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      構(gòu)建模型,讓邊角關(guān)系深度呈現(xiàn)*
      ——2019年南通中考第17題的解法探究與思考

      2019-12-25 05:13:02江蘇省海門(mén)市東洲國(guó)際學(xué)校張浩杰
      中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2019年24期
      關(guān)鍵詞:邊角過(guò)點(diǎn)直角

      江蘇省海門(mén)市東洲國(guó)際學(xué)校 張浩杰

      縱觀南通中考近三年的填空題,都有一道涉及反比例函數(shù)圖像與幾何圖形完美結(jié)合的中檔題,意在挖掘邊和角之間的一種內(nèi)在聯(lián)系,重在考查學(xué)生從形的角度突破,從數(shù)的角度解決的基本技能、基本路徑,旨在教師的教學(xué)過(guò)程中,深層次理解圖形的“邊角關(guān)系”.

      一、原題呈現(xiàn)

      (2019年南通中考)如圖1,過(guò)點(diǎn)C(3,4)的直線y=2x+b交x軸于點(diǎn)A,∠ABC=90°,AB=CB,曲線y=(x>0)過(guò)點(diǎn)B,將點(diǎn)A沿y軸的正方向平移a個(gè)單位長(zhǎng)度恰好落在該曲線上,則a的值為_(kāi)_____.

      圖1

      圖2

      二、方法思考

      從已知條件中可以發(fā)現(xiàn)△ABC是等腰直角三角形,可知特殊角、邊的關(guān)系、邊角關(guān)系及延伸而出的其他相關(guān)性質(zhì).結(jié)合問(wèn)題,解決的關(guān)鍵點(diǎn)在于求出k的值,可以從數(shù)或形的角度攻克.

      1.構(gòu)造“K”型(全等三角形)

      (1)如圖2,以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)構(gòu)造等腰直角三角形ACD,分別過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線,過(guò)A、D兩點(diǎn)作y軸的平行線,交于N、M兩點(diǎn),可以發(fā)現(xiàn)由已知可求得直線AC∶y=2x-2、點(diǎn)A(1,0),則CM=AN=4,DM=CN=2,則點(diǎn)D(7,2).由CB⊥AD,得B是AD的中點(diǎn),則點(diǎn)B(4,1),則拋物線為,可求得a=4.

      (2)如圖3,過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC,垂足為點(diǎn)D,則D為AC的中點(diǎn),則點(diǎn)D(2,2).同(1)構(gòu)造“K”型,則AN=DM=2,DN=BM=1,則點(diǎn)B(4,1),則拋物線為y=,可求得a=4.

      圖3

      圖4

      2.構(gòu)造一線三等角模型

      如圖5,分別過(guò)點(diǎn)C、B作x軸的垂線,垂足分別為點(diǎn)P、M,分別以PC、BM為直角邊在PC左側(cè)、BM右側(cè)作等腰直角△PCD、△BMN.則.又AD=2,CD=,則BM=MN=1,AN=4,則點(diǎn)B(4,1),則拋物線為,可求得a=4.

      圖5

      圖6

      3.構(gòu)造兩角和為45°模型

      如圖6,構(gòu)造矩形ANMD.由∠CAB=45°,得∠NAC+∠BAD=45°.可求得tan∠NAC=.若能求出tan∠BAD,則同樣可求出點(diǎn)B的坐標(biāo).如何求tan∠BAD?可以通過(guò)以下探究過(guò)程實(shí)現(xiàn).

      如圖7,矩形ABCD中,∠EAF=45°,且滿足△AEF是等腰直角三角形,則,可求得.根據(jù)以上方法在圖6中可求得,則點(diǎn)B(4,1),則拋物線為y=,可求得a=4.

