江蘇省南京市板橋中學(xué) 董婷婷
筆者在進(jìn)行八年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí),深刻感受到學(xué)生畏懼學(xué)習(xí)幾何、幾何學(xué)習(xí)成績不理想等狀況,究其原因,歸結(jié)為幾點(diǎn):初中幾何內(nèi)容相對(duì)于初中代數(shù)內(nèi)容和小學(xué)幾何內(nèi)容來說,更為抽象,對(duì)學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等能力有了更高的要求;初中生的思維能力正在由直觀慢慢向抽象過渡,但抽象層次尚且較低,故部分學(xué)生覺得初中幾何內(nèi)容很難,無處下手,不能很好地掌握,繼而失去學(xué)習(xí)信心.項(xiàng)武義說:“三角形是僅次于線段和直線的基本幾何圖形,而空間的大部分基本性質(zhì)都已經(jīng)在三角形的幾何性質(zhì)中充分體現(xiàn).”所以三角形及相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)對(duì)整個(gè)幾何學(xué)習(xí)都是至關(guān)重要的,如何開好這個(gè)頭、打好這個(gè)基礎(chǔ),是一線教師需要深思的問題.筆者接到開設(shè)一節(jié)市級(jí)公開課的任務(wù),課題便是“三角形的中位線”,于是做了以下設(shè)計(jì)與分析.
“9.5三角形的中位線”是蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第九章第五節(jié)的教學(xué)內(nèi)容,是學(xué)生繼學(xué)習(xí)平行線、全等三角形、平行四邊形等幾何知識(shí)之后學(xué)習(xí)的內(nèi)容,同時(shí)為之后的中點(diǎn)四邊形、相似三角形的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ),其性質(zhì)定理的探索和應(yīng)用過程又需要運(yùn)用倍長中線、旋轉(zhuǎn)或平行等作圖方法和轉(zhuǎn)化思想,在今后的研究學(xué)習(xí)中起著畫龍點(diǎn)睛的作用.在對(duì)比了蘇科版和人教版兩套教材后,發(fā)現(xiàn)這節(jié)課內(nèi)容在位置編排、情境引入、證明思路、例題設(shè)置等方面都有很大的不同.
問題1:三角形中有哪些重要的線段?
追問1:這些線段為什么重要?它們特殊在哪里?
追問2:請(qǐng)總結(jié)一下這些線段的價(jià)值.
教學(xué)組織:學(xué)生依次答出高線、中線、角平分線;三角形一邊上的高線垂直于這條邊,三角形一邊上的中線平分這條邊,三角形的角平分線平分這個(gè)內(nèi)角.它們有特殊的位置和數(shù)量關(guān)系,如由中線可得兩個(gè)三角形的面積相等.
追問3:三角形中還有哪些特殊的重要線段?
追問4:我們研究了定義,還需從什么方面繼續(xù)研究它?
教學(xué)組織:學(xué)生上黑板再畫一些自己覺得特殊的線段,并說出特殊在哪里,重要在哪里,交流后,教師在黑板上保留一條中位線,引出三角形中位線的定義,并且指出定義、性質(zhì)、判定、應(yīng)用是學(xué)習(xí)幾何對(duì)象的一貫路徑.
設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生從自己已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)入手,自然引出新課內(nèi)容,遵循了學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn),培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的意識(shí),引導(dǎo)學(xué)生從位置與數(shù)量兩方面研究幾何圖形.同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生回憶研究幾何對(duì)象的方向,學(xué)會(huì)提出問題,研究學(xué)習(xí)策略,增強(qiáng)學(xué)習(xí)主動(dòng)性.
問題2:(1)在三角形中畫出一條中位線,猜想它的性質(zhì),并用文字語言描述.
(2)結(jié)合圖形寫出猜想,并證明.
追問1:哪兩條線段平行?
追問2:所對(duì)的線段可以怎么稱呼它?
追問3:為什么叫第三邊?
