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    復積分及其應用

    2019-12-12 00:55:30董斌斌
    福建茶葉 2019年10期
    關鍵詞:復數解析定理

    董斌斌

    (河南工業(yè)和信息化職業(yè)學院基礎部,河南焦作)

    1.1 由復數起源到初識復變函數

    18世紀以來,隨著實分析的不斷完善與發(fā)展,分析中的另一理論——復變函數論也在不斷地發(fā)展壯大。復變函數以復數為自變量,與實分析相對應,因此可稱之為復分析。復分析就在此后不久的19世紀茁壯成長,其最初的引出只是為了求解一些實積分,但隨著Cauchy、Riemann和Weierstra的努力,復分析不斷發(fā)展,成為了現代分析的重要研究領域之一[1]。

    1.2 C-R方程的發(fā)現

    C-R方程來自于Cauchy于1827年出版的論文《關于定積分理論的報告》(Memoires sur la theorie des integrales definies)(下稱《報告》)。這是本應在1814年就應發(fā)表的一篇論文,卻由于坡旁王朝正值機構改組而推遲了13年.在1825年9月14日送去印刷的期間,Cauchy為《報告》增添了兩個注解,反映了在這一段時間內該領域的發(fā)展和Gauss在這一期間工作的影響.本文在這里將簡單介紹下《報告》中C-R方程的發(fā)現.

    1.3 復積分定義及復變函數的一些理論

    復積分的定義對了解復變函數的性質具有重要的意義,而復變函數主要研究的內容就是解析函數.解析函數具有一個非常重要的性質:若函數解析,則解析函數在區(qū)域內可微并滿足Cauchy-Riemann方程[8]。

    2.1 解析函數的定義

    Cauchy-Riemann方程是研究解析函數的重要工具之一[9],是函數解析的必要條件。而解析函數又可分為單變量與多變量兩大類,單變量解析函數的奇點定義和函數解析的判定如下:

    2.2 求解復積分的思路與定理

    3 積分的計算

    上面介紹了復積分的一些計算方法,而具體如何使用這些方法則需要根據不同的積分采用不同的方法.這里將其分為兩類,一為復積分的計算問題,一為利用復變函數方法來解決實積分類型的問題.

    3.1 復積分的計算

    3.2 實積分的計算

    為解決上述實積分問題,思路就如同上面復積分的計算問題,或可通過變量代換轉化為留數定理適用的情況去解決,或可根據函數的性質并引入不同的路徑使其適用于留數定理,或可根據復數的虛部與實部分離積分值,進而得到需要的積分值等等.

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