一類Abel積分的零點個數(shù)估計

王喜紅

(寧夏師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院, 寧夏 固原 756000)

1 引言和主要結(jié)果

考慮超橢圓Hamilton系統(tǒng)

其中,P(x)∈R[x],degP(x)=5.不失一般性,假設(shè)最高次項的系數(shù)為正,與H(x,y)相應(yīng)的Hamilton系統(tǒng)有4個奇點(0,0)、(μ,0)、(λ,0)和(1,0),其中0≤μ≤λ≤1.Gavrilov等[1]給出H(x,y)的規(guī)范型為

(1)

與其相對應(yīng)的Hamilton系統(tǒng)為

(2)

文獻(xiàn)[1]考慮了如下形式的Abel積分

的零點個數(shù)問題,其中

Γh?{(x,y)∈R2|H(x,y)=h}.

2013年,Wang等[2]研究了當(dāng)Γh是文獻(xiàn)[1]中退化卵形線時,Abel積分(2)的零點個數(shù)問題，并證明了此類Abel積分恰好有一個零點.

當(dāng)λ=μ=0時,系統(tǒng)(1)變?yōu)?/p>

(3)

與其相應(yīng)的Hamilton函數(shù)為

(4)

α0J0(h)+α1J1(h)+α2J2(h)+α3J3(h),

其中

圖 1 系統(tǒng)(3)的相圖

本文的主要結(jié)果如下.

2 預(yù)備知識

首先介紹一些本文用到的概念和結(jié)論,更詳細(xì)的結(jié)果見文獻(xiàn)[3-4].

定義 2.1設(shè)f0,f1,…,fn-1是開區(qū)間I?R上的解析函數(shù).

1) {f0,f1,…,fn-1}是I上的Chebyshev系統(tǒng)(簡稱T-系統(tǒng))當(dāng)且僅當(dāng)任何非平凡的實線性組合α0f0(x)+α1f1(x)+…+αn-1fn-1在I上至多有n-1個孤立零點.

2) 如果{f0,f1,…,fk-1}是I上的Chebyshev系統(tǒng),k=1,2,…,n,則{f0,f1,…,fn-1}是I上的完全的Chebyshev系統(tǒng)(簡稱CT-系統(tǒng)).

3) 如果對每個k=1,2,…,n,任何非平凡的線性組合α0f0(x)+α1f1(x)+…+αk-1fk-1在I上至多有k-1個孤立零點(計重數(shù)),則{f0,f1,…,fn-1}是I上的擴展的完全的Chebyshev系統(tǒng)(簡稱ECT-系統(tǒng)).

4) 如果任何非平凡的線性組合α0f0(x)+α1f1(x)+…+αn-1fn-1在I上至多有n+m-1個孤立零點,則{f0,f1,…,fn-1}是I上具有精度m的Chebyshev系統(tǒng).

注 2.1根據(jù)文獻(xiàn)[5-6]中結(jié)果,如果{f0(x),f1(x),…,fn-1(x)}是I上的ECT-系統(tǒng),則對每個k=1,2,…,n-1,存在{f0,f1,…,fn-1}的一個實線性組合在I上恰好有k個孤立零點.如果{f0(x),f1(x),…,fn-1(x)}是I上精度為m的T-系統(tǒng),則存在{f0,f1,…,fn-1}的實線性組合在I上至多有n+m-1個孤立零點.

引理 2.1{f0,f1,…,fn-1}是I上的ECT-系統(tǒng)當(dāng)且僅當(dāng)對每個k=1,2,…,n和所有的 x∈I,Wronsky行列式W[f0,f1,…,fk-1](x)≠0.

Γh?{(x,y)|H(x,y)=h,

h0

P在x軸上的投影是區(qū)間(xl,xr),且xl<00,則存在唯一的解析對合函數(shù)z(x),xl

A(x)=A(z(x)),x∈(0,xr).

考慮Abel積分

h∈(h0,0)或h∈(0,h1),

其中g(shù)i(i=0,1,…,n-1)是區(qū)間(xl,xr)上的解析函數(shù),s∈N.定義區(qū)間(0,xr)上的解析函數(shù)

(5)

則由引理2.1可得下面的代數(shù)準(zhǔn)則(見文獻(xiàn)[3]中定理B和文獻(xiàn)[4]中定理A).

引理 2.21) 如果s>n-2,對每個i=0,1,…,n-1和x∈(0,xr),W[l0,l1,…,li]≠0,則{I0(h),I1(h),…,In-1(h)}是區(qū)間(h0,0)或(0,h1)上的ECT-系統(tǒng).

2) 如果s>n+m-2,對每個i=0,1,…,n-2和x∈(0,xr),W[l0,l1,…,li]≠0,且W[l0,l1,…,ln-1]在(0,xr)上有m個零點(計重數(shù)),則{I0(h),I1(h),…,In-1(h)}在(0,xl)上至多有n+m-1個孤立零點(計重數(shù)).

