一道?？碱}的探究*

安徽省宿州市碭山中學(xué) (235300) 杜為榮 毛曉偉

圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題的求解一直是自主招生、競(jìng)賽、高考命題的熱點(diǎn)之一，命題角度廣，備受命題者青睞.而且圓錐曲線中的定點(diǎn)或定值問(wèn)題形式多樣，花樣翻新，要求較高，但其基本解法仍然有章可循，有法可依.下面以2019年我市二模的一道考題為例，拋磚引玉.

1.問(wèn)題呈現(xiàn)

(Ⅰ)求橢圓C的方程及離心率；

(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn)(直線不與x軸垂直)，已知點(diǎn)A與點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，證明：直線PB恒過(guò)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)．

2.問(wèn)題解決

點(diǎn)評(píng)：此解法是求直線恒過(guò)定點(diǎn)的通法，設(shè)直線方程y=kx+n，通過(guò)條件建立k，n之間的關(guān)系式，進(jìn)而得到結(jié)論.此解法的難點(diǎn)是看出隱含條件A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線，利用向量共線或直線斜率相等都可以得到結(jié)果.

解法2：設(shè)直線AB的方程為x=my+2，A(x1y1)，B(x2,y2)，則P(x1,-y1).聯(lián)立

點(diǎn)評(píng)：此法關(guān)鍵在于準(zhǔn)確建立關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的恒等式，根據(jù)恒等式成立的條件列出定點(diǎn)坐標(biāo)所滿(mǎn)足的方程或方程組去求解.

點(diǎn)評(píng):此解法為探點(diǎn)法或?yàn)橄炔潞笞C法，通過(guò)特殊點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)性確定所求直線恒過(guò)定點(diǎn)，在進(jìn)行證明，這為解題指明方向且在運(yùn)算過(guò)程中大大減少計(jì)算量.

3.問(wèn)題探究

波利亞曾說(shuō)過(guò)：“沒(méi)有一道題目是徹底解決完的”.當(dāng)我們做完一道題目后，我們除了可以研究它的解法以外，更要從縱向，變式，橫向等角度出發(fā)，對(duì)這道題目進(jìn)行拓展探究，從而得到一系列有價(jià)值的結(jié)論，這既是對(duì)原問(wèn)題的深化與拓展，也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的高效途徑.

3.1 縱向探究

本題過(guò)焦點(diǎn)F，可得直線PB恒過(guò)定點(diǎn)，若把定點(diǎn)改為x軸上任意一點(diǎn)呢，那么直線還恒過(guò)定點(diǎn)嗎？可得以下結(jié)論：

點(diǎn)評(píng)：①利用解法1亦可證明.②本題解法是采用解法2思路，但是用y表示x，進(jìn)而得到直線恒過(guò)定點(diǎn).

3.2 變式探究

在一個(gè)背景下，交換部分條件和結(jié)論，或給出某個(gè)問(wèn)題一般結(jié)論的特例，便生成一道新題.故筆者又做如下探究：

3.3 橫向探究

橢圓與雙曲線、拋物線“同宗同源”，那么雙曲線、拋物線是否具有上述類(lèi)似的結(jié)論嗎？回答是肯定的.

結(jié)論7 已知拋物線C:y2=2px(p>0)，過(guò)x軸上一點(diǎn)M(t,0)(0

結(jié)論9 已知拋物線C:y2=2px(p>0),點(diǎn)A，B為拋物線上的任意兩點(diǎn)，點(diǎn)P與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，且直線PB與x軸的交點(diǎn)N(-t,0)(t>0)，則直線AB恒過(guò)定點(diǎn)M(t,0).

(對(duì)于結(jié)論2到結(jié)論9，由于篇幅有限，故有興趣的讀者自行證明.)

4.探究感悟

4.1 重視解法，拓展思路

高考圓錐曲線題目最為顯著的特點(diǎn)是從不同的思路分析，可以獲得不同的解法，通過(guò)多解探究，有利于拓寬解題思維，提升解題技能，在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)不同解法進(jìn)行對(duì)比分析，從中得到最優(yōu)解法，在反思總結(jié)中提升解題能力，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

4.2 注重探究，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)

在新課程所倡導(dǎo)的“多樣性，交叉性，縱向不深，橫向拓寬”的解題要求背景下，對(duì)于我們一線教師在教學(xué)中適當(dāng)?shù)膶?duì)試題進(jìn)行變式探究，橫向探究，縱向研究，通過(guò)對(duì)試題的探究，發(fā)現(xiàn)試題不變的本質(zhì)，從不變的本質(zhì)探究變的規(guī)律，只有這樣才能使解題更具體，更有深度，更有廣度，才能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)解題是言之有理的，正所謂“歲歲年年題不同，年年歲歲題相似”.