基于初中數(shù)學(xué)模型思想的靶向教學(xué)實踐研究*

重慶市黔江區(qū)育才初級中學(xué)校 張世恩

一、困局——初中數(shù)學(xué)教學(xué)困境的緣由

長期以來，初中數(shù)學(xué)對很多學(xué)生而言總是“易學(xué)易懂、易會易錯”，師生一不留神就陷入題海戰(zhàn)術(shù)的泥潭，學(xué)生的數(shù)學(xué)水平仍然不盡如人意，如何破解這種高耗低效的教學(xué)困局，成為數(shù)學(xué)教師亟待解決的一個問題.筆者發(fā)現(xiàn)，課堂上，師生缺少應(yīng)用模型方法分析和解決問題的自覺意識，教學(xué)方向不明、教學(xué)方式不當(dāng)、教學(xué)重點不準(zhǔn)、教學(xué)反饋不對等是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最大的障礙.

新課程標(biāo)準(zhǔn)要求，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注重發(fā)展學(xué)生的模型思想，其重要性是顯然的.如何有效實現(xiàn)模型思想的培養(yǎng)，在新授課中如何滲透、在習(xí)題課中如何剖析、在命題中如何把握，實踐中仍然困難重重.

包括文獻［1］～［4］在內(nèi)的諸多文章，主要論述了數(shù)學(xué)應(yīng)用建模的方法和如何滲透等，文獻［5］介紹了基于學(xué)生自主發(fā)展的靶向教學(xué)模式，在師生活動方面頗有參考意義.本文主要從廣義的數(shù)學(xué)模型思想著手，并以一個幾何模型為例，結(jié)合多年實踐闡述了基于初中數(shù)學(xué)模型思想的靶向教學(xué)模式.

受醫(yī)學(xué)“靶向治療”的啟發(fā)，醫(yī)者治療身體，教者喚醒心靈，故而實施“靶向教學(xué)”，即以數(shù)學(xué)模型為載體，針對學(xué)生生長點，開展師生多邊對話，教師精準(zhǔn)點撥的教學(xué)模式.

二、破局——實施靶向教學(xué)的理性思考

（一）靶向教學(xué)的理論依據(jù)

最近發(fā)展區(qū)理論認為：學(xué)生的發(fā)展水平有兩種，一是學(xué)生當(dāng)前的水平，即自主活動能達到的水平；二是學(xué)生可能的水平，也就是通過教學(xué)能達到的水平.兩者之間的差異就是最近發(fā)展區(qū)，我們稱之為“生長點”.故此，教學(xué)應(yīng)著力于學(xué)生的生長點，給學(xué)生“跳一跳摘得到”的任務(wù)，擇機給學(xué)生助力，使每個學(xué)生能獲得適度的生長.

新課標(biāo)指出，“數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，要注重知識的‘生長點’與‘延伸點’”.靶向教學(xué)針對的是“學(xué)生的生長點”，用“知識的生長點”促進“學(xué)生的生長點”的生長.

實施靶向教學(xué)基于上述理論基礎(chǔ)，突出搜索最近發(fā)展區(qū)，鎖定學(xué)生生長點，要求師生在教學(xué)任務(wù)指引下，為解決問題開展多邊對話.

（二）靶向教學(xué)的可行性分析

只要對學(xué)生的學(xué)習(xí)適時檢測，通過師生互動，學(xué)情即得以顯現(xiàn)，很容易發(fā)現(xiàn)最近發(fā)展區(qū)的點位.

信息技術(shù)的發(fā)展不僅使課堂得以延伸，而且使教學(xué)數(shù)據(jù)分析和學(xué)情監(jiān)測更加精準(zhǔn)，同時優(yōu)質(zhì)資源的共享更為便捷.因此，實施靶向教學(xué)就有了工具和實操的保障.

