江蘇省連云港市新壩中學(xué) 周洪坦
數(shù)學(xué)家笛卡兒說:“數(shù)學(xué)是人類知識活動留下來最具威力的知識工具,是一些現(xiàn)象的根源,數(shù)學(xué)是不變的,是客觀存在的,上帝必以數(shù)學(xué)法則建造宇宙.”新課程標(biāo)準(zhǔn)指出,學(xué)生應(yīng)學(xué)會在具體的情境中發(fā)現(xiàn)并提出問題,運(yùn)用學(xué)過的定理、法則與概念解決相關(guān)問題,從而提高應(yīng)用意識與實踐能力.矩形是初中階段研究的重要圖形,它具有一些特殊的性質(zhì),常與直角三角形、等腰三角形結(jié)合考查,在矩形性質(zhì)的應(yīng)用過程中,能使我們認(rèn)識數(shù)學(xué)的抽象與嚴(yán)謹(jǐn),體會數(shù)學(xué)的價值.
矩形是特殊的平行四邊形,除了具有平行四邊形的一切性質(zhì),還具有自己特殊的性質(zhì),即四個角都是直角,對角線相等.在矩形中求線段的長有兩個途徑:一是構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求線段的長,二是利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求線段的長.
例1如圖1,已知矩形ABCD,AB=,BC=3,在BC上取兩點E、F(點E在點F的左邊),以EF為邊作等邊三角形PEF,使頂點P在AD上.
(1)求△PEF的邊長;
圖1
圖2
(2)如圖2,若△PEF的邊EF在線段BC上移動,PE、PF分別交AC于點G、H,求證:PH-BE=1.
解析:(1)如圖3,過點P作PQ⊥BC.
圖3
由△PEF是等邊三角形,得∠PFE=60°,PF=EF=2.
由∠PFE=∠ACB+∠FHC,得∠FHC=30°,則∠ACB=∠FHC,則FC=FH.
由PH+FH=2,BE+EF+FC=3,得PH-BE=1.
評注:本題在求PH與BE的差時,實際上建立了一個方程組,即然后兩個方程相減,可得PH-BE=1,較好地體現(xiàn)了方程的思想.
折疊矩形的一個角,使鄰邊重合,在矩形內(nèi)得到面積最大的正方形;過矩形對角線的中點畫直線交矩形的兩邊,可得平行四邊形;過矩形對角線的中點作垂線可得菱形.在矩形內(nèi)判定圖形的形狀,要利用矩形對邊平行且相等的性質(zhì),要利用四個角都是直角的性質(zhì).
例2如圖4,在矩形ABCD中,P是AD上一動點,O為BD的中點,連接PO并延長,交BC于點Q.
圖4
(1)求證:四邊形PBQD是平行四邊形.
(2)若AD=6cm,AB=4cm,點P從點A出發(fā),以1cm/s的速度向點D運(yùn)動(不與點D重合),設(shè)點P運(yùn)動時間為ts,請用含t的代數(shù)式表示PD的長,并求出當(dāng)t為何值時,四邊形PBQD是菱形,求出此時菱形的周長.
解析:(1)由四邊形ABCD是矩形,得AD∥BC,則∠PDO=∠QBO.
由O為BD的中點,得OB=OD.
(2)依題意得AP=tcm,則PD=(6-t)cm.
當(dāng)四邊形PBQD是菱形時,PB=PD=(6-t)cm.
由四邊形ABCD是矩形,得∠A=90°.
在Rt△ABP中,AP2+AB2=BP2,AB=4,則t2+42=(6-t)2,解得,所以運(yùn)動時間為時,四邊形PBQD是菱形.此時菱形的周長為
評注:“t為何值時,四邊形PBQD是菱形?”這句話相當(dāng)于“四邊形PBQD是菱形時,求t的值”.在解答時,應(yīng)從菱形出發(fā),利用菱形的性質(zhì)求出t的值.
