對一道概率統(tǒng)計題命制過程的思考

陳萬壽 龍宇

[摘? ?要]概率統(tǒng)計高考試題設(shè)計背景新穎，與現(xiàn)實(shí)問題的聯(lián)系緊密，主要考查學(xué)生解決實(shí)際問題的能力.立足高考數(shù)學(xué)考查背景，主要分析一道概率統(tǒng)計問題的命制過程，并思考如何命制“好”概率統(tǒng)計題以供學(xué)生進(jìn)行練習(xí).

[關(guān)鍵詞]概率統(tǒng)計;二項分布;頻率分布直方圖

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）32-0025-02

統(tǒng)計與概率是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.概率統(tǒng)計高考試題強(qiáng)調(diào)應(yīng)用性，以實(shí)際問題為背景，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，突出考查統(tǒng)計與概率的思想和考生的數(shù)據(jù)處理能力及應(yīng)用意識.對此，筆者立足以上考查背景，主要分析廣東順德區(qū)的一道考前測試題目的命制意圖與命制過程.

一、題目及解答

【題目】在高考結(jié)束后，省考試院會根據(jù)所有考生的成績劃分出一段線和二段線.同學(xué)們就可以結(jié)合自己的成績與劃線進(jìn)行決策——填報高考志愿.作為一個學(xué)科的評價，也需要有一個標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行判斷.以數(shù)學(xué)學(xué)科為例，在一次考試中，將學(xué)生的成績由高到低排列，將學(xué)生的成績分為一、二、三檔三個層次，前[22%]定為一檔，前[58%]到前[22%]定為二檔，后[42%]定為三檔.在一次全市的模擬考試中，學(xué)生數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖1：

（1）根據(jù)直方圖的信息可知第三檔的分?jǐn)?shù)段為[（0，70）]，試估計第二檔及第一檔的分?jǐn)?shù)段;

（2）在歷年的統(tǒng)計中發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)成績?yōu)橐粰n的同學(xué)其總分過一段線的概率為[0.8]，數(shù)學(xué)成績?yōu)槎n的同學(xué)其總分過一段線的概率為[0.5]，數(shù)學(xué)成績?yōu)槿龣n的同學(xué)其總分過一段線的概率為[0.1]，每位同學(xué)是否過一段線相互獨(dú)立.在此次模擬考試中，甲、乙、丙三位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績分別為[65，94，122].請結(jié)合第（1）問中的分?jǐn)?shù)段，估計這三位同學(xué)總分上一段線的人數(shù)的平均值.

二、題目的考查意圖與引申

1.題目的考查意圖

本題以高考成績?yōu)楸尘?，對所有考生而言，背景公平，且在第?）問中體現(xiàn)出所有學(xué)生即使在數(shù)學(xué)學(xué)科上有差異，但都有機(jī)會通過高考劃線的一段線，可為正在復(fù)習(xí)備考的學(xué)生提供積極的心理暗示，也增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科應(yīng)用的認(rèn)同感.

本題共設(shè)計了兩個問題，第（1）問考查學(xué)生對頻率分布直方圖的認(rèn)識以及對統(tǒng)計量“中位數(shù)”的認(rèn)識與理解;第（2）問考查了兩個隨機(jī)變量間的關(guān)系，即數(shù)學(xué)成績與總分成績之間的關(guān)聯(lián)，但設(shè)問方式則是離散型隨機(jī)變量的分布以及期望.第（1）問中的分?jǐn)?shù)段是“中位數(shù)”的變異，要求學(xué)生充分理解“中位數(shù)”的定義及算法，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行推廣.此問題的難度適中，也具有一定的應(yīng)用價值，也考查了學(xué)生學(xué)習(xí)遷移的能力.

第（2）問是在第（1）問獲得結(jié)論的基礎(chǔ)上進(jìn)行的應(yīng)用判斷，考查學(xué)生的閱讀能力，能夠?qū)⑽谋局谐霈F(xiàn)的信息轉(zhuǎn)化為兩個隨機(jī)變量間的關(guān)聯(lián).本題原本的設(shè)計是估計三位同學(xué)總分上一段線的人數(shù).后改為目前的問法，讓學(xué)生在解題的過程中更加有指向性.

