試論線性代數(shù)與多項式簡述

蔣瑞祥

（安徽省合肥市新華學(xué)院國際教育學(xué)院，安徽 合肥 230088）

一、線性代數(shù)

（一）線性代數(shù)的定理

作為特殊的數(shù)學(xué)課程，線性代數(shù)主要對向量、線性空間、有限維線性方程組及線性變換等內(nèi)容進(jìn)行分析。作為關(guān)鍵學(xué)習(xí)內(nèi)容，線性代數(shù)在泛函分析、抽象代數(shù)中占據(jù)著重要位置，在表達(dá)過程中需要借助幾何解析的方式。算子理論就涵蓋了線性代數(shù)原理，在研究線性模型一般都是以非線性模型為例，在社會、自然學(xué)科領(lǐng)域可以大規(guī)模應(yīng)用線性代數(shù)。

基于線性代數(shù)下，線性空間、基獨(dú)立對應(yīng)。若非零矩陣A的行列均為n，假定B矩陣存在AB = BA =E，其中單位矩陣表示為E，那么可逆矩陣即為A，A逆陣就是B[1]?？赡婢仃噧H在行列式≠0的情況下，象征線性變化為自同構(gòu)。半正定矩陣只有各特征值≥0，正定矩陣只有各特征值＞0。借助Gramer法則能夠?qū)€性方程組進(jìn)行求解。

（二）線性方程組解的結(jié)構(gòu)

解的判斷包括：

齊次線性方程組Ax=0有非零解＜=＞r(A)＜n.(或|A|=0，A為方陣)；

非齊次線性方程組Ax=b有唯一解r(A)=r(A,b)=n；

非齊次線性方程組Ax=b有無窮多解r(A)=r(A,b)＜n；

非齊次線性方程組Ax=b無解r(A)?r(A,b)

通過由解的情況判斷矩陣中參數(shù)的取值范圍。P95 3 P99 例4.7 P101 3. 4.確立齊次線性方程組:

所有解向量構(gòu)成向量空間。

基礎(chǔ)解系的維數(shù)：n-r（A）；

基礎(chǔ)解系的求法：

1、系數(shù)矩陣通過初等行變換化為行最簡形

2、非零首元所在列對應(yīng)的是非自由變量，其余為自由變量。

3、令自由變量取一組線性無關(guān)的值。(通常取單位向量組。)

4、計算其他變量的值。從而確定基礎(chǔ)解系。

非齊次線性方程組：

通解可以通過對應(yīng)的齊次線性方程組的通解和非齊次線性方程組的一個特解來表示。

二、多項式的運(yùn)算

作為特殊的數(shù)學(xué)表達(dá)式，多項式涵蓋了系數(shù)、變量和系數(shù)運(yùn)算等內(nèi)容，其中系數(shù)運(yùn)算包括冪運(yùn)算、加減和乘。針對多項式的界定，可以看作是單個、零個單項式之和，所以整式也算是多項式。然而定理無法僅限于狹義多項式，而不適用單項式。如果多項式包括零，那么負(fù)無窮就是次數(shù)定義。因此，整式包括了多項式、單項式，其中常數(shù)項指的是多項式內(nèi)無字母的項。

多項式在運(yùn)算過程中需要遵守下列幾個規(guī)則：

首先是加法和乘法

多項式是有限單項式的總和，所涵蓋的單項式類型有所差異，多項式的次數(shù)由單項式（系數(shù)≠0）最高次數(shù)決定。

將相同類型多項式系數(shù)進(jìn)行加和的過程就是多項式加法，要求不改變字母；而乘法則為將多項式內(nèi)各單項式同其他多項式各單項式進(jìn)行乘法運(yùn)算，并進(jìn)行同類項的合并[2]。

含單位元素的整環(huán)為多項式乘法、加法所形成的環(huán)，例如F中多項式x1，x2，…，xn全部集合Fx{1,x2，…,xn}。

因式分解唯一性定理適用于存在于域下的多元多項式。

其次是帶余除法。

F[x]下多項式為g(x)、f(x)，且g(x)≠0，F(xiàn)[x]內(nèi)r(x)、q(x)唯一，符合?(x)=q(x)g(x)+r(x)，g(x)次數(shù)＞r(x)。g(x)÷?(x)的商式就是q(x) ，而余式是r(x)。若g(x)=x-α，余元就是r(x)=?(α)，F(xiàn)下元素為α。這種情況下的?(x)=q(x)(x-α)+?(α)是帶余除法的基本形式，也叫作余元定理。g(x)÷?(x)余式=0,作為?(x)因式=g(x)成立的充分必要條件。若?(x)因式為g(x)，則?(x)可以被g(x)整除。?(α)為零是?(x)因式為x-α成立的充分必要條件，則?(x)根即為α。

若?(x)、g(x)二者的共同因式為d(x)，則g(x)、?(x)公因式就是d(x)。若g(x)、?(x)的公因式為d(x)，同時g(x)、?(x)二者隨機(jī)因式均為d(x)的因式，則g(x)、?(x)最大公因式即為d(x)。若?(x)為零，則g(x)、?(x)最大公因式就是g(x)。g(x)、?(x)均≠0的情況下，在進(jìn)行最大公因式運(yùn)算時就需要借助輾轉(zhuǎn)相除法。

最后是輾轉(zhuǎn)相除法

若F[x]為一元多項式環(huán)，所含g(x)、?(x)兩大多項式均≠0，r1(x)和q1(x)分別是g(x)÷?(x)的余式及商式。假設(shè)r1(x)為零，g(x)、?(x)最大公因式就是g(x)。假設(shè)r1(x)不為零，r2(x)和q2(x)分別是 r1(x)÷g(x)的余式及商式。假設(shè)r2(x)不為零，g(x)、?(x)最大公因式為r1。

反之需要重復(fù)進(jìn)行上述除法運(yùn)算，會逐漸降低余式次數(shù)，結(jié)束有限s次，則存在零多項式或者零次多項式。如果零次多項式是最終余式結(jié)果，那么g(x)、?(x)互素；如果零多項式是最終余式結(jié)果，那么g(x)、?(x)最大公因式為末次帶余除法的除式。

借助輾轉(zhuǎn)相除法，對于rs(x)這一g(x)、?(x)最大公因式，能夠通過g(x)、?(x)組合方式進(jìn)行表示，F(xiàn)中多項式為組合系數(shù)[3]。

若g(x)、?(x)最大公因式為零次多項式，則g(x)、?(x)互素。一些多項式廣泛適用互素、最大公因式原理。

若多項式?(x)存在于F[x]內(nèi)，且起次數(shù)≥1，就無法通過 F[x]下低次數(shù)多項式乘積進(jìn)行表示，則F中不可約多項式就是?(x)。

隨機(jī)多項式均能夠進(jìn)行分解，得到不可約多項式的乘積。

形如 Pn(x)=a(n)x^n+a(n-1)x^(n-1)+…+a(1)x+a(0)的函數(shù)，稱之為多項式函數(shù)，運(yùn)算過程中需要自變量x、常數(shù)在有限次數(shù)內(nèi)進(jìn)行相加和相乘。顯然，當(dāng)n=1時，其為一次函數(shù)y=kx+b，當(dāng)n=2時，其為二次函數(shù)y=ax^2+bx+c。