因為矩形的四個角都是直角,所以作一個內(nèi)角的平分線,可得45度的角,可得等腰直角三角形.在已知條件沒有角度的問題中求某個角的度數(shù),一般有兩種解決辦法:一是證明這個角是等邊三角形的內(nèi)角,那么它就是60度;二是證明這個角是等腰直角三角形的一個銳角,那么它就是45度.
例3如圖5,在矩形ABCD中,∠BAD的平分線交邊BC于點E,交邊DC的延長線于點F,以EC、CF為鄰邊作?ECFG,M是EF的中點,連接MC.
(1)求證:ME=MC;
(2)求∠BDM的度數(shù).
解析:(1)由AF平分∠BAD,得∠BAF=∠DAF.
由四邊形ABCD是平行四邊形,得AD∥BC,AB∥CD,則∠DAF=∠CEF,∠BAF=∠CFE,則∠CEF=∠CFE,則CE=CF.又四邊形ECFG是平行四邊形,則四邊形ECFG為菱形.
由四邊形ABCD是矩形,得∠ECF=90°,則菱形ECFG為正方形.
由EM=MF,得EM=MC.
圖5
圖6
(2)如圖6,連接BM.
四邊形ECFG為正方形.
由∠BAF=∠DAF,得BE=AB=DC.
由M為EF的中點,得∠CEM=∠ECM=45°,則∠BEM=∠DCM=135°.
∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°.
則△BMD是等腰直角三角形,則∠BDM=45°.
評注:當(dāng)角平分線與平行線相遇時,就有等腰三角形出現(xiàn),主要利用“兩直線平行,內(nèi)錯角相等”和“等角對等邊”獲得證明.如本題“AB∥DF”與“AF平分∠BAD”結(jié)合,得到等腰三角形CEF.
矩形的面積等于長乘寬,所以長=面積÷寬,寬=面積÷長.分式方程指分母中含有未知數(shù)的方程,所以把分式中的分子作為長方形的面積,分母作為長方形的長或?qū)挄r,矩形的要素與分式方程的要素之間就有了對應(yīng)關(guān)系.
例4我們常用“去分母法”將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程,然而古代數(shù)學(xué)家斐波拉契在《計算數(shù)學(xué)》中運(yùn)用“幾何代數(shù)”法,即運(yùn)用面積關(guān)系將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程,從而求解分式方程的根.請同學(xué)們先閱讀材料,再解答問題:
解:如圖7,AB=10,CB=x,矩形ACGF和矩形CBED的面積均為36,GD=EH=3.于是,整個矩形ABHF的面積為3x+72,故,從而
圖7
圖8
【理解】如圖8,AB=x,BC=2,矩形ACDE的面積為60,矩形ABFH的面積為20,F(xiàn)I=5.請根據(jù)圖形特征完成下列問題:
(2)用“幾何代數(shù)”法解(1)中的方程.
解析:(1)由題意知
(2)由題意知矩形EHGD的面積=5(x+2),則矩形FBGC的面積=30-5x,從而AH=CG=
圖9
【嘗試】構(gòu)造圖形,如圖9,AB=x,CA=x+2,矩形ABEF和矩形ACIG的面積均為60,,則BC=2,矩形FGHE與矩形BCIH的面積相等,則則CI=BH=,則矩形ACIG的面積又x>0,解得x=6.
評注:解分式方程的關(guān)鍵是去分母,將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.本題通過矩形面積,將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程,體現(xiàn)了分式的幾何意義.
教學(xué)活動是師生積極參與、交往互動的過程,較好效果的教學(xué)活動是學(xué)生與教師的統(tǒng)一,學(xué)習(xí)的主體是學(xué)生,教師是學(xué)習(xí)的組織者、服務(wù)者.要讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系,增強(qiáng)學(xué)生分析、解決問題的能力.矩形性質(zhì)的四個應(yīng)用,體現(xiàn)了矩形與其他知識的聯(lián)系,通過問題的解決,有效增強(qiáng)了學(xué)生解決問題的能力.