研究課堂結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學科能力
——以點、直線、圓和圓的位置關(guān)系為例

江蘇省南京市第二十九中學初中部 吳明艷

又是一年六七月，轉(zhuǎn)眼間學生由八年級進入九年級，教育教學的重要任務(wù)向快速結(jié)束教材內(nèi)容和進入中考備考狀態(tài)轉(zhuǎn)軌，任課教師也倍感壓力，怎樣才能在平常的課堂教學中做好新的知識學習的同時又不失引領(lǐng)學生科學備考呢？筆者所在的數(shù)學備課組成員展開了一系列的研討，就一些教材中的關(guān)鍵章節(jié)進行了說課.筆者以點、直線、圓和圓的位置關(guān)系為例談了怎樣實現(xiàn)“研究課堂結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學科能力”.

一、分析點、直線、圓和圓的位置關(guān)系在初中數(shù)學中的核心素養(yǎng)，找準教學方向

從教材內(nèi)容來看，知識含“點和圓的位置關(guān)系”“直線和圓的位置關(guān)系”“圓和圓的位置關(guān)系”，這是在學生已經(jīng)掌握眾多的幾何圖形知識的基礎(chǔ)之后的延伸，將曲折的圖形“圓滑化”.三塊內(nèi)容本身也具有遞進性，使得點、線、面渾然一體.因此，本章節(jié)內(nèi)容無論從數(shù)學知識體系的構(gòu)建，還是培養(yǎng)學生學科素養(yǎng)來講，都占有舉足輕重的地位.

因此，筆者從四個方面給出了教學目標，來達成培養(yǎng)學生的學科核心素養(yǎng)：

（1）在認知點和圓、直線和圓、圓和圓的幾種位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，明確科學考向.

（2）以循序漸進的方法理解各種位置關(guān)系中，d與R、r的數(shù)量關(guān)系，體會數(shù)形轉(zhuǎn)換的學科思維.

（3）在針對訓練中提升學生的探究能力、識圖能力、推理判斷能力.

（4）觀察現(xiàn)實生活中的空間圖形，體驗學科思維，以解決生活中的實際問題.

筆者將切線的判定，兩圓外切、內(nèi)切與兩圓圓心距d、半徑R和r的數(shù)量關(guān)系的聯(lián)系作為重點，真正體現(xiàn)培養(yǎng)學生數(shù)形轉(zhuǎn)換的學科思維；將各知識點之間的整合和在實際生活中的應用作為難點.以問題情境引入—基礎(chǔ)知識整合—綜合知識應用為課堂活動環(huán)節(jié)，來打造課堂結(jié)構(gòu)、培養(yǎng)學科能力.

二、預設(shè)點、直線、圓和圓的位置關(guān)系在課堂教學中的重要環(huán)節(jié)，打造課堂結(jié)構(gòu)

一節(jié)課是以引入課題為起點的，首先預設(shè)一個與生活息息相關(guān)的圓的情境（用媒體播放圓與球：跨時代、跨文化的數(shù)學故事），然后引入“點與圓的位置關(guān)系”內(nèi)容.

1.新課導入環(huán)節(jié)的預設(shè)

預設(shè)問題：有哪幾種點和圓的位置關(guān)系？你該怎樣判定？

點到圓心的距離用d表示、圓的半徑用r表示，讓學生在探究過程中明確點和圓的三種位置關(guān)系（如圖1）.

圖1

幾何圖形對應的數(shù)的關(guān)系：圖1左是d＜r、圖1中是d=r、圖1右是d＞r.

預設(shè)練習1：如圖2，已知直角△ABC的直角邊AB=3cm，AC=4cm.

圖2

（1）以點A為圓心、4cm為半徑作⊙A，則點B、C與⊙A的位置關(guān)系如何？

（2）若以點A為圓心作⊙A，你認為B、C兩點可能出現(xiàn)幾種情況？分析對應的⊙A的半徑r的取值范圍是什么.

（3）你能否找到一圓使A、B、C三點共圓？圓心在什么位置？半徑r是多少？

預設(shè)目的：從新知認知，感悟點和圓的位置關(guān)系其實是一種數(shù)形轉(zhuǎn)換的數(shù)學思想.然后對新知進一步鞏固，尤其是（2）中學生出現(xiàn)了以下情況：

r＜3cm，B、C兩點都在⊙A外；r=3cm，點B在⊙A上、點C在⊙A外；3cm＜r＜4cm，點B在⊙A內(nèi)、點C在⊙A外；r=5cm，點B在⊙A內(nèi)、點C在⊙A上；r＞5cm，B、C兩點都在⊙A內(nèi).不可能出現(xiàn)B、C兩點都在⊙A上的情況.

