巧妙換元，化繁為簡

江蘇省溧水高級中學(xué) (211200) 方金寶

高考命題從知識立意，到能力立意，再到素養(yǎng)立意，經(jīng)過了多年的歷程.知識立意背景下以陳述性知識為背景，考查“是什么”的問題；能力立意背景下以程序性知識為背景，考查“怎么做”的問題；素養(yǎng)立意背景下以策略性知識為背景，考查“思想方法”的運(yùn)用.因此數(shù)學(xué)思想和方法才是數(shù)學(xué)的靈魂，掌握一種方法比做大量的習(xí)題更為重要.換元法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，在中學(xué)里有著廣泛的應(yīng)用.換元法就是指在解題時把某個式子看作成一個整體，利用一個變量去替換它，通過換元來使問題變得簡單，易于求解的方法.本文就舉例說明換元法在高中數(shù)學(xué)中的常見應(yīng)用，希望對大家有所啟發(fā).

1.三角換元

三角恒等關(guān)系式sin2θ+cos2θ=1體現(xiàn)了同角三角函數(shù)間的一個定值關(guān)系，在解題中若能利用平方和為1這一恒等關(guān)系，可以巧妙的進(jìn)行換元，從而達(dá)到化繁為簡.

例1 (2019屆南京市二模第14題)在ΔABC中，若sinC=2cosAcosB，則cos2A+cos2B的最大值為．

分析：由sinC=2cosAcosB變形可得到tanA+tanB=2,所以要求cos2A+cos2B的最大值就需要把余弦變成正切，因此聯(lián)想到把分母的1用sin2A+cos2A和sin2B+cos2B換掉即可.

解：∵A+B+C=π,sinC=2cosAsinB,∴sin(A+B)=2cosAsinB.∴sinAcosB+cosAsinB

=2cosAcosB，即tanA+tanB=2,∴cos2A+cos2B

2.基底換元

圖1

3.整體(部分)換元

圖2

例4 設(shè)正實(shí)數(shù)a,b滿足a2+2ab-3b2=1,則a2+b2的最小值為．

分析：a2+2ab-3b2=1可分解成兩個一次因式，令其中一個為t，轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)來處理.

4.和差換元.

眾所周知，對于任意兩個實(shí)數(shù)x,y，總存在實(shí)數(shù)a,b,使得x=a+b,y=a-b.利用這個簡單的換元，在處理一類三角問題中，常常能化難為易，使解題過程簡便易行.

分析：本題條件a+c=2b可以利用正弦定理化為角A、B、C的正弦值，本題要求sinB，若直接把A、C用B表示則不是很方便，這里式子的結(jié)構(gòu)也很對稱，所以這里可考慮把A、C用另外的變量去換元.

通過上述例題可以發(fā)現(xiàn)，換元法可以讓式子結(jié)構(gòu)由復(fù)雜變簡單，更易于求解；讓參與演算的變量個數(shù)減少，更易于演算；讓數(shù)學(xué)式子的結(jié)構(gòu)特征更明顯，更易于使用公式；讓變量之間的聯(lián)系由孤立變統(tǒng)一，更易于聯(lián)系；讓數(shù)學(xué)思維由模糊變清晰，更易于思考.因此靈活運(yùn)用換元法來解題也是高中生必備的一項能力.在換元法的習(xí)題課教學(xué)過程中，我們老師不但要用換元的思想去揭開題目的廬山真面目，還要帶領(lǐng)學(xué)生認(rèn)真領(lǐng)會由繁至簡的數(shù)學(xué)本質(zhì)，只有這樣才能提升學(xué)生掌握巧妙換元，化繁為簡的能力.