錯(cuò)解總結(jié)　能力提升

趙佳佳

一、概念模糊不清

例1 江蘇省某校食堂銷(xiāo)售三種午餐盒飯的有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，求該食堂銷(xiāo)售午餐盒飯的平均價(jià)格為。

【錯(cuò)解】6.3元。

【錯(cuò)解原因】用[8+5+63]作為答案，對(duì)加權(quán)平均數(shù)的概念不清楚。這里并不是簡(jiǎn)單地求三個(gè)數(shù)據(jù)的平均值，應(yīng)考慮每個(gè)數(shù)據(jù)的重要程度，即所占權(quán)重。

【正解】8×15%+5×25%+6×60%=6.05。

二、審題不仔細(xì)

例2 求下列一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)：2，5，3，4，7。

【錯(cuò)解】3。

【錯(cuò)解原因】審題不清楚，錯(cuò)誤地認(rèn)為一組數(shù)據(jù)最中間的數(shù)據(jù)就是該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。

【正解】求一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，應(yīng)先將數(shù)據(jù)按大小順序排列，如果有奇數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)，取最中間一個(gè)，有偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)，取中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)。因此排序后是2，3，4，5，7，中間數(shù)據(jù)（中位數(shù)）是4。

例3 某校對(duì)部分參加夏令營(yíng)的中學(xué)生的年齡（單位：歲）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表：

[年齡 13 14 15 16 17 人數(shù) 1 2 2 4 1 ]

則這些學(xué)生年齡的中位數(shù)和眾數(shù)分別是。

【錯(cuò)解】15、4。

【錯(cuò)解原因】沒(méi)能認(rèn)清年齡和對(duì)應(yīng)的人數(shù)，錯(cuò)誤地只取五個(gè)年齡的中間值。眾數(shù)是年齡而不是人數(shù)。

【正解】先將數(shù)據(jù)按順序排列可得13，14，14，15，15，16，16，16，16，17。共十個(gè)數(shù)據(jù)，中間兩個(gè)是15和16，中位數(shù)則取它們倆的平均數(shù)15.5;眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，而不是出現(xiàn)最多的數(shù)據(jù)的次數(shù)，年齡為16的人數(shù)最多，因而年齡的眾數(shù)是16。另外，根據(jù)眾數(shù)的意義，一組數(shù)據(jù)有時(shí)不止有一個(gè)眾數(shù)，也可以沒(méi)有眾數(shù)。如數(shù)據(jù)“5，6，7，6，8，8”的眾數(shù)是6和8;數(shù)據(jù)“12，18，46，56，100”沒(méi)有眾數(shù)。

三、計(jì)算錯(cuò)誤，方法不優(yōu)化

例4 某舞蹈隊(duì)12名隊(duì)員身高如下（單位：cm）：165，167，169，166，168，164，163，164，165，167，166，162。求她們的平均身高。

【錯(cuò)解】計(jì)算錯(cuò)誤的各種答案。

【錯(cuò)解原因】計(jì)算方法繁瑣，基礎(chǔ)計(jì)算不過(guò)關(guān)。

【正解】?jī)?yōu)化方法，簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，通過(guò)觀察我們發(fā)現(xiàn)，這組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都較大，并且都接近一個(gè)數(shù)165，可以用以下方法：將每組數(shù)據(jù)同時(shí)減去165，得到一組新數(shù)據(jù)0，2，4，1，3，-1，-2，-1，0，2，1，-3。再計(jì)算新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是[0+2+4+1+3-1-2-1+0+2+1-312]=0.5。所以原數(shù)據(jù)的平均數(shù)是165.5（cm）。

四、跟著感覺(jué)走

例5 一組數(shù)：1，2，2，3，若再添加一個(gè)數(shù)據(jù)2，則發(fā)生變化的統(tǒng)計(jì)量是（）。

A.平均數(shù)B.中位數(shù)

C.眾數(shù)D.方差

【錯(cuò)解】A。

【錯(cuò)解原因】沒(méi)有通過(guò)計(jì)算來(lái)說(shuō)明問(wèn)題，憑直覺(jué)，增加一個(gè)數(shù)平均數(shù)就變了。

【正解】通過(guò)計(jì)算可知原先四個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2，現(xiàn)增加一個(gè)數(shù)據(jù)2，那么現(xiàn)5個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)依然是2。原先的方差是：[1-22+2-22+2-22+3-224]=[12]，

現(xiàn)在的方差是：

[1-22+2-22+2-22+3-22+2-225]

