一類(lèi)數(shù)列不等式的命題背景探源及推廣

浙江省臺(tái)州市玉環(huán)中學(xué) (317600) 姚必巍浙江省嘉興市第一中學(xué) (314050) 沈新權(quán)

近年來(lái)全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽各賽區(qū)預(yù)賽試題和浙江省各地高考模擬題中，很多數(shù)列不等式問(wèn)題都是在定積分背景下命制的，我們以此為載體對(duì)該類(lèi)試題的命制手法進(jìn)行研究，并基于此手法進(jìn)行一些新題的命制.

一、引例

分析一：為了證明結(jié)論，我們可以先考慮anbn的范圍，再利用基本不等式求出an+bn的取值范圍，進(jìn)而證明結(jié)論.

分析二：如果直接求an+bn的取值范圍，我們也可以把(1)，(2)兩式相加.

分析三：如果把(1)中的bn用an來(lái)表示，(2)中的an用bn來(lái)表示，則就可以用分析二的評(píng)注中的結(jié)論來(lái)證明.

二、命題背景探源及推廣

分析二評(píng)注中的結(jié)論其實(shí)是求和的結(jié)果，從高等數(shù)學(xué)的角度來(lái)講就是定積分的背景，因此借助定積分的知識(shí)，通過(guò)對(duì)f(x)及bn的不同取值，我們可以得到上述問(wèn)題的命題及推廣.

圖1

利用定積分的思想方法，我們得到引例的第四種證明方法.

圖2

證明：如圖2，SAiAi+1Ci+1Bi=(ai+1-ai)f(ai)=bi.

三、類(lèi)題研究

研究發(fā)現(xiàn)，2016全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山東賽區(qū)初賽第14題和遼寧賽區(qū)第12題都可利用此方法證明.

解法一:當(dāng)k=1時(shí)，a0=1，不成立；

了解了定積分的幾何意義和牛頓—萊布尼茨公式，我們發(fā)現(xiàn)這類(lèi)試題也迎刃而解，且借此手法還可以進(jìn)行新題的命制.

四、新題命制

命題1 已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=0，ln(an+1-an)+an+nln2=0(n∈N*)，

(1)求證：ln(2-21-n)≤an≤1-21-n；

(2)是否存在正實(shí)數(shù)c，使得對(duì)任意的n∈N*，都有an≤1-c，并說(shuō)明理由.

(1)解法一：由題意得an+1=an+e-(an+nln2)，所以an+1>an，an≥0，則an+1=an+e-(an+nln2)≤an+e-nln2=an+2-n，所以an≤an-1+2-(n-1)≤an-2+2-(n-2)+2-(n-1)≤…≤a1+2-1+…+2-(n-2)+2-(n-1)=1-21-n，令f(n)=ean+21-n-2，則f(n+1)-f(n)=(ean+1+2-n-2)-(ean+2-(n-1)-2)=ean+1-ean-2-n=ean(ee-(an+nln2)-1)-2-n>eane-(an+nln2)-2-n=0，所以{f(n)}是遞增數(shù)列，從而f(n)≥f(1)=0，即ean+21-n-2≥0，所以an≥ln(2-21-n).綜上，ln(2-21-n)≤an≤1-21-n.

①當(dāng)n=1時(shí)，ln(2-20)≤a1≤1-20.

由數(shù)學(xué)歸納法知ln(2-21-n)≤an≤1-21-n.