高職數(shù)學(xué)信息化教學(xué)模式研究

呂揚

摘 要：本文圍繞一元函數(shù)的建立來闡述高職數(shù)學(xué)教學(xué)中運用信息化教學(xué)手段的全過程，幫助學(xué)生直觀生動地理解函數(shù)關(guān)系的建立，解決傳統(tǒng)教學(xué)中不能解決的難點問題，進一步確定未來高職數(shù)學(xué)線上線下混合式教育的發(fā)展趨勢。

關(guān)鍵詞：信息化教學(xué);MATLAB軟件;幾何畫板;教學(xué)模式

引言

函數(shù)是刻畫事物間對應(yīng)關(guān)系的重要橋梁，在生活中應(yīng)用廣泛?？墒?，大部分學(xué)生卻認為，函數(shù)除了考試以外沒有什么用。雖然他們已經(jīng)學(xué)過函數(shù)的概念，但是對函數(shù)的建立和應(yīng)用理解還不深刻。本文從學(xué)生課前反饋的問題入手，以建立一元函數(shù)的步驟為主線，圍繞兩種類型展開：一是根據(jù)兩事物間確定的對應(yīng)法則量化一元函數(shù);二是根據(jù)兩事物的樣本數(shù)據(jù)擬合一元函數(shù)。在量化函數(shù)過程中，教師運用微課視頻、幾何畫板等信息化教學(xué)手段幫助學(xué)生直觀感受生活中兩事物之間的函數(shù)關(guān)系。在擬合函數(shù)過程中，教師指導(dǎo)學(xué)生借助MATLAB軟件對樣本數(shù)據(jù)進行擬合，解決傳統(tǒng)教學(xué)無法解決的問題。

一、信息化教學(xué)模式[1]

信息化教學(xué)模式，是以現(xiàn)代教學(xué)理念為指導(dǎo)，以信息技術(shù)為支持，應(yīng)用現(xiàn)代教學(xué)方法，提高教學(xué)質(zhì)量和效率的教學(xué)模式。在教學(xué)中，教師成為學(xué)生主動獲取信息的幫助者、促進者;學(xué)生變?yōu)樾畔⒓庸さ闹黧w、知識意義的主動建構(gòu)者，信息所攜帶的知識是學(xué)生主動建構(gòu)意義的對象（客體）;教學(xué)過程轉(zhuǎn)變?yōu)橥ㄟ^情景創(chuàng)設(shè)、問題探究、協(xié)商學(xué)習(xí)、意義建構(gòu)等以學(xué)生為主體的過程;媒體作用也轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生主動學(xué)習(xí)、協(xié)作式探索、意義建構(gòu)、解決實際問題的認知工具，學(xué)生用此來查詢資料、搜索信息、進行協(xié)作學(xué)習(xí)和會話交流。

二、信息化教學(xué)模式的實施

（一）教學(xué)目標(biāo)及重難點分析

本課教學(xué)主題是《揭示兩事物間的對應(yīng)關(guān)系——建立生活中的一元函數(shù)》。授課對象是大一高職學(xué)生，他們在第一學(xué)期已經(jīng)學(xué)習(xí)函數(shù)的概念和初步掌握MATLAB軟件的操作，但是對函數(shù)的建立和應(yīng)用理解還不深刻。根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)、人才培養(yǎng)方案和學(xué)情分析，確定本課的教學(xué)目標(biāo)。知識目標(biāo)是理解一元函數(shù)的概念;掌握一元函數(shù)的建立和應(yīng)用。能力目標(biāo)是能夠根據(jù)兩事物間確定的對應(yīng)法則建立一元函數(shù);能夠根據(jù)兩事物的樣本數(shù)據(jù)建立一元函數(shù)。素養(yǎng)目標(biāo)是強化用數(shù)學(xué)眼光看待事物的意識;提高應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力;形成獨立思考、團隊合作、精益求精的匠人品質(zhì)。結(jié)合三維目標(biāo)，本課的教學(xué)重點為：一元函數(shù)的建立和應(yīng)用;教學(xué)難點是根據(jù)生活中兩事物的樣本數(shù)據(jù)建立一元函數(shù)。

