巧用“斜率”求解高考物理運動學圖像題

紀金忠

(江蘇省大港中學 江蘇 鎮(zhèn)江 212028)

在高考中，運用函數圖像表達、分析和解決物理問題一直是個熱點問題.我們利用圖像挖掘信息主要從函數圖像的“軸”“面”“斜率”“截距”“交點”“拐點”“走向”等幾個方面進行研究[1].本文僅選擇“斜率”這一視角，探討利用函數圖像的斜率求解江蘇高考試卷中的兩道運動學圖像題.

1 運動學函數圖像中“斜率”的物理意義

圖1 勻變速直線運動的v-t圖像

圖2 加速度逐漸減小的變加速直線運動的v-t圖像

2 借助“斜率”求解高考運動學圖像問題

【例1】(2014年高考江蘇卷第5題)一汽車從靜止開始做勻加速直線運動，然后剎車做勻減速直線運動，直到停止.下列速度v和位移x的關系圖像中，能描述該過程的是( )

函數解析法：設x0為加速變減速的拐點，v0為最大速度.加速過程

v2=2a1x

0

其中a1為加速時的加速度，則

這個函數表達式是一個指數為0.5的冪函數乘以一個正的常量，根據高中函數知識，可知其曲線上凸.

減速過程

其中a2為減速時加速度的大小，整理后可得

該非線性函數單調遞減，但其凹凸性較難判斷，可以考慮用特殊值法，相應常量取特殊值可得

易證

故后面一段曲線下凹，正確答案為選項A[3].

由于冪函數的圖像在現行高中數學中的要求比較低，后面一段的曲線凹凸性學生較難分析，教師講評時，學生也表示較難理解.

“斜率”法：觀察4個選項的圖像可知，解決問題的關鍵在于分析v-x圖線切線斜率的變化情況.v-x圖線切線的斜率即

其物理意義即切線斜率的絕對值反映加速度大小與速度大小的比值，勻加速和勻減速階段的加速度大小a均為常量，加速階段速度大小v增加，故斜率絕對值減??；減速階段速度大小減小，故斜率絕對值增加，可知正確答案為選項A.

【例2】(2016年高考江蘇卷第5題)小球從一定高度處由靜止下落，與地面碰撞后回到原高度再次下落，重復上述運動，取小球的落地點為原點建立坐標系，豎直向上為正方向，下列速度v和位置x的關系圖像中，能描述該過程的是( )

解析：該題與例1有異曲同工之妙，下落的過程和碰撞后反彈過程即為一個勻加速過程和一個勻減速過程，所不同的是兩個過程的速度方向不同，考慮到坐標原點的選擇和正方向的規(guī)定，同樣用例1的斜率法，易知正確答案為選項A，下落過程對應圖線的下半部分，反彈向上運動對應圖線的上半部分.