（3）難度較大，要利用直角三角形斜邊上的中線為斜邊的一半解決問題.因此，使A、B、C三點共圓，圓心是斜邊的中點，半徑r是斜邊的一半，再利用勾股定理，r=

2.新課探究環(huán)節(jié)的預設(shè)

可以讓學生以“點和圓的位置關(guān)系”的學習方法探究“直線和圓的位置關(guān)系”，得出直線和圓的三種位置關(guān)系（如圖3）：

圖3

找出圓心到直線的距離d與半徑r的數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系：

圖3中，①是d＞r，無交點；②是d=r，有1個切點；③是d＜r，有2個交點.

預設(shè)練習2：請各個小組討論，用相交、相切、相離回答下列問題.看哪組同學答得又快又好.

已知⊙O的半徑是10，根據(jù)下列條件，判斷⊙O與直線l的位置關(guān)系.

表1

講授要點知識——圓的切線、切線的有關(guān)性質(zhì)及判定.注意總結(jié)規(guī)律：

判斷一條直線是圓的切線的方法有：（1）若直線與圓有唯一的公共點，則此直線為圓的切線；（2）圓心到直線的距離等于圓的半徑，則此直線為圓的切線；（3）過半徑的外端點與半徑垂直的直線為圓的切線.

預設(shè)練習3：（2019年江蘇省宿遷市中考第24題）在Rt△ABC中，∠C=90°.

（1）如圖4，點O在斜邊AB上，以點O為圓心、OB長為半徑的圓交AB于點D，交BC于點E，與邊AC相切于點F.求證：∠1=∠2.

圖4

圖5

（2）在圖5中作⊙M，使它滿足以下條件：

①圓心在邊AB上；②經(jīng)過點B；③與邊AC相切.（尺規(guī)作圖，只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）

預設(shè)目的：將導學案前置，讓學生自主學習，然后分組討論并搶答問題.一方面，培養(yǎng)了學生的自學能力，另一方面，還可以增強集體榮譽感.預設(shè)練習2中⑤和⑥有一定的難度，學生對⑤和⑥可能理解不全面，此時引導學生結(jié)合點和圓的三種位置關(guān)系進行分析.在預設(shè)練習3中，可以引導學生不斷深化.解題的簡約思路如下：

（1）連接OF，則OF⊥AC，OF為⊙O的半徑.

圓的半徑OF=OB，則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以得出∠2=∠OFB.

再根據(jù)∠C=90°，推出OF∥BC.

∠OFB=∠1，則∠1=∠2，原命題得以證明.

（2）方法1：作∠B的平分線交AC于點F，再作MF⊥AC交AB于點M，以點M為圓心、MB為半徑作圓，⊙M即為所求作的圓.

方法2：作∠B的平分線交AC于點F，再作BF的垂直平分線交AB于點M，以點M為圓心、MB為半徑作圓，⊙M即為所求作的圓.

選擇本中考試題的目的在于讓學生在平常的課堂學習中既能體會到中考試題的考向，又明確中考試題的解法是多元化的，可能的“定理”就在題干之中，如本題第（2）問的求解可以運用第（1）問中證明出的結(jié)論.

生活中處處有數(shù)學.圓與圓的位置關(guān)系也是如此，圓和圓有五種位置關(guān)系，這里就不再一一贅述了.

3.反思點、直線、圓和圓的位置關(guān)系在課堂教學中的重要環(huán)節(jié)，優(yōu)化課堂結(jié)構(gòu)

第一，進入九年級，要自主探究，不是放任自由.預設(shè)這節(jié)課需要有導學案前置的自主學習、課堂上的小組合作及展示等環(huán)節(jié)，教師再重點進行點撥.這種學習方式特別有利于調(diào)動學生的學習興趣和張揚學生的個性，彌補了傳統(tǒng)教學的不足.教學實踐表明，只有在教師充滿睿智的引導下，才能強化學生的自主學習.所以，課堂環(huán)節(jié)的預設(shè)中將引導作為一種真誠的幫助，作為一種精當?shù)膯⒌?，作為一種熱情的激勵.讓教師的引導融合到學生的自主探究中，形成學習合力.

第二，小組探究學習，要讓合作成為智慧的交融.

合作學習是一種學習方式，預設(shè)的這節(jié)課根據(jù)學習內(nèi)容而定，在“直線與圓的位置關(guān)系和圓與圓的位置關(guān)系”關(guān)鍵環(huán)節(jié)采用了小組合作的學習方法.預案中指導合作學習時強調(diào)以下幾點.（1）提前做好合作鋪墊，在“點與圓的位置關(guān)系”的新知學習過程中要有引導.即對初中生要教給他們學習方法，這是一種學科素養(yǎng)的培訓.同時，在小組合作探究之前，預設(shè)中有導學案的前置，留給學生充足的獨立思考的時間，只有學生對所需要學習的知識有初步的認識和了解，才能進行有效的小組合作學習.（2）用電子白板給出合作目標，要讓學生明確小組合作是干什么的、通過合作要達到的目標是怎樣的，等等，要在小組合作中明確角色定位，讓合作探究有的放矢.

總之，教學是一門藝術(shù).只有一線教師不斷研究課堂結(jié)構(gòu)、培養(yǎng)學科能力，初中教育教學才會艷陽高照.