=[25]。故選D。

例6 測(cè)試五名學(xué)生的“一分鐘跳繩”成績(jī)，得到五個(gè)各不相同的數(shù)據(jù)。在統(tǒng)計(jì)時(shí)，出現(xiàn)一處錯(cuò)誤：將最高成績(jī)寫(xiě)得更高了。計(jì)算結(jié)果不受影響的是（）。

A.平均數(shù) B.中位數(shù)

C.眾數(shù) D.方差

【錯(cuò)解】C或D。

【錯(cuò)解原因】不能很好地理解四個(gè)名詞的概念。

【正解】個(gè)數(shù)不變，總和增加，平均數(shù)變化;前后都是五個(gè)不同的數(shù)據(jù)，都沒(méi)有眾數(shù);只改變一個(gè)數(shù)據(jù)，平均數(shù)變化，方差也發(fā)生了變化;五個(gè)數(shù)據(jù)大小排列，最中間第三個(gè)數(shù)據(jù)不變，所以中位數(shù)不變。故選B。

五、答題不嚴(yán)謹(jǐn)

例7 （2017·溫州）數(shù)據(jù)1，3，5，12，a，其中整數(shù)a是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是。

【錯(cuò)解】5。

【錯(cuò)解原因】答題不嚴(yán)謹(jǐn)，排序后片面地認(rèn)為a只能等于4。

【正解】由題意先將數(shù)據(jù)大小排列成1，3，a，5，12。由此可知a可以是3，4或者5。由此可求得平均數(shù)，一個(gè)都不能少。

故答案為：4.8或5或5.2。

六、理解偏差，公式不熟

例8 （2018·南京）某排球隊(duì)6名場(chǎng)上隊(duì)員的身高（單位：cm）是：180，184，188，190，192，194。現(xiàn)用一名身高為186cm的隊(duì)員換下場(chǎng)上192cm的隊(duì)員，與換人前相比，場(chǎng)上隊(duì)員的身高（）。

A.平均數(shù)變小，方差變小

B.平均數(shù)變小，方差變大

C.平均數(shù)變大，方差變小

D.平均數(shù)變大，方差變大

【錯(cuò)解】B。

【錯(cuò)解原因】不能很好地理解方差的含義。

【正解】關(guān)于平均數(shù)：個(gè)數(shù)不變，其中一個(gè)數(shù)變小，總和變小，平均數(shù)也變小。也可通過(guò)計(jì)算得平均數(shù)由188變成187。

方差和平均數(shù)息息相關(guān)，它集中描述了一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的大小，方差越大，越偏離平均數(shù)。替換前平均數(shù)是188，替換后平均數(shù)是187，由此看出替換后的隊(duì)員身高更靠近平均數(shù)，所以方差變小。當(dāng)然也可以通過(guò)計(jì)算得方差前后分別是[683]和[593]。故選A。

例9 （2018·張家界）若一組數(shù)據(jù)a1，a2，a3的平均數(shù)是4，方差是3，則數(shù)據(jù)a1+2，a2+2，a3+2的平均數(shù)和方差分別是（）。

A.4，3 B.6，3 C.3，4 D.6，5

【錯(cuò)解】D。

【錯(cuò)解原因】想當(dāng)然地認(rèn)為每個(gè)數(shù)據(jù)加上相同的數(shù)，平均數(shù)和方差都應(yīng)該增加，不能深刻理解平均數(shù)和方差的計(jì)算過(guò)程。

【正解】根據(jù)平均數(shù)的定義a1+a2+a3=12，那么a1+2，a2+2，a3+2的平均數(shù)是：

[a1+2+a2+2+a3+23]

=[a1+a2+a3+63]

=[183]=6，

數(shù)據(jù)a1+2，a2+2，a3+2的方差是：

[a1+2-62+a2+2-62+a3+2-623]

=[a1-42+a2-42+a3-423]。

這樣的計(jì)算結(jié)果和原數(shù)據(jù)a1，a2，a3的方差計(jì)算公式一致，所以數(shù)據(jù)a1+2，a2+2，a3+2的方差也是4。這里同學(xué)們也可以記住，這種情況下平均數(shù)相應(yīng)增加，而方差不變。

故選：B

同學(xué)們，這些錯(cuò)誤你都了解了嗎？或許你還有不一樣的錯(cuò)誤，及時(shí)整理出來(lái)吧。錯(cuò)誤并不可怕，只要我們認(rèn)真總結(jié)反思，它將成為我們成功的見(jiàn)證。讓我們正確認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤，消滅錯(cuò)誤，一起進(jìn)步，加油吧。

（作者單位：蘇州工業(yè)園區(qū)青劍湖學(xué)校）