其中

3 定理1.1的證明

令x=1-u,y=-v,把系統(tǒng)(3)的中心C(1,0)移到原點(仍記為( x,y)).系統(tǒng)(3)變?yōu)?/p>

(6)

與它對應(yīng)的 Hamilton 函數(shù)是

它在原點取局部最小值,且卵形線γl圍繞原點(0,0),其中

q(x,z)=4x4-15x3+4zx3+20x2-14zx2+

4z2x2-10x+20zx-15z2x+

4xz3-10z+20z2-15z3+4z4,

進(jìn)而可得

30zx+8z2x-10+20z-15z2+4z3]/

[4x3-15x2+8zx2+20x-30zx+

12z2x-10+40z-45z2+16z3]?Θ.

(7)

對系統(tǒng)(6),定義

其中

因為n=3,s=1,引理2.2中的s>n-2仍不滿足,需要再次提高y的冪.再由引理2.3可得

其中

(8)

定義

計算可得

φi(x,z)=η1(x,z)mi(x,z),

其中

mi(x,z)是(x,z)的多項式.由引理2.2,只需證明對任意的x∈(0,1)有

W[m1]≠0,W[m1,m2]≠0,

W[m1,m2,m3]≠0.

事實上,令

其中 Θ由(7)式定義.計算可得

W[m1]=m1(x,z),

其中z=z(x)滿足q(x,z)=0,σi(x,z)(i=1,2)是(x,z)的多項式，有

ξ(x,z)=4x3-15x2+8zx2+20x-30zx+

12z2x-10+40z-45z2+16z3.

(9)

下面用Maple計算2個多項式之間的結(jié)式,并應(yīng)用斯圖姆定理證明這2個多項式?jīng)]有公共零點.

q(x,z)和m1(x,z)關(guān)于z的結(jié)式是(x-1)42ζ0(x),其中ζ0(x)是x的62次多項式.由斯圖姆定理可得ζ0(x)≠0,x∈(0,1).因此,W[m1]≠0,x∈(0,1).q(x,z)和ξ(x,z)關(guān)于z的結(jié)式是

R(q,ξ,z)=8 000(4x+1)3(x-1)6×

(4x3-15x2+20x-10).

類似于引理3.1的證明可得如下引理3.2.

引理 3.3當(dāng)0<-h?1時,Jk(h)(k=0,1,2,3)有下列展式:

其中r1>0和r2<0是常數(shù).

證明因為

(10)

其中

首先計算Ii(h)在x=0處的展式.由文獻(xiàn)[7]可得

I(h)=α0I0(h)+α1I1(h)+α2I2(h)+α3I3(h)=

其中

如果c2=c3=0,計算可得

其中r1>0和r2<0是常數(shù).注意到

I(h)=α0I0(h)+α1I1(h)+α2I2(h)+α3I3(h)

和(10)式,即可得結(jié)論成立.證畢.

證明令x=u+1,y=v,則系統(tǒng)(11)變?yōu)?/p>

α2(u+1)2+α3(u+1)3)v.

(12)

令u=rcosθ,v=rsinθ,則當(dāng)0

化為

令

F(r,ρ)=

對F(r,ρ)在(r,ρ)=(0,0)處應(yīng)用隱函數(shù)定理,存在一個光滑函數(shù)r=φ(ρ)和常數(shù)δ,0<δ?1,使得當(dāng)0<ρ<δ時,F(φ(ρ),ρ)≡0.計算可得

(13)

注意到

α3(u+1)3)vdu.

由(13)式可得

α3(u+1)3)vdu=

α3(u+1)3)dudv=

α2(rcosθ+1)2+α3(rcosθ+1)3)rdr.

(14)

I(l)=c1l+c2l2+c3l3+c4l4+O(l5),

(15)

其中

c1=2π(α0+α1+α2+α3),

24 606 689α2-10 431 649α3).

因為

I(h)=α0I0(h)+α1I1(h)+

α2I2(h)+α3I3(h),

再注意到(10)式,即可得結(jié)論成立.證畢.

證明直接計算可得

由引理3.3和引理3.4可得

P2(0-)=0,P3(0-)=0,

α0J0+αiJi=J0(α0+αiPi(h)),i=2,3,

證明當(dāng)α3=0時,有

J(h)=α0J0(h)+α1J1(h)+α2J2(h)=

J0(h)(α0+α1P1(h)+α2P2(h)).

所以J(h)的零點個數(shù)等于直線L:α0+α2P+α1P1=0與曲線Σ1的交點個數(shù).直接計算可得

再由引理3.3和引理3.4可得

1 599.565 8>0.

時,L和Σ1至少有5個交點(計重數(shù)),進(jìn)而可得

類似于定理3.1的證明,可得下面定理.