設(shè)計(jì)意圖:促使學(xué)生出現(xiàn)認(rèn)知與表達(dá)之間的不平衡狀態(tài),產(chǎn)生尋求平衡的需求,同時(shí)對(duì)性質(zhì)中的“第三邊”加深理解,為后續(xù)學(xué)生能夠正確應(yīng)用性質(zhì)奠定基礎(chǔ).培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)題意畫圖的能力,根據(jù)文字語言寫出幾何語言,進(jìn)行三種語言之間的相互轉(zhuǎn)化,同時(shí)讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、操作、驗(yàn)證的過程,感受數(shù)學(xué)研究學(xué)習(xí)的合理性.學(xué)生獨(dú)立思考五分鐘,教師巡視學(xué)生作輔助線的情況,并引導(dǎo)學(xué)生思考在需要證明的兩個(gè)結(jié)論中,哪個(gè)結(jié)論是我們比較熟悉的,哪個(gè)結(jié)論是我們不太熟悉的.
本活動(dòng)中設(shè)置了幾次讓學(xué)生獨(dú)立思考的環(huán)節(jié),分別安排在教師的幾次提示之后,根據(jù)學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)的整體情況來判斷介入提示的時(shí)機(jī)和深入程度,充分發(fā)揮學(xué)生的主體性,減少學(xué)生對(duì)教師的依賴,把課堂真正還給學(xué)生.
這里分享該課的一個(gè)教學(xué)片段:
圖1
生:我作了BC上的中點(diǎn)F,連接這三個(gè)中點(diǎn)(如圖1),這樣作是想證明DE等于BF且平行于BF.
追問4:這樣作輔助線是否可以得到證明呢?你覺得困難出在哪里?知道為什么不容易證明出你想要的結(jié)論嗎?
生:好像證明不出來.
生:我想證明△ADE與△DBF全等,但是給的條件不夠.
生:原因不知道.
師:題目中給出的大多是關(guān)于中點(diǎn)的條件,你再作BC的中點(diǎn),相當(dāng)于還是增加了中位線,條件類型單一,且你試圖用中位線的性質(zhì)去證明中位線的性質(zhì),自然是困難的.但是這名同學(xué)想到把DE和BC之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為DE和BF之間的關(guān)系,這一點(diǎn)是非常關(guān)鍵的.
教師繼續(xù)追問:作了BC的中點(diǎn)相當(dāng)于將線段BC怎樣了?
生:相當(dāng)于把線段BC截成了相等的兩段.
師:第一名同學(xué)是把BC截成了兩段來解決二分之一的問題,但是并沒有證明出來,這對(duì)你有沒有什么啟發(fā)呢?
圖2
學(xué)生再思考三分鐘,教師巡視學(xué)生完成情況
師:是否可以換一個(gè)方向思考這個(gè)結(jié)論呢?這個(gè)結(jié)論等價(jià)于什么呢?
生:這個(gè)結(jié)論等價(jià)于二倍的DE等于BC.
生:我們可以延長DE得到二倍的DE,讓它等于BC.
師:請(qǐng)大家繼續(xù)思考,看是否能夠構(gòu)造出輔助線并證明.
接著,學(xué)生發(fā)現(xiàn)線段的倍長關(guān)系是此次證明中相對(duì)較陌生又較困難的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),是此結(jié)論中的一個(gè)題眼,故需要遵循學(xué)生的心理特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律,循序漸進(jìn)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)題眼,讓知識(shí)順其自然生成,在此基礎(chǔ)上,教師完善并形成這個(gè)教學(xué)內(nèi)容的板書思維導(dǎo)圖,如下:
例1把一個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)順次連接起來得到的新三角形,稱為中點(diǎn)三角形,如圖4,D、E、F分別是△ABC三邊的中點(diǎn),若BC=6,DE多長?這里有沒有特殊的四邊形?
設(shè)計(jì)意圖:探索完性質(zhì)證明方法后,從位置和數(shù)量兩方面進(jìn)行性質(zhì)的應(yīng)用,設(shè)計(jì)兩個(gè)不同層次的問題,由簡單到復(fù)雜、由封閉到開放,采用半開放的問題設(shè)計(jì)拓展知識(shí)面、加強(qiáng)三角形與四邊形的轉(zhuǎn)化意識(shí),充分運(yùn)用之前雖未得證成功但由學(xué)生自己探索出的輔助線作法,總結(jié)出與三角形中位線相關(guān)的基本圖形.
