數(shù)學(xué)建模，讓課堂學(xué)習(xí)更智慧

趙錦

【摘 要】數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，是學(xué)生增長(zhǎng)數(shù)學(xué)智慧、提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的重要場(chǎng)所，在實(shí)際教學(xué)中，教師要放手讓學(xué)生去充分經(jīng)歷，完成數(shù)學(xué)抽象、豐富和拓展數(shù)學(xué)模型，并在比較和反思中建構(gòu)穩(wěn)固的數(shù)學(xué)模型。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模;智慧;抽象;反思

數(shù)學(xué)是一門(mén)著力于培養(yǎng)學(xué)生思維能力的學(xué)科，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生需要從錯(cuò)綜復(fù)雜的現(xiàn)象中抽象出數(shù)學(xué)知識(shí)，在面對(duì)新的問(wèn)題時(shí)想方設(shè)法去解決它們，建構(gòu)出穩(wěn)固而豐富的數(shù)學(xué)模型，并在學(xué)習(xí)過(guò)程中累積學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，這樣才能達(dá)成學(xué)生知識(shí)和智慧的雙增長(zhǎng)。在實(shí)際教學(xué)中，我們要推動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模，具體可以從以下幾方面做起：

一、經(jīng)歷抽象，探索模型框架

著重于領(lǐng)悟的數(shù)學(xué)學(xué)科需要讓學(xué)生自己面對(duì)生活現(xiàn)象，抽象出數(shù)學(xué)規(guī)律來(lái)，這樣在學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)生就不止于接受和模仿，而是能夠用經(jīng)歷支撐數(shù)學(xué)與模型。因此，在實(shí)際教學(xué)中，我們可以創(chuàng)設(shè)一些有現(xiàn)實(shí)意義的情境，讓學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、摸索規(guī)律，并逐步形成模型框架，從而為他們之后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

例如，在“周期排列的規(guī)律”教學(xué)中，我從一個(gè)擺棋子的游戲開(kāi)始，首先，在黑板上擺出一個(gè)白子，然后再擺出一個(gè)黑子，再擺一個(gè)白子和一個(gè)黑子，反復(fù)三組之后，我讓學(xué)生猜一猜：下面老師會(huì)擺一個(gè)什么顏色的棋子，很多學(xué)生認(rèn)定教師會(huì)擺白子，理由是前面三組都是一個(gè)白子和一個(gè)黑子間隔排列，在學(xué)生說(shuō)出白子和黑子間隔排列的規(guī)律后，我提出了新問(wèn)題：照這樣的規(guī)律排列，第17個(gè)棋子是什么顏色的？學(xué)生想到了多種不同的方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，有的用列舉法，有的根據(jù)單雙數(shù)判斷，還有的用除法計(jì)算，在學(xué)生交流了每種方法的算理之后，我請(qǐng)學(xué)生自己嘗試用黑子和白子擺出一個(gè)類似的、有規(guī)律的排列，然后算出第17個(gè)棋子的顏色，學(xué)生創(chuàng)造了很多不同的周期，有的用兩個(gè)白子間一個(gè)黑子三個(gè)為一組，有的以兩個(gè)黑子和一個(gè)白子為一組，還有的在每組中安排了更多棋子，在交流過(guò)程中學(xué)生發(fā)現(xiàn)，只要是符合這樣的周期規(guī)律排列的問(wèn)題，都可以用除法計(jì)算，這樣的發(fā)現(xiàn)讓學(xué)生掌握了一類問(wèn)題的解決方法，構(gòu)建了穩(wěn)固的數(shù)學(xué)模型。

在這個(gè)教學(xué)案例中，學(xué)生經(jīng)歷了猜想、思考和嘗試，逐步發(fā)現(xiàn)周期現(xiàn)象的本質(zhì)是每組棋子的排列順序都相同，因此，可以幾個(gè)棋子為一組，通過(guò)除法計(jì)算看余數(shù)的方法計(jì)算棋子的顏色，再由棋子發(fā)散到其他的周期現(xiàn)象，學(xué)生的數(shù)學(xué)模型就搭建出來(lái)了。

二、經(jīng)歷整合，搭就數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)建模是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可或缺的環(huán)節(jié)，也是推動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)走向深入的關(guān)鍵，在實(shí)際教學(xué)中，如果我們能推動(dòng)學(xué)生自己的思考和整合，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)、挖掘，并在整合資源過(guò)程中促成模型的表象化，那么，這樣的數(shù)學(xué)模型必然有效，也可以讓學(xué)生印象深刻。