（三）靶向教學(xué)的模式初構(gòu)建

靶向教學(xué)的要點就是有的放矢，因材施教.“靶點”就是學(xué)生無法自主突破的點，就是學(xué)生的生長點所在；既是學(xué)生這個主體的生長點，也是教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)素材等知識的生長點.所以實施靶向教學(xué)必須找準(zhǔn)突破口，鎖定學(xué)生的生長點，才能針對性地及時解決.當(dāng)然，隨著學(xué)習(xí)的不斷推進，“靶點”也會隨之變化，而且不同水平的學(xué)生之靶也會不同，這就要求教師時刻關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)進程.

靶向教學(xué)的基本流程如圖1所示.

圖1 靶向教學(xué)的流程

第一階段自學(xué).自學(xué)是靶向教學(xué)的基本前提.這里的自學(xué)指學(xué)生通過對教師給出的學(xué)習(xí)任務(wù)進行深度剖析，努力嘗試自主解決問題，提煉其中的數(shù)學(xué)模型，歸結(jié)自己的思維障礙點，是為找靶.

第二階段互教.互教是靶向教學(xué)的重要環(huán)節(jié).通過自學(xué)，學(xué)生將自己難以突破的思維障礙點向同學(xué)請教，也可將自己掌握的部分向其他同學(xué)或者老師講解.

第三階段點撥.點撥是靶向教學(xué)的關(guān)鍵步驟.通過前面兩個階段的活動，教師應(yīng)進一步以學(xué)生的生長點為靶位，進行精準(zhǔn)追問、點撥、解惑，幫助學(xué)生歸結(jié)問題模型，從而完成學(xué)習(xí)任務(wù)，是為打靶.

第四階段反饋.通過前面幾個階段的活動，教學(xué)任務(wù)得以基本完成，選取同類問題進行檢測，檢驗學(xué)生能否運用模型，做到“回頭看”，是為校靶.

需要說明的是，以上活動并不是完全分離，而是相互交融.

（四）靶向教學(xué)的實施策略

一是組建學(xué)習(xí)共同體即學(xué)習(xí)小組.要實施學(xué)生間的互教，需要事先將學(xué)生分組，每組學(xué)生學(xué)習(xí)水平應(yīng)大致相近，并指定一人引領(lǐng)本組的互教活動，對學(xué)生進行適當(dāng)?shù)呐嘤?xùn)，教會他們?nèi)绾翁岢鰡栴}、交流想法、講解思路.

二是編制同模問題群即學(xué)習(xí)任務(wù).筆者認為“數(shù)學(xué)即模型”，為此，每堂課的學(xué)習(xí)都可以定義為一個模型的學(xué)習(xí)、建構(gòu)和運用.為了便于學(xué)習(xí)模型，應(yīng)編制能化歸為同一模型的問題群，由易到難、由簡入深，這樣就明確了每節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容.

三是放手讓學(xué)生教學(xué)生即同學(xué)互教.營造融洽的師生、生生關(guān)系，鍛煉學(xué)生的表達能力和膽識，鼓勵學(xué)生敢于表達自己的想法，引導(dǎo)、鼓勵學(xué)生互教，相互講出來，講思路、講方法、講感受.

四是靶向點撥生長點即精準(zhǔn)指導(dǎo).教師應(yīng)出現(xiàn)在學(xué)生最需要的時候，講在學(xué)生最需要的地方，堅持“哪里不會幫哪里”，不講則已，一講就能讓學(xué)生在解決問題的道路上向前邁一步.要做到這一點，要求教師在課堂上多傾聽學(xué)生，走到學(xué)生中間去，才能把握學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)和生長點，便于當(dāng)堂指導(dǎo)和教學(xué)反思.

三、設(shè)局——基于模型思想的靶向教學(xué)實踐

筆者認為，以“學(xué)模型、建模型、用模型”為基點的教學(xué)不失為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要途徑.

重視模型的建立或提煉在初等數(shù)學(xué)中對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起到關(guān)鍵作用，也是發(fā)展數(shù)學(xué)思維的重要方法.在眾多的數(shù)學(xué)模型類型中，幾何模型的運用往往讓人無從下手，其中最常見又較難的是最短距離模型.下面以“垂線段最短”模型為例.

