對均值不等式的認(rèn)識

李鳳清，張子衛(wèi)，張青山

（四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川 遂寧 629000）

教師要合理選擇數(shù)學(xué)材料，從觀察、數(shù)學(xué)感覺形成入手訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看世界[1,2]；運用基本的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)事實與數(shù)學(xué)結(jié)論，從策略、方法、能力三個方面訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維分析世界；從數(shù)學(xué)思想的感受與數(shù)學(xué)價值的體現(xiàn)建立學(xué)生的數(shù)學(xué)情感，用數(shù)學(xué)的語言表達世界，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

由二元均值不等式到三元均值不等式，再到n 元均值不等式，我們覺得這個問題很有意思.這里有知識的遷移與深化，還有認(rèn)識的加強與躍遷，更有情感與態(tài)度的固化.

三元均值不等式的等價形式：

若a,b,c ＞0，則a3+ b3+ c3≥3abc.

或者：a,b,c ＞0，且abc = 1，則a + b + c ≥3.

n 元 均 值 不 等 式：對n 個 正 數(shù)a1,a2,…,an，其 幾 何 平 均不 大 于 其 算 術(shù) 平 均

其等價命題為：對乘積為1 的n 個正數(shù)a1,a2,…,an，必有a1+ a2+ … + an≥n.

1 運用基本數(shù)學(xué)概念認(rèn)識均值不等式

由平均值這個概念可知，一個數(shù)組的平均值總不會大于這個數(shù)組中的最大數(shù)，也不會小于這個數(shù)組中的最小數(shù).

（1）顯 然，a,b 兩 個 正 數(shù) 的 幾 何 平 均 必 介 于a,b 之 間，故，即 可 得

（3）對n + 1 個正數(shù)a1,a2,…,an,an+1，其幾何平均必介于這n + 1 個正數(shù)的最小數(shù)（不妨設(shè)為a1）與最大數(shù)（不妨設(shè)為a2）之間，故，即可得

2 基本數(shù)學(xué)方法的使用

2.1 逐步調(diào)整法

逐步調(diào)整法是數(shù)學(xué)中的基本方法.弄清調(diào)整的過程與調(diào)整后所產(chǎn)生的變化，并依此繼續(xù)調(diào)整下去，獲得最終的結(jié)論.

下面我們把上面的認(rèn)識過程數(shù)學(xué)化.

設(shè)n 是正整數(shù)，那么就有

記

那么對任意正整數(shù)n，均有

當(dāng)n →+∞時

若對任意n 個正數(shù)，其算術(shù)平均不小于幾何平均，那么對n + 1 個正數(shù)a1,a2,…,an,an+1，記s = a1+a2+ … + an+ an+1，那么就有

2.2 主元法

欲證a3+ b3+ c3- 3abc ≥0，在三元三次齊次多項式a3+ b3+ c3- 3abc 中，以c 為主元，由于

同 理，欲 證

當(dāng)然也可以用導(dǎo)數(shù)的方法來解決.

2.3 使用常見不等式x ≥1 + lnx( x ＞0 )

如

運用上面方法很容易證明算術(shù)幾何平均不等式.

2.4 構(gòu)造函數(shù)

同理有

等價于

運用這個方法可以推廣到多元均值不等式.

3 基本策略的使用

由以上闡述我們認(rèn)識到，基本概念、基本方法、基本策略是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的靈魂.運用基本概念、基本方法、基本策略來認(rèn)識數(shù)學(xué)知識，解決數(shù)學(xué)問題是培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵.