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      從一道中考題說起
      ——談初中數(shù)學數(shù)形結(jié)合思想展現(xiàn)的魅力

      2019-12-25 05:13:00江蘇省南京師范大學蘇州實驗中學
      中學數(shù)學雜志 2019年24期
      關(guān)鍵詞:代數(shù)數(shù)形直線

      江蘇省南京師范大學蘇州實驗中學 張 璇

      在當前的初中數(shù)學教學中,學生不僅證明和求解的過程書寫混亂,如由“因為”根本推導不出“所以”后面的結(jié)論等,而且平面圖形的性質(zhì)無法利用“數(shù)”與“形”相結(jié)合的思想與方法分析,如二次函數(shù)圖像的性質(zhì)等.這就導致大部分初中生將解題思路禁錮于某一個方面,或“代數(shù)”方面,或“幾何”方面,而不能將二者有效結(jié)合起來,從而久久不能將問題有效或高效地解決.數(shù)形結(jié)合思想便是為了解決這一問題而誕生的新思想、新方法,給初中數(shù)學的學習帶來了新的希望.

      一、提出問題——一道經(jīng)典的數(shù)學中考題

      2019年江西數(shù)學中考第12題:在平面直角坐標系中,A、B、C三點的坐標分別為(4,0)、(4,4)、(0,4),點P在x軸上,點D在直線AB上,DA=1,CP⊥DP于點P,則點P的坐標為_______.

      本題是典型的動點問題,作為填空題的壓軸題,文字不多,但對分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想的運用都進行了考查,體現(xiàn)了邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng).由“CP⊥DP”這個條件產(chǎn)生的兩種不同情況,預示著后期要采用分類討論思想.在第二種情況中,如果按照傳統(tǒng)做法過程比較復雜,主要會用到“勾股定理”“一元二次方程”等重要知識點.但是,如果能將直角看成兩條互相垂直的直線形成的角,即兩直線互相垂直,就可以將“幾何”問題轉(zhuǎn)化成“代數(shù)”問題,這是非常明顯的“數(shù)形結(jié)合”,不僅能幫助學生較快地解出這道題,而且在獨辟蹊徑之余讓學生感受到了數(shù)形結(jié)合思想的魅力所在.

      二、對比分析——感悟數(shù)形結(jié)合思想的魅力

      承上所述,下面對第二種情況的分析過程進行對比,通過對比和分析讓學生感悟數(shù)形結(jié)合思想給學生的學習帶來了便利,甚至是“捷徑”.

      (一)利用常規(guī)解題思路進行分析

      首先,這樣的點D應(yīng)有兩個,一是(4,1),二是(4,-1).

      當點D的坐標是(4,1)時,如圖1所示,此時可以設(shè)點P的坐標為(m,0),那么OP=m,且AP=4-m.易得到△OCP△APD,因此可列比例式,即OC·AD=AP·OP.將OP=m、AP=4-m代入其中,得到4×1=(4-m)·m,解得m1=m2=2,所以點P的坐標為(2,0).

      當點D的坐標是(4,-1)時,如圖2所示,此時可以設(shè)點P的坐標為(m,0),那么很容易得到CD2、PC2、PD2的表達式,即CD2=(0-4)2+[4-(-1)]2=41,PC2=(0-m)2+(4-0)2=m2+16,PD2=(4-m)2+(-1-0)2=m2-8m+17.由勾股定理可知CD2=PC2+PD2,繼而得到m2+16+m2-8m+17=41,解得m1=.所以,點P的坐標為或

      圖1

      圖2

      (二)利用兩直線的位置關(guān)系分析

      在幾何領(lǐng)域中,兩條直線的位置關(guān)系有平行和相交兩種,其中平行的特例是互相重合,相交的特例是互相垂直.將這一問題放在代數(shù)領(lǐng)域中,那么兩條直線可以看成兩個不同的一次函數(shù)的圖像.設(shè)這兩條直線的解析式分別為y=k1x+b1和y=k2x+b2,當k1=k2、b1≠b2時,兩條直線互相平行,假如b1=b2,就可以得到兩直線互相重合;當k1·k2=-1時,兩條直線互相垂直.由此可見,討論直角的問題不能局限于幾何角度,也可以將之拓展至代數(shù)角度,即把兩條直線看成兩個一次函數(shù)的圖像,然后根據(jù)k1·k2=-1得到兩條直線互相垂直.所以,對于該題的第(2)問,也可以按照這個思路具體分析,如下所示:

      首先,設(shè)點P的坐標為(n,0),線段CP所在直線的解析式為yCP=k1x+b1,線段DP所在直線的解析式為yDP=k2x+b2,然后分別將點C(0,4)、P(n,0)、D(4,-1)代入到這兩條直線的解析式中,得到.由于CP⊥DP于點P,所以k1·k2=-1,即,解得,最后得到點P的另外兩個可能的坐標為