圖3
1.順應(yīng)錯(cuò)誤,攫取思維之源
本節(jié)課教學(xué)的難點(diǎn)是如何作輔助線繼而探究出三角形中位線性質(zhì)證明方法,雖然在課堂上進(jìn)行過“將三角形分成兩部分拼成一個(gè)平行四邊形”的操作過程,并且進(jìn)行了多次引導(dǎo)啟發(fā),學(xué)生還是很難想到如何添加輔助線,部分學(xué)生利用旋轉(zhuǎn)變換想出作法但不能完整地寫出證明過程,同時(shí),筆者發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生在作輔助線時(shí)取了BC邊的中點(diǎn)F,并連接DF、EF,然后陷入困境.于是筆者在課堂上及時(shí)聽取并分享學(xué)生的作法,呈現(xiàn)并放大學(xué)生在證明過程中出現(xiàn)的困惑,分解剖析他的輔助線作法和意圖,激發(fā)學(xué)生在證明思路上的需求,明確證明的具體目標(biāo),最后挖掘出錯(cuò)誤解法中非常有用的價(jià)值,例如,關(guān)于輔助線的作法和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想,適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行變換,轉(zhuǎn)為正確的思路和解法,即讓學(xué)生想到“截長”不行就考慮“補(bǔ)短”,再由“找中點(diǎn)”是為了“截長”聯(lián)想到“延長”可以起到“補(bǔ)短”的作用,繼而讓更多的學(xué)生獲得將三角形問題轉(zhuǎn)化為平行四邊形問題的思路.
2.緊扣關(guān)鍵,敲開思維之門
初中幾何教學(xué)中常常遇見這樣的問題:教師盡心盡力教授,學(xué)生一聽就懂、聽過就忘、一做就錯(cuò).這是因?yàn)槌踔袔缀味ɡ矸倍?,教師又沒有重視對(duì)學(xué)生審題和分解重組能力的培養(yǎng),導(dǎo)致學(xué)生不會(huì)解題或者用更煩瑣的方法,拖長了解題的時(shí)間,增加了解題的難度.所以教師要培養(yǎng)學(xué)生抓住“題眼”的能力,找到解決問題的突破口.正如本環(huán)節(jié)中教師引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)結(jié)論中哪些是學(xué)生熟悉、可解決的部分,哪些是不熟悉、不可解決的部分,或者所有分結(jié)論都指向的某個(gè)結(jié)論,這些往往就是本題的題眼.學(xué)生發(fā)現(xiàn)證明兩條線段平行且相等是熟悉又好解決的,而是不熟悉的,那么此題的題眼就是這個(gè),重點(diǎn)從這個(gè)開始突破.找到突破口以后,就有了思考的方向,集中火力探索所需的條件或者畫出相關(guān)的輔助線,從而解決問題.
3.利用導(dǎo)圖,明確思維脈絡(luò)
波利亞在《怎樣解題》中說,我們?cè)趯ふ医忸}方法時(shí),可以試試在題目上做些變化,如類比、特殊化、普遍化、分解和重組,其中在幾何證明過程中,分解與重組能在很大程度上幫助學(xué)生分析并解決問題.故本環(huán)節(jié)教學(xué)中,教師引導(dǎo)學(xué)生分解條件“D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)”則能得到“AD=BE,AE=EC”,接著明白要得出結(jié)論還需要找到另一條線段讓它與BC平行且相等,同時(shí)需要證明DE等于這條線段的一半.引導(dǎo)學(xué)生畫出輔助線,繼而將新條件“AE=EC”和“DE=BF”重組,得到一對(duì)三角形全等,最終解決問題.這些煩瑣的想法不能只停留在抽象的思維中,而需要簡要而顯性地暴露在學(xué)生面前,于是教會(huì)學(xué)生畫思維導(dǎo)圖顯得尤為重要.思維導(dǎo)圖又叫心智導(dǎo)圖,能將思維形象化,是一種非常實(shí)用的表達(dá)發(fā)散性思維的圖形工具.思維導(dǎo)圖在初中幾何教學(xué)中的地位舉足輕重,可以說得思維導(dǎo)圖者得幾何天下.指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)利用思維導(dǎo)圖解決幾何問題的策略與技巧,并有意識(shí)進(jìn)行運(yùn)用和訓(xùn)練,能較大程度地提高解題能力,提升數(shù)學(xué)思維.