問題1：平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x，點B（6，2）、A（1，0），動點M在直線y=x（x＞0）上，動點P、N在x軸的正半軸上，連接MB、MN、NB.若點M（3，3），如圖2，當(dāng)△BMN周長最小時，連接MP，求PM+MN的最小值，并求出此時點P的坐標(biāo).

圖2

問題2：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點A、B在拋物線y=-x2+4x上，且點A的橫坐標(biāo)為1，點B是點A的對稱點，直線AB與y軸交于點C，D為拋物線的頂點，點E（1，1）.點P為線段AB上方拋物線上任意一點，過點P作AB的垂線交AB于點H，點F為y軸上一點，當(dāng)△PBE的面積最大時，求的最小值.（2018年重慶中考A卷）

圖3

圖4

問題3：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，頂點為D，對稱軸與x軸交于點Q.如圖4，連接AC、BC.若點P為直線BC上方拋物線上一動點，過點P作PE∥y軸交BC于點E，作PF⊥BC于點F，過點B作BG∥AC交y軸于點G.點H、K分別在對稱軸和y軸上運動，連接PH、HK.當(dāng)△PEF的周長最大時，求PH+HK+KG的最小值及點H的坐標(biāo).（2019年重慶中考B卷）

教學(xué)中要求學(xué)生先對問題群進行對比分析找共同點，步步為營，逐步分析解決.已會的要敢于向不會的同學(xué)講解.教師的點撥也是逐步推進，絕不包辦.

靶點分析1：整體來看，問題群呈現(xiàn)都以拋物線為背景，以第一次最值為前提條件，最后求三條線段和的最值，其中一條長度可求為定值.

靶點分析2：第一次最值的求法是一個靶點，第二次最值整體上看是有起點有終點，但的存在就不是點到點的距離模型，形如的處理就是最大的靶點所在.

靶點分析3：問題可歸結(jié)為，如圖5 所示，已知，點P為∠BAC其中一邊AB上的一個動點，點M在射線AB、AC的同側(cè)，連接MP，則當(dāng)?shù)闹底钚r，點P的位置如何確定？

圖5

圖6

靶點分析4：問題的關(guān)鍵在于如何確定的大小，如圖6，過點P作PQ⊥AC，垂足為點Q，則sin∠BAC=PQ，故問題求的最小值轉(zhuǎn)化為求“MP+PQ”的最小值.

靶點分析5：當(dāng)M、P、Q三點共線時，“MP+PQ”最?。ㄈ鐖D7），只需過點M作MH⊥AC，垂足為點H，MH的長即為所求的最小值.

圖7

由此可以看出，本文所述基于模型思想的靶向教學(xué)實踐，一是教學(xué)內(nèi)容以問題群模型呈現(xiàn)，二是教學(xué)過程以生長點靶向點撥.

四、復(fù)盤——基于模型思想的靶向教學(xué)反思

筆者在長期的教學(xué)實踐中，堅持以可化模型問題群組織內(nèi)容，學(xué)生自己推進學(xué)習(xí)進程，教師適時精準(zhǔn)點撥，實施靶向教學(xué)，做到因材施教，取得了較好的教學(xué)效果.

實踐中，要求教師一要能整合教材、組織好問題群，做好課前的靶點預(yù)設(shè)；二要在與學(xué)生的交流中，能打開學(xué)生的心扉，敢于相互交流發(fā)言，培養(yǎng)積極思維的好習(xí)慣，融入學(xué)生之中，發(fā)現(xiàn)靶點，伺機點撥；三要探索激勵機制，鼓勵學(xué)生共同進步；四是注重反饋既是檢測教學(xué)效果的需要，也是師生深入交流的需要.借助信息技術(shù)反饋、檢測，或許是發(fā)現(xiàn)靶點的新方式，值得在以后的教學(xué)中探討運用.