      (三)基于兩法對比感悟數(shù)形結(jié)合思想的魅力

      通過對比這兩種不同的分析方法,不難發(fā)現(xiàn)它們都利用到了數(shù)形結(jié)合思想.第一種方法是將問題分成了兩類,然后在分類討論思想的基礎(chǔ)上使用數(shù)形結(jié)合思想.這種方法比較常規(guī),但是分析的思路比較清晰,因為每分析一類情況就相當于做一個題目,兩類情況分析過程彼此獨立.但是,計算量比較大,而且容易忽略其中的一種情況.第二種方法并沒有進行分類,而是將幾何中的直線或線段看成一次函數(shù)的圖像,然后根據(jù)k1·k2=-1得到方程并解出,最后得到點P的另外兩個可能的坐標.這種方法靈活性、綜合性都比第一種方法更高,特別是完全從代數(shù)的角度考慮幾何問題,這和第一種方法由幾何分析列出代數(shù)算式明顯不同,也更考驗解題人的綜合水平.

      三、精培巧滲——讓學生利用數(shù)形結(jié)合思想解疑

      數(shù)形結(jié)合思想可以讓學生于“窮途末路”處“柳暗花明”,在茅塞頓開之余感受數(shù)學的魅力.甚至在掌握這種思想方法后,會因一次次“豁然開朗”而漸漸喜歡上做數(shù)學題和慢慢對自己學好數(shù)學建立越來越強的自信.所以,作為核心素養(yǎng)理念下的一線初中數(shù)學教師,有必要也有義務(wù)從以下幾個方面培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合思想:

      (一)在講好概念上下功夫

      掌握概念是學生學習的重要任務(wù),并且學生需經(jīng)歷形成、理解、應(yīng)用三個過程.所以,教師在教學數(shù)學概念時,要尋找恰當時機向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合思想.

      例如,教師在講“勾股定理”內(nèi)容時,就是通過一個直角三角形的三邊作出的正方形的面積關(guān)系,得到這個直角三角形三邊的關(guān)系,而這種關(guān)系就是勾股定理的內(nèi)容.勾股定理可以用一個表達式概括,而其推導過程就是建立在幾何層面上,將“數(shù)”與“形”進行了有效結(jié)合,向?qū)W生滲透了數(shù)形結(jié)合思想.

      再如,教師在講到“二次函數(shù)的圖像”時,就是利用數(shù)與圖形相結(jié)合的方式為學生展現(xiàn)了二次函數(shù)的開口及開口方向、對稱軸、頂點,從而讓學生對二次函數(shù)的三要素有更清晰的了解.特別是利用圖形分析二次函數(shù)的增減性時,往往是在一幅二次函數(shù)圖像上分別取幾個不同的點,然后通過比較相對應(yīng)的y值及其在坐標平面上的高低、正負,便得到了二次函數(shù)的增減性.這樣一來,原本非常抽象的內(nèi)容在利用數(shù)形結(jié)合思想之后,問題和分析過程變得更直觀、更簡單.

      (二)在問題解決時潛移默化

      常見的可用數(shù)形結(jié)合思想解決的數(shù)學問題主要有兩大類,一類是代數(shù)問題用幾何的方法解決,另一類是幾何問題用代數(shù)的方法解決,其中解直角三角形、函數(shù)等問題比較多見.

      例如,有這樣一道中考數(shù)學題——一次函數(shù)y=kx+k的圖像過點(1,4),且分別與x軸、y軸交于點A、B.點P(a,0)在x軸的正半軸上運動,點Q(0,b)在y軸的正半軸上運動,且PQ=AB.

      (1)求k的值,并在直角坐標系中畫出該一次函數(shù)的圖像;

      (2)求a與b滿足的等量關(guān)系式;

      (3)若PQ⊥AB,求a、b的值.

      本題對學生掌握分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想的情況進行了考查,重點在于學生應(yīng)用知識推理出正確的結(jié)果.通過圖像或畫圖解決一些函數(shù)問題,是當前中考中炙手可熱的命題類型.將函數(shù)圖像特征、代數(shù)數(shù)量關(guān)系等結(jié)合起來,能有效幫助學生解決問題、檢驗問題解決的結(jié)果.

      四、結(jié)語

      總之,面對很多學生無法在“代數(shù)”與“幾何”間靈活轉(zhuǎn)換,從而不能很好地利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的不足,一線初中數(shù)學教師一方面要正視,另一方面要積極在日常教學中滲透數(shù)形結(jié)合思想,讓學生領(lǐng)略它的魅力.

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