概率中的錯誤類型剖析

李燕華

概率屬于初中數(shù)學(xué)中“統(tǒng)計(jì)與概率”的知識范疇，是描述一類事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)學(xué)模型。它是中考必考的知識點(diǎn)，重點(diǎn)考查大家數(shù)據(jù)剖析與數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng)。在學(xué)習(xí)過程中，許多同學(xué)對概率知識的理解不準(zhǔn)確，往往會出現(xiàn)各種錯誤，下面結(jié)合幾種常見的錯誤類型進(jìn)行歸類剖析，希望對同學(xué)們今后的學(xué)習(xí)有所幫助與啟迪。

一、頻率與概率混淆不清易出錯

例1 小明拋擲一枚硬幣20次，有13次正面朝上，當(dāng)他拋第21次時，正面朝上的概率是。

【錯解】[1320]。

【剖析】錯誤的原因是沒有真正理解概率的本質(zhì)，把概率與頻率混為一談。概率與頻率是兩個不同的概念，概率是事件的本質(zhì)屬性，其取值不依賴于試驗(yàn)的次數(shù)。當(dāng)然兩者又具有密切的關(guān)系：當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)足夠多時，頻率會穩(wěn)定在概率附近，所以概率的大小可以通過數(shù)次試驗(yàn)得到的穩(wěn)定頻率去估計(jì)，但要注意頻率并不等同于概率。況且本例中試驗(yàn)的次數(shù)太少，所以不能把頻率作為概率的估計(jì)值。

拋擲一枚硬幣時，因?yàn)槊看卧囼?yàn)都有2種等可能的結(jié)果，而拋到正面朝上的只有1種，所以第21次時與前面每次情況一樣，正面朝上的概率都是[12]。

【正解】[12]。

二、概率計(jì)算公式不清易出錯

例2 相同方向行駛的兩輛汽車經(jīng)過同一個“T”字路口時，可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn)。如果這兩種可能性大小相同，則這兩輛汽車經(jīng)過該路口時，都向右轉(zhuǎn)的概率是（）。

A.[14] B.[13] C.[23] D.[12]

【錯解】D。

【剖析】有些同學(xué)錯誤地認(rèn)為，經(jīng)過同一個“T”字路口時，選擇一條路有向左轉(zhuǎn)、向右轉(zhuǎn)兩種結(jié)果，概率都是[12]，出現(xiàn)這種錯誤想法的根本原因是對等可能條件下概率的計(jì)算方法模糊不清，沒有考慮到所有等可能的結(jié)果數(shù)。

在等可能條件下概率的計(jì)算公式為：P（A）=[mn]，其中n表示所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，m表示事件A發(fā)生可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)。解決本題，不僅要正確理解、掌握公式，還要能熟練地利用列表法或畫樹狀圖法確定公式中的m、n的值。

【正解】A。

畫樹狀圖剖析如下：

∵共有4種等可能的結(jié)果數(shù)，都向右轉(zhuǎn)的只有1種結(jié)果，

∴P（都向右轉(zhuǎn)）=[14]。

三、試驗(yàn)次數(shù)分辨不清易出錯

例3 甲、乙、丙三位同學(xué)在操場上互相傳球，假設(shè)他們相互間傳球是等可能的，并且由甲首先開始傳球。

（1）經(jīng)過2次傳球后，球仍回到甲手中的概率是;

（2）請用列舉法（畫樹狀圖或列表）求經(jīng)過3次傳球后，球仍回到甲手中的概率。

【錯解】（1）[13]。

畫樹狀圖如下：

∵共有6種等可能的結(jié)果數(shù)，經(jīng)過2次傳球后，球仍回到甲手中的有2種結(jié)果，∴P（球仍回到甲手中）=[13]。

（2）畫樹狀圖如下：

∵共有4種等可能的結(jié)果數(shù)，經(jīng)過三次傳球，球仍回到甲手中的有2種結(jié)果，∴P（球仍回到甲手中）=[24]=[12]。

【剖析】（1）本題求解錯誤的同學(xué)不理解“甲首先開始傳球”的意義，想當(dāng)然地以為開始就傳給甲、乙、丙三人。如果我們可以設(shè)身處地地想一下，甲首先傳球的結(jié)果中是不可能再傳給自己的。