2.關(guān)于頻率分布直方圖的編制與思考

數(shù)學(xué)考試成績的分?jǐn)?shù)極差為[150]，該按照什么標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分組呢？從理論上講，組距越小，越能反映總體的實(shí)際情況.但組距太小，就會造成分組過多，讓學(xué)生耗費(fèi)過多的精力在計算上，與目前的高考“多考一點(diǎn)想，少考一點(diǎn)算”相矛盾.如何進(jìn)行一個折中的選擇就是對命題教師的考驗(yàn).

基于上面的分析，可以選擇的組距有：10，15，20，30，50.當(dāng)組距為[20]時，[150]不能做到均勻分配，與學(xué)生常規(guī)思維沖突，放棄該組距;組距為[50]，整個成績僅僅被分為三段，誤差太大，也放棄該組距;[15]與[30]視為同一類.為了減小運(yùn)算量，最終選擇組距為[30]進(jìn)行設(shè)計.接下來又出現(xiàn)一個新的問題，如何設(shè)計每一段的概率.

為了科學(xué)性，使用真實(shí)的數(shù)據(jù)是最合理的.這又涉及運(yùn)算量的問題，且收集數(shù)據(jù)較為困難，所以就要進(jìn)行編制與調(diào)整.筆者最終以自己所授課班級學(xué)生的考試成績?yōu)橐罁?jù)，進(jìn)行優(yōu)化與調(diào)整，再折算為頻率/組距，必然存在一個坐標(biāo)為無限小數(shù)，為此，筆者在頻率分布直方圖中設(shè)計了一個未知量[a].該設(shè)計避免了數(shù)據(jù)上的問題，也對學(xué)生的認(rèn)知產(chǎn)生了一定的沖擊.解題的過程中，要回避[a]的求解，利用頻率的基本性質(zhì)求解.該設(shè)計對學(xué)生的能力考查又提高了一個層次.

3.關(guān)于數(shù)學(xué)成績與總分之間關(guān)系的設(shè)計

本環(huán)節(jié)的設(shè)計可以考查的知識點(diǎn)很多，比如：數(shù)學(xué)成績過一段線的情況與總分過一段線是否相關(guān)？我們可以統(tǒng)計相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，并以散點(diǎn)圖（如圖2）的形式呈現(xiàn).通過此方式考查學(xué)生收集處理數(shù)據(jù)的能力.

還可考查數(shù)學(xué)成績與總分之間的線性回歸方程，通過數(shù)學(xué)成績預(yù)測總分的情況.在本題中，筆者另辟蹊徑，設(shè)定兩個變量相關(guān)，并分別給出了三個條件概率，考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力.本環(huán)節(jié)的設(shè)計還與第（1）問相結(jié)合，形成一個整體.該次考試是在高考前的最后一次模擬測試，設(shè)計數(shù)據(jù)的目的是為提高學(xué)生的學(xué)習(xí)信心（數(shù)學(xué)成績?yōu)槿龣n的同學(xué)也有[0.1]的可能過一段線），充分體現(xiàn)了人文關(guān)懷.

筆者在第（2）問中設(shè)計了甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行分析，三位同學(xué)分別是三個檔次的代表，學(xué)生可以通過概率的獨(dú)立性進(jìn)行運(yùn)算.對分布列理解透徹的學(xué)生可通過題干信息識別出每一位同學(xué)是否過一段線服從二項分布，根據(jù)隨機(jī)變量的可加性，可分別計算三個期望值再求和.因此，筆者在圖1的基礎(chǔ)上，提出了一個備用問題：你能根據(jù)散點(diǎn)圖信息，統(tǒng)計學(xué)生數(shù)學(xué)成績預(yù)測所有學(xué)生總分過一段線的平均數(shù)嗎？

（特約編輯 安? ?平）