（二）教學(xué)實施過程

1.課前導(dǎo)預(yù)習(xí)

（1）課前，教師活動：教師在學(xué)習(xí)通上發(fā)布小組學(xué)習(xí)任務(wù)。

任務(wù)1：預(yù)習(xí)課中即將學(xué)習(xí)的三個生活中的函數(shù)案例，并完成相應(yīng)習(xí)題。

案例1[2] 少稱了多少雞蛋？

一天，閆老師提著籃子（ 籃子重0.5斤）去集市買10斤雞蛋。當(dāng)閆老師往籃子里撿稱好的雞蛋時，感覺比過去買10斤雞蛋時個數(shù)少很多，于是她將雞蛋裝進籃子再讓攤主一起稱共稱得10.55斤，她即刻要求攤主補給少稱部分的蛋。請你算一算應(yīng)補多少斤雞蛋？

案例2? 的士的行駛距離

某市出租車收費標(biāo)準(zhǔn)如下：起步價為8元，起步里程為3 km（不超過3 km按起步價付費）;超過3 km但不超過8 km時，超過部分按每千米2.15元收費;超過8 km時，超過部分按每千米2.85元收費，另每次乘坐需付燃油附加費1元.現(xiàn)某人乘坐一次出租車付費22.6元，求出租車行駛的距離。

案例3[3] 臍橙的需求函數(shù)

某地對臍橙的價格浮動與相應(yīng)的需求量做調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，建立臍橙的需求函數(shù)。

習(xí)題1[4] （單選題）下列關(guān)系中的兩個量成正比例關(guān)系的是（?? ）

A、 從甲地到乙地，所用的時間和速度。

B、 正方形的面積和邊長

C、 買同樣的作業(yè)本所花費的錢數(shù)和作業(yè)本的數(shù)量

D、 人的體重和身高

習(xí)題2[5] （單選題）某市為鼓勵節(jié)約用水，采用分段計費的方法來收取每戶家庭的水費，月用水量不超過20m3，按2元/m3收費，超過20m3，超出部分按2.6元/m3。設(shè)每戶的月家庭用水量為x，應(yīng)交的水費為y，若小明家六月份交水費42.6元，則小明家該月所用的水量為（）

A、20m3??? B、 21m3??? C、 22m3??? D、 23m3

習(xí)題3[6] 某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后，生產(chǎn)甲產(chǎn)品的產(chǎn)量x（噸）和相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對照數(shù)據(jù)為下圖：

則根據(jù)上表數(shù)據(jù)，y關(guān)于x的方程為（）

A、??????? B、

C、??????? D、

任務(wù)2：每組學(xué)生調(diào)查收集一個生活中的函數(shù)案例。（以其中的三組案例為例）

案例1 一家庭（父親、母親和孩子們）計劃去某地旅游，甲旅行社說：“如果父親買全票一張，其余人可享受半票優(yōu)待”;乙旅行社說：“家庭旅行算集體票，按原價的2/3優(yōu)惠”。假設(shè)這兩家旅行社的原價均為3000元/人，試就家庭里不同的孩子數(shù)，分別計算兩家旅行社的收費（建立表達式），并討論哪家旅行社更優(yōu)惠。

案例2 江西省將居民用戶用電量以年為周期劃分三檔，電價分檔遞增。 第一檔為月均180千瓦時及以下，每千瓦時0.60元;第二檔為月均181千瓦時至350千瓦時，每千瓦時0.65元;第三檔為月均350千瓦時以上。每千瓦時0.90元。試寫出每戶每月用電量x千瓦時與應(yīng)交電費y元之間的函數(shù)解析式。

案例3 身高與體重

通過測量19個成年男性的身高與體重，得到如下數(shù)據(jù)，試求兩者之間的函數(shù)關(guān)系。

（2）課前，學(xué)生活動：接收學(xué)習(xí)任務(wù)，根據(jù)要求按時按質(zhì)完成課前預(yù)習(xí)，將預(yù)習(xí)中遇到的疑難問題通過學(xué)習(xí)通反饋給教師。