例如，在“24時(shí)記時(shí)法”的教學(xué)中，我首先利用矛盾情境勾起了學(xué)生的交流，在很多學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備中，他們知道一天有24小時(shí)，而時(shí)鐘轉(zhuǎn)動(dòng)一圈的時(shí)間是12小時(shí)，所以在24小時(shí)內(nèi)，時(shí)鐘會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)兩圈，鐘面上的每個(gè)時(shí)刻都會(huì)在一天中重復(fù)出現(xiàn)兩次，那么如何避免情境中的矛盾呢？學(xué)生很自然地想到，以時(shí)鐘轉(zhuǎn)動(dòng)一圈為界限，將兩圈的時(shí)間區(qū)分開(kāi)來(lái)，具體的辦法是在時(shí)刻之前加上上午和下午兩個(gè)限定詞語(yǔ)。在學(xué)生成功解決了這個(gè)問(wèn)題的基礎(chǔ)上，我再引導(dǎo)學(xué)生：能不能將一天的24小時(shí)全部記錄下來(lái)呢？學(xué)生在這個(gè)思路的指引下，自己編制了24時(shí)制的鐘面，并在1至24的旁邊對(duì)應(yīng)上普通計(jì)時(shí)法中的具體時(shí)刻，達(dá)到了一目了然的效果，在此基礎(chǔ)上，我還引導(dǎo)學(xué)生在時(shí)間軸上用兩種不同的計(jì)時(shí)法將一天的24小時(shí)全部記錄下來(lái)，學(xué)生在順利完成作品之后進(jìn)行觀察和比較，并發(fā)現(xiàn)了將24時(shí)記時(shí)法下的時(shí)刻，轉(zhuǎn)化為普通記時(shí)法下時(shí)刻和將普通計(jì)時(shí)法下時(shí)刻轉(zhuǎn)化成24時(shí)記時(shí)法下時(shí)刻的方法，完成了兩者間的橋接。

在這個(gè)教學(xué)案例中，學(xué)生由矛盾出發(fā)，尋找將24小時(shí)全部表示出來(lái)的方法，并與之前生活中常見(jiàn)的普通記時(shí)法進(jìn)行了勾連，在他們編制24時(shí)時(shí)鐘和完成時(shí)間軸的對(duì)應(yīng)過(guò)程中，學(xué)生對(duì)新的記時(shí)法有了整體的認(rèn)識(shí)，并能夠?qū)⑿碌挠洉r(shí)法與之前熟悉的記時(shí)法聯(lián)系起來(lái)，這樣的數(shù)學(xué)模型更加穩(wěn)固，在應(yīng)用模型解決相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)越來(lái)越多的規(guī)律，將模型構(gòu)建得更加完善。

三、經(jīng)歷比較，豐富數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建不是簡(jiǎn)單的模仿和歸類，學(xué)生需要在充分經(jīng)歷的基礎(chǔ)上不斷思考、嘗試和總結(jié)，這樣才能構(gòu)建有效的數(shù)學(xué)模型，在模型的主體打好的基礎(chǔ)上，教師要提供類似的知識(shí)點(diǎn)讓學(xué)生辨析、比較，讓學(xué)生找到一類模型中的本質(zhì)屬性，幫助他們豐富數(shù)學(xué)模型、拓展數(shù)學(xué)模型。