（2）有的同學(xué)不理解“三次傳球”的結(jié)果的意義，以為“甲首先開始傳球”就是一次了，其實(shí)這只是“甲開始傳球”，不是第一次傳出球的結(jié)果，這樣就不能正確畫出樹狀圖。

【正解】（1）畫樹狀圖為：

∵共有4種等可能的結(jié)果數(shù)，經(jīng)過2次傳球后，球仍回到甲手中的有2種結(jié)果，∴P（球仍回到甲手中）=[24]=[12]。

（2）畫樹狀圖為：

∵共有8種等可能的結(jié)果數(shù)，經(jīng)過三次傳球，球仍回到甲手中的有2種結(jié)果，∴P（球仍回到甲手中）=[28]=[14]。

答：經(jīng)過三次傳球后球仍回到甲手里的概率是[14]。

四、是否放回未分辨易出錯

例4 三張外觀相同的卡片分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3，從中隨機(jī)一次抽出兩張，這兩張卡片上的數(shù)字恰好都小于3的概率是。

【錯解】[49]。

畫樹狀圖得：

∵共有9種等可能的結(jié)果，而兩張卡片上的數(shù)字恰好都小于3的有4種結(jié)果，

∴P（兩張卡片上的數(shù)字恰好都小于3）=[49]。

【剖析】導(dǎo)致本題求解錯誤的原因是審題不清，忽略了問題中的一個重要條件“從中隨機(jī)一次抽出兩張”，有些同學(xué)不能很好地理解其含義，其類似于“從中隨機(jī)抽出一張不放回，再從剩下的抽出一張”，故在此條件下進(jìn)行試驗(yàn)，最后結(jié)果中不可能出現(xiàn)抽出的兩張卡片上的數(shù)字完全相同的情況。

【正解】畫樹狀圖得：

∵共有6種等可能的結(jié)果，而兩張卡片上的數(shù)字恰好都小于3的有2種結(jié)果，

∴P（兩張卡片上的數(shù)字恰好都小于3）=[26]=[13]。

五、實(shí)際應(yīng)用理解不當(dāng)易出錯

例5 湯姆斯杯世界男子羽毛球團(tuán)體賽小組賽比賽規(guī)則：兩隊(duì)之間進(jìn)行五局比賽，其中三局單打，兩局雙打，五局比賽必須全部打完，贏得三局及以上的隊(duì)獲勝。假如甲，乙兩隊(duì)每局獲勝的機(jī)會相同?，F(xiàn)甲隊(duì)在前兩局比賽中已取得2∶0的領(lǐng)先，那么甲隊(duì)最終獲勝的概率是多少？

【錯解】畫樹狀圖為：

∵共有4種等可能的結(jié)果數(shù)，其中甲至少勝一局的有3種結(jié)果，

∴P（甲隊(duì)最終獲勝）=[34]。

【剖析】部分同學(xué)不理解此題中“五局比賽必須全部打完”“甲隊(duì)在前兩局比賽中已取得2：0的領(lǐng)先”的意義。有的同學(xué)認(rèn)為再打兩局，甲隊(duì)勝一局就勝，有的同學(xué)認(rèn)為再打三局，甲隊(duì)要全勝才最終勝，有的同學(xué)認(rèn)為要求5次的概率，太麻煩了……沒有真正理解在那樣的條件下，再打三局，只要找出甲至少勝一局的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解。

【正解】畫樹狀圖為：

∵共有8種等可能的結(jié)果數(shù)，其中甲至少勝一局的有7種結(jié)果，

∴P（甲隊(duì)最終獲勝）=[78]。

（作者單位：江蘇省常州市新北區(qū)小河中學(xué)）