（3）經(jīng)過學(xué)習(xí)通統(tǒng)計，78%的同學(xué)認為案例3中建立臍橙的需求函數(shù)比較難，學(xué)生完成課前習(xí)題平均得分為79分。教師分析學(xué)生的答題情況，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對以下三個問題認識不清：

a：兩事物之間是否存在函數(shù)關(guān)系？

b：如果兩事物之間的對應(yīng)法則確定，如何用函數(shù)表示？

C：如果兩事物之間的對應(yīng)法則不確定，如何利用樣本數(shù)據(jù)建立函數(shù)關(guān)系？

2.課中導(dǎo)學(xué)習(xí)

課中，為了解決三個問題，教師分為定關(guān)系、量法則、擬法則、導(dǎo)步驟、促實踐五個環(huán)節(jié)：

（1）定關(guān)系——如何判斷兩事物之間存在函數(shù)關(guān)系？

教師播放微課視頻，引導(dǎo)學(xué)生從映射的角度理解函數(shù)的概念，即函數(shù)是一對一和多對一的映射，而且自變量x不能有剩余，因變量y可以有剩余。把x與y的關(guān)系用蘿卜籽和蘿卜坑的關(guān)系來形容，動畫效果直觀生動，使學(xué)生較快掌握判斷兩事物之間是否存在函數(shù)關(guān)系的方法。（如圖1所示）

（2）量法則——兩事物之間的對應(yīng)法則確定，如何量化呢？

教師選擇課前發(fā)布的“雞蛋少秤”和“打的費用”兩個案例，指導(dǎo)每組學(xué)生按照：案例的提出、分析、解決和拓展應(yīng)用四個步驟完成計算。在“雞蛋少秤”案例中，教師運用繞口令游戲（繞口令內(nèi)容：籃子實重0.5，秤上稱出0.55;花生實重1.0，秤上稱出1.1;番茄實重2.0，秤上稱出2.2;雞蛋實重有多少，秤上稱出10.0？）幫助學(xué)生快速理解物品的實際重量與其在秤上的重量的比值是一個定值，為10/11，二者之間是正比例函數(shù)關(guān)系，從而列出方程，得到結(jié)果，并為今后生活中如何判斷少秤提供有效做法。

在“打的費用”案例中，的士行駛距離不同，車費計算法則不同，需要建立分段函數(shù)。教師引導(dǎo)學(xué)生借助幾何畫板動態(tài)演示分段函數(shù)圖像的形成過程，在圖形中直觀顯示打的費用22.6元位于第三段解析式（見圖2），代入后即可算出的士行駛的距離。

（3）擬法則——如果兩事物之間的對應(yīng)法則不確定，如何利用樣本數(shù)據(jù)擬合函數(shù)關(guān)系？

教師以課前發(fā)布的、學(xué)生普遍反饋的疑難問題：臍橙的需求函數(shù)為例。這是傳統(tǒng)手工計算無法解決的問題，也是本課教學(xué)的難點。教師指導(dǎo)學(xué)生使用MATLAB軟件，分成三步走：①初步識別：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出散點圖，初步識別臍橙的需求函數(shù)曲線是一條直線;（見圖3）②曲線擬合：用一次函數(shù)曲線對數(shù)據(jù)進行擬合，計算出系數(shù);③函數(shù)曲線檢驗：畫出擬合曲線圖和原數(shù)據(jù)圖進行對比（見圖4），從而得到臍橙的需求函數(shù)為。

（4）導(dǎo)步驟——建立一元函數(shù)的一般步驟是什么呢？

教師啟發(fā)學(xué)生利用xmind APP畫出建立一元函數(shù)一般步驟的思維導(dǎo)圖（如圖5所示），分享至學(xué)習(xí)通。各組學(xué)生的反饋結(jié)果表明：大部分學(xué)生已經(jīng)掌握了建立一元函數(shù)的步驟，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光看待事物間的聯(lián)系。

（5）促實踐

每組學(xué)生按照步驟實踐操作，完成自選案例的計算，并選派一名小組代表對成果進行展示。隨后，教師和其他組同學(xué)提出質(zhì)疑，組內(nèi)同學(xué)回答，根據(jù)表現(xiàn)打分。教師對各組完成情況進行點評，提出修改意見。值得一提的是，在曲線擬合這一步驟中不同學(xué)生嘗試不同的曲線進行擬合（見圖6），從而找到擬合精度更優(yōu)的函數(shù)曲線，充分體現(xiàn)學(xué)生獨立思考、團隊合作、精益求精的匠人精神。