例如，在“按比例分配”的教學(xué)中，我從足球表面的正五邊形和正六邊形的數(shù)量出發(fā)，提供給學(xué)生這樣一個(gè)問(wèn)題：一個(gè)足球表面有32塊皮，其中正五邊形和正六邊形的數(shù)量比為3：5，那么，足球表面正五邊形和正六邊形的數(shù)量各是多少？學(xué)生在分析這個(gè)問(wèn)題時(shí)，結(jié)合比的含義，認(rèn)定32應(yīng)該被平均分成8份，其中3份是正五邊形，5份是正六邊形，所以學(xué)生用32÷（3+5）來(lái)解決問(wèn)題，還有的學(xué)生將這個(gè)比進(jìn)一步“加工”，找到正五邊形和正六邊形占總數(shù)的幾分之幾，直接用分?jǐn)?shù)乘法計(jì)算。在肯定了學(xué)生的想法和做法之后，我提供了教材中的“試一試”讓學(xué)生鞏固練習(xí)，幫助他們搭建了初步的數(shù)學(xué)模型，在之后的教學(xué)中，我將問(wèn)題做了一些改編：一個(gè)等腰三角形的兩個(gè)內(nèi)角的比為2：5，那么這個(gè)等腰三角形的頂角是多少度？學(xué)生在讀題分析之后發(fā)現(xiàn)，等腰三角形的內(nèi)角和應(yīng)該是180°，這是三個(gè)內(nèi)角的和，而題目中只知道其中兩個(gè)內(nèi)角的比，所以首先要確定第三個(gè)角的份數(shù)，在畫(huà)圖分析之后學(xué)生發(fā)現(xiàn)，等腰三角形的底角可能是2份，也可能是5份，所以三個(gè)內(nèi)角的比既可能是2：5：5，也可能是2：2：5，而分配的方法與之前類似。

類似的問(wèn)題出現(xiàn)后，學(xué)生會(huì)將這些問(wèn)題與之前建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的問(wèn)題比較，從中發(fā)現(xiàn)異同，提煉出本質(zhì)的東西，這樣可使學(xué)生的數(shù)學(xué)建模更充分，在實(shí)際教學(xué)中，我們需要這樣的對(duì)比和提煉，需要讓學(xué)生自己去經(jīng)歷更多，從而拓展數(shù)學(xué)模型。

四、經(jīng)歷反思，完善認(rèn)知模型

在數(shù)學(xué)建模過(guò)程中，學(xué)生需要把握住模型的核心，這樣學(xué)生在遇到類似的問(wèn)題時(shí)，可以調(diào)用數(shù)學(xué)模型中的核心分析、處理問(wèn)題，在數(shù)學(xué)建模的過(guò)程中思考是重要的元素，包括反思，通過(guò)反思模型的搭建過(guò)程，學(xué)生可能會(huì)有更多發(fā)現(xiàn)，使模型更精準(zhǔn)。

例如，在“認(rèn)識(shí)公頃”的教學(xué)過(guò)程中，教師在引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)了公頃的定義，并通過(guò)多種形式進(jìn)一步建構(gòu)公頃的數(shù)學(xué)模型后，引導(dǎo)學(xué)生反思本課的學(xué)習(xí)，提出自己的疑問(wèn)，有的學(xué)生就面積單位的進(jìn)率提出了問(wèn)題，學(xué)生認(rèn)為之前三個(gè)學(xué)過(guò)的面積單位之間的進(jìn)率都是100，而公頃與平方米之間的進(jìn)率是10000，是不是中間缺少了一個(gè)面積單位，在學(xué)生提出問(wèn)題之后，教師引導(dǎo)大家通過(guò)畫(huà)圖的方法再現(xiàn)了之前的三個(gè)面積單位，學(xué)生發(fā)現(xiàn)每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)相差10倍，而公頃的大小是邊長(zhǎng)為100米的正方形的大小，其邊長(zhǎng)與平方米的邊長(zhǎng)相差100倍，如果中間出現(xiàn)一個(gè)邊長(zhǎng)為10米的正方形的面積單位，這個(gè)數(shù)學(xué)模型就比較完整，到底有沒(méi)有這樣一個(gè)面積單位呢？教師組織學(xué)生交流時(shí)，一些學(xué)生認(rèn)為沒(méi)有，因?yàn)榻滩闹袥](méi)有，一些學(xué)生則認(rèn)為有，他們還為這個(gè)面積單位取名“平方十米”，最終教師出示了一個(gè)補(bǔ)充學(xué)習(xí)資料，帶領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識(shí)了“公畝”，將他們的數(shù)學(xué)模型填充完整。

總之，數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要一環(huán)，在實(shí)際教學(xué)中，教師要關(guān)注學(xué)生的消化吸收過(guò)程，驅(qū)動(dòng)學(xué)生多元地學(xué)習(xí)，包括觀察、思考、比較等，從而幫助學(xué)生建構(gòu)出穩(wěn)固、多元的數(shù)學(xué)模型來(lái)，同時(shí)讓學(xué)生在數(shù)學(xué)建模中增長(zhǎng)智慧、提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，讓他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)走向高效。

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