疊了。

師：與自身重疊后，變成了幾條直線？

生₃：合為一體，變成一條直線。

師：一條直線存在保持平行關(guān)系這一說(shuō)嗎？或者說(shuō)直線能與自己保持平行關(guān)系嗎？

生₄：不能。

師：那么兩條直線同時(shí)平行于同一平面內(nèi)的另一條直線，這兩條直線如果沒有重疊，會(huì)構(gòu)成什么位置關(guān)系？

生₅：互相保持平行關(guān)系。

同理，兩條直線同時(shí)垂直于同一平面內(nèi)另一條直線，這兩條直線如果不重合，會(huì)構(gòu)成什么樣的位置關(guān)系？有了前一題積累的經(jīng)驗(yàn)和打下的基礎(chǔ)，學(xué)生會(huì)立馬認(rèn)定：它們的位置關(guān)系是互相保持平行。在此基礎(chǔ)上讓學(xué)生練習(xí)鞏固。如：（1）兩根火柴棒同時(shí)與第三根火柴棒保持平行關(guān)系，觀察一下，這兩根火柴棒構(gòu)成（ ）的位置關(guān)系;（2）兩條線段同時(shí)垂直于同一平面內(nèi)的另一條線段，判斷一下，這兩條線段構(gòu)成（ ）的位置關(guān)系;（3）兩條直線同時(shí)與同一平面內(nèi)的另一條直線保持平行關(guān)系，那么，這兩條直線構(gòu)成的（ ）的位置關(guān)系;（4）兩條直線同時(shí)垂直于同一平面內(nèi)的另一條直線，那么，這兩條直線（ ）。A.互相保持平行關(guān)系;B.互相保持垂直關(guān)系;C.互相保持平行關(guān)系或在同一直線上;D.無(wú)法判斷。

筆者將反思所得應(yīng)用于課堂教學(xué)，驚奇地發(fā)現(xiàn)，效果特別好，學(xué)生對(duì)于“兩根火柴棒（線段）置于同一直線上”這一幾何特性，均能夠輕松掌握。特別是做過一組題目后，學(xué)生不但嚴(yán)格區(qū)分開了線段和直線，搞清了它們之間的異同，而且解決了上述兩題，更為重要的是，為初中平行關(guān)系性質(zhì)定理的學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ)。

（責(zé)編 黃春香）