3.課后導(dǎo)鞏固

（1）課后，教師把2016年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽C題簡化后作為課后拓展訓(xùn)練題（如圖7所示）。學(xué)生發(fā)現(xiàn)：曲線的次數(shù)越高，擬合效果越好，但是函數(shù)越復(fù)雜。在精度、簡便二者之間不知如何抉擇？教師憑借多年指導(dǎo)賽事經(jīng)驗和當(dāng)年閱卷要點，指導(dǎo)學(xué)生：在擬合曲線精度通過檢驗的前提下，曲線越簡單應(yīng)用價值越高，因此選擇二次曲線擬合（見圖8）：

以賽促教、以賽促學(xué)、以賽促用，實現(xiàn)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的數(shù)學(xué)應(yīng)用素養(yǎng)目標(biāo)。

（2）教師在學(xué)習(xí)通上發(fā)布課后作業(yè)：

習(xí)題1[7] 小明騎自行車上學(xué)，開始以正常速度勻速行駛，但途中自行車出了故障，只好停下來修車。后車修好之后，怕耽誤上課，加快了速度勻速行駛，則小明路程關(guān)于時間的函數(shù)圖像為（? ）

A????????????????????????????? B???????????????????????? C????????????????????????? D

習(xí)題2[8] 某城市現(xiàn)行出租車收費標(biāo)準(zhǔn)為：乘車不超過3km，收費10元;超過3km，而不超過15km，超過的里程每千米（不足1km按1km計算）加收2元;超過15km，超過的里程每千米（不足1km按1km計）加收3元。則若某乘客付費49元，則該乘客坐了多遠？（?? ）

A 19千米??? B 20千米??? C 21千米??? D 22千米

習(xí)題3 在考察硝酸鈉的可溶性程度中，對一系列不同溫度觀測它在水中的溶解度，得出下表所示結(jié)果：

表4 硝酸鈉溫度與溶解度樣本數(shù)據(jù)表

則建立溫度與溶解度之間的經(jīng)驗公式為：（?? ）

A、????? B、

C、????? D、

（3）經(jīng)過學(xué)習(xí)通統(tǒng)計，學(xué)生完成課后習(xí)題平均得分為95分，通過課前課后習(xí)題測試成績對比，學(xué)生對生活中兩事物之間函數(shù)關(guān)系的認識和建立有了顯著提高。

（三）教學(xué)效果

1.教學(xué)評價

（1）全過程評價

課前課后，學(xué)習(xí)通測評成績分別為79分和95分，評價客觀有效;課中，教師評分、組內(nèi)自評、組間互評有機結(jié)合，利用權(quán)重計算各組綜合得分（如圖9、圖10所示）。

（2）多元化評價

全過程評價、線上線下評價、主觀與客觀評價的多元化評價方式為量化學(xué)生成績提供科學(xué)依據(jù)。

2.利用信息化手段取得的教學(xué)效果

本課借助MATLAB軟件解決傳統(tǒng)手工計算無法解決的函數(shù)擬合問題，借助視頻動畫、幾何畫板軟件生動直觀地展示教學(xué)內(nèi)容，極大提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。本課采用情境導(dǎo)入，說身邊小事，藏經(jīng)濟哲理，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的親近感，既達到學(xué)以致用的效果，又將課程思政內(nèi)容潛移默化其中，體現(xiàn)了立德樹人的教育思想。

四、結(jié)語

本課選取的案例具有代表性，建立一元函數(shù)的步驟具有一般性，但是具體問題還需要具體分析。本課教學(xué)團隊將不斷收集生活中、學(xué)生專業(yè)課中涉及的數(shù)學(xué)案例，不斷完善網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺中的數(shù)字資源。本課的教學(xué)思路可以推廣，探討極限、導(dǎo)數(shù)、積分等數(shù)學(xué)概念在社會生活中的應(yīng)用，實現(xiàn)數(shù)學(xué)為各領(lǐng)域服務(wù)的目標(biāo)。

參考文獻

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