      三、解后再思

      1.45°角的聯(lián)想

      (1)抓住45°角,構(gòu)造“K”型或一線三等角,利用“邊角”關(guān)系,形成全等三角形或相似三角形,為形向數(shù)轉(zhuǎn)化打下基礎(chǔ).在“K”型構(gòu)造上,需找直角,可利用現(xiàn)有的,如方法1(3);可以借助已知點(diǎn)作為直角頂點(diǎn),如方法1(1);也可利用圖形的性質(zhì)去構(gòu)造,如方法1(2).對(duì)于一線三等角而言,主要還是相似模型的構(gòu)建,真正讓邊角關(guān)系無(wú)處不在.

      (2)從一個(gè)角為45°轉(zhuǎn)化為兩角和為45°,通過(guò)構(gòu)造矩形,可推導(dǎo)出“45°+”的正切公式,其本質(zhì)涉及高中知識(shí):兩角和的正切公式tan(α+β)=對(duì)于學(xué)有余力的學(xué)生,可以引導(dǎo)他們進(jìn)一步探究推導(dǎo)其他一些性質(zhì):如當(dāng)α=β時(shí);如α+β=45°,且知其中一角的正切值,則可求另一角的正切值(三者可知二求一).利用這些探究,可將較為復(fù)雜的邊角之間的比例關(guān)系輕松破解.

      圖7

      圖8

      2.三角形邊角關(guān)系之間的變化,形成變式

      路徑(1),直角三角形中銳角的度數(shù)發(fā)生變化,如:把“∠ABC=90°,AB=CB”改為“直角△ABC中,∠CAB=30°或60°”,其他不變,以上解決問(wèn)題的方法同樣適用,變化的是構(gòu)造“K”型中,由全等三角形轉(zhuǎn)為相似三角形.

      路徑(2),三角形形狀的改變,“∠ABC=90°,AB=CB”改為“等邊△ABC”,改編如下:

      如圖8,過(guò)點(diǎn)C(3,4)的直線y=2x+b交x軸于點(diǎn)A,△ABC是等邊三角形,曲線y=(x>0)過(guò)點(diǎn)B,將點(diǎn)A沿y軸的正方向平移a個(gè)單位長(zhǎng)度恰好落在該曲線上,則a的值為_(kāi)_____.

      路徑(3),邊之間的數(shù)量關(guān)系發(fā)生變化,如:“∠ABC=90°,AB=CB”改為“Rt△ABC,且”,即:

      如圖1,過(guò)點(diǎn)C(3,4)的直線y=2x+b交x軸于點(diǎn)A,△ABC是直角三角形,且,曲線y=(x>0)過(guò)點(diǎn)B,將點(diǎn)A沿y軸的正方向平移a個(gè)單位長(zhǎng)度恰好落在該曲線上,則a的值為_(kāi)_____.

      3.解題教學(xué)走向深度

      我們知道,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程與數(shù)學(xué)解題緊密相關(guān),學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提升在于解題的質(zhì)量而非數(shù)量,解題質(zhì)量的提升路在何方?教會(huì)學(xué)生有想法,教會(huì)學(xué)生有對(duì)比,教會(huì)學(xué)生有反思,則是重中之重.本題的研究看似用好45°角,其本質(zhì)可以延伸于角的存在性問(wèn)題的思考策略,舉一反三,從而達(dá)到殊途同歸的目的.解決本題的思路有多種,從基本思路到思路優(yōu)化再到高位思考,在這樣的過(guò)程中讓學(xué)生體驗(yàn)到方法的融會(huì)貫通,達(dá)到觸類旁通的功效,尤其是推導(dǎo)“45°+”正切公式的歷程,激發(fā)學(xué)生對(duì)于高中知識(shí)探究的欲望,能夠有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力,因此解題教學(xué)的著力點(diǎn)要落在學(xué)法指導(dǎo)上.當(dāng)然,解題教學(xué)的發(fā)展點(diǎn)要落在問(wèn)題演變上,從一題走向一類,從而讓學(xué)生從變化中發(fā)現(xiàn)不變的結(jié)構(gòu),進(jìn)一步訓(xùn)練學(xué)生的有效提煉,真正實(shí)現(xiàn)學(xué)生從學(xué)解題達(dá)到會(huì)解題,使解題教學(xué)走向深度教學(xué).

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