利用構(gòu)造法破解導(dǎo)數(shù)不等式問(wèn)題

■河南省許昌高級(jí)中學(xué) 王芳娜

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是近幾年高考命題的熱點(diǎn)題型之一。利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，關(guān)鍵是要找出與特征不等式緊密聯(lián)系的函數(shù)，然后以導(dǎo)數(shù)為工具來(lái)研究該函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值(值域)，從而達(dá)到證明不等式的目的，這時(shí)常常需要構(gòu)造輔助函數(shù)來(lái)解決。由于題目本身特點(diǎn)不同，故所構(gòu)造的函數(shù)可有多種形式，解題的繁簡(jiǎn)程度也不同，下面給出幾種常用的構(gòu)造技巧。

技法一——“比較法”構(gòu)造函數(shù)證明不等式

例1 已知函數(shù)f(x)=ex—a x(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a為常數(shù))的圖像在點(diǎn)(0，1)處的切線的斜率為—1。

(1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值；

(2)證明：當(dāng)x＞0時(shí)，x2＜ex。

解法展示：(1)由f(x)=ex—a x，得f "(x)=ex—a。因?yàn)閒 "(0)=1—a=—1，所以a=2。

所以f(x)=ex—2x，f "(x)=ex—2。

令f "(x)=0，得x=l n2。

當(dāng)x＜l n2時(shí)，f "(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x＞l n2時(shí)，f "(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增。

所以當(dāng)x=l n2時(shí)，f(x)取得極小值，且極小值為f(l n2)=eln2—2 l n2=2—l n

4，f(x)無(wú)極大值。

(2)令g(x)=ex—x2，則g "(x)=ex—2x。

由(1)得g "(x)=f(x)≥f(l n2)＞0，故g(x)在R上單調(diào)遞增。

所以當(dāng)x＞0時(shí)，g(x)＞g(0)=1＞0，即x2＜ex。

師說(shuō)導(dǎo)引：在本例第(2)問(wèn)中，發(fā)現(xiàn)“x2，ex”具有基本初等函數(shù)的基因，故可選擇對(duì)要證明的“x2＜ex”構(gòu)造函數(shù)，得到“g(x)=ex—x2”，并利用第(1)問(wèn)的結(jié)論求解。

技法二——“換元法”構(gòu)造函數(shù)證明不等式

例2 已知函數(shù)f(x)=曲線在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與直線x+y+1=0垂直。

(1)試比較20 1 72018與20 1 82017的大小，并說(shuō)明理由；

(2)若函數(shù)g(x)=f(x)—k有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，證明：x1x2＞e2。

解法展示：(1)依題意得f "(x)=，所以f "(1)=

又曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與直線x+y+1=0垂直，所以f "(1)=1，即，解得a=0。

由f "(x)＞0，得0＜x＜e；由f "(x)＜0，得x＞e。

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，e)，單調(diào)遞減區(qū)間為(e，+∞)。

所以f(20 1 7)＞f(20 1 8)，即，整理得l n20 1 72018＞l n20 1 82017。

所以20 1 72018＞20 1 82017。

(2)g(x)=—k，設(shè)x＞x＞0，由12g(x1)=g(x2)=0，可得l nx1—k x1=0，l nx2—k x2=0，兩式相加減，得l nx1+l nx2=k(x1+x2)，l nx1—l nx2=k(x1—x2)。

要證x1x2＞e2，即證l nx1x2＞2，只需證l nx1+l nx2＞2，也就是k(x1+x2)＞2，即證

因?yàn)閗=，所以只需證即證l n

令h(t)=l nt—

所以x1x2＞e2。

師說(shuō)導(dǎo)引：(1)由題意易知f "(1)=1，可列出關(guān)于a的方程，從而求出a的值，得到函數(shù)f(x)的解析式，欲比較20 1 72018與 20 1 82017的大小，只需比較f(20 1 7)與f(20 1 8)的大小，即需判斷函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性。(2)不妨設(shè)x1＞x2＞0，由g(x1)=g(x2)=0，可得l nx1—k x1=0，l nx2—k x2=0，兩式相加減，利用分析法將要證明的不等式轉(zhuǎn)化為，再利用換元法，通過(guò)求導(dǎo)證明上述不等式成立。

技法三——“轉(zhuǎn)化法”構(gòu)造函數(shù)證明不等式

例3 設(shè)函數(shù)f(x)=l nx+，m∈R。

(1)當(dāng)m=e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí)，求f(x)的最小值；

(2)討論函數(shù)g(x)=f "(x)—的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(3)若對(duì)任意b＞a＞0恒成立，求m的取值范圍。

解法展示：(1)當(dāng)m=e時(shí)，f(x)=l nx，則f "(x)=。當(dāng)x∈(0，e)時(shí)，f "(x)＜0，f(x)在x∈(0，e)上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(e，+∞)時(shí)，f "(x)＞0，f(x)在x∈(e，+∞)上單調(diào)遞增。故當(dāng)m=e時(shí)，f(x)取到極小值，也是最小值，f(e)=l ne+=2，故f(x)的最小值為2。

(2)g(x)=f "(x)—(x＞0)。

令g(x)=0，得m=—

設(shè)φ(x)=—x3+x(x＞0)，則φ "(x)=—(x—1)(x+1)。

當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，φ "(x)＞0，φ(x)在(0，1)上單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1，+∞)時(shí)，φ "(x)＜0，φ(x)在x∈(1，+∞)上單調(diào)遞減。故當(dāng)x=1時(shí)，φ(x)取到極大值，也是最大值，，故φ(x)的最大值為

綜上所述，當(dāng)m＞時(shí)，函數(shù)g(x)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)m=或m≤0時(shí)，函數(shù)g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0＜m＜時(shí)，函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)。

(3)對(duì)任意的b＞a＞0，等價(jià)于f(b)—b＜f(a)—a恒成立。

設(shè)h(x)=f(x)—x=l nx+由以上條件可得h(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減。

所以h "(x)=—1≤0在(0，+∞)上恒成立，從而m≥—x2+x=—在(0，+∞)上恒成立，故m≥，當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)等號(hào)成立，所以m的取值范圍為

師說(shuō)導(dǎo)引：在求解本例第(3)問(wèn)時(shí)，可利用不等式的性質(zhì)，將”等價(jià)轉(zhuǎn)化為“f(b)—b＜f(a)—a”，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)“h(x)=f(x)—x”，通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性求解實(shí)數(shù)m的取值范圍。