探究坐標(biāo)系與參數(shù)方程的解題策略

東莞市第六高級(jí)中學(xué)(523420)安 娜

在全國(guó)卷中,最后一道選做題是在“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”和“不等式選講”兩題中任選一道題,從近幾年學(xué)生的選擇來(lái)看,大部分學(xué)生都會(huì)選擇“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”.因此本文將對(duì)“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”的求解策略進(jìn)行探究.此類題的難點(diǎn)在于學(xué)生接觸極坐標(biāo)與參數(shù)方程的時(shí)間較短,對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握不到位,因此將此類題進(jìn)行歸納分類,幫助學(xué)生建立知識(shí)脈絡(luò),可降低學(xué)生解決問(wèn)題的難度.

1 高考真題再現(xiàn)

(2018年全國(guó)I 卷22 題)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的方程為y=k|x|+ 2 .以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2+2ρcosθ-3=0.

(1)求C2的直角坐標(biāo)方程;

(2)若C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn),求C1的方程.

分析第(1)問(wèn)比較簡(jiǎn)單,利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,可 把ρ2+ 2ρcosθ -3=0 轉(zhuǎn) 化 為(x+ 1)2+y2=4 .第(2)問(wèn)中,難點(diǎn)在與曲線C1的方程為y=k|x|+2 中,x有絕對(duì)值,所以對(duì)x進(jìn)行分類討論,曲線C1實(shí)際是兩條關(guān)于y對(duì)稱的兩條射線構(gòu)成的曲線,即由(1)可知曲線C2是圓心為(-1,0),半徑為2 的圓,不妨設(shè)y軸右側(cè)的射線為l1:y=kx+2,左側(cè)的射線為l2:y=-kx+2.由于曲線C1的定點(diǎn)P(0,2)在圓C2外,故C1與C2有兩個(gè)公共點(diǎn),等價(jià)于l1與C2有一個(gè)公共點(diǎn),l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn),或者l1與C2有兩個(gè)公共點(diǎn),l2與C2有一個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)l1與C2有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),圓心到l2的距離為2,可求出k=0 或,當(dāng)時(shí),滿足l1與C2有一個(gè)公共點(diǎn),l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)l2與C2有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),圓心到l2的距離為2,可求出k=0 或,不滿足l1與C2有兩個(gè)公共點(diǎn).所以,曲線C1的方程為

2 由高考題引發(fā)的思考

2018年全國(guó)I 卷22 題第(1)問(wèn)考查了轉(zhuǎn)化思想,第(2)問(wèn)考查了分類討論的思想,利用直線與圓相切,點(diǎn)到線的距離等于半徑,進(jìn)而求出k的值,再用另一條射線驗(yàn)證是否與圓C2有兩個(gè)公共點(diǎn),對(duì)最后的解進(jìn)行取舍.此題完全是在直角坐標(biāo)系下,利用直角坐標(biāo)方程解決問(wèn)題的.但在坐標(biāo)系與參數(shù)方程的題目中會(huì)應(yīng)用到一種思想,兩種坐標(biāo)系,三種方程,四種題型.以下是由這道高考引發(fā)的思考總結(jié).

2.1 一種思想

坐標(biāo)系與參數(shù)方程包含的知識(shí)點(diǎn)主要是直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)、參數(shù)方程,解題過(guò)程中滲透著一種思想,即轉(zhuǎn)化思想,直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化,普通方程與參數(shù)方程的轉(zhuǎn)化.需要記憶的公式有ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2.及幾個(gè)特殊的曲線的參數(shù)方程,如圓、橢圓、直線的參數(shù)方程.把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程實(shí)則是“消參”(消掉參數(shù))的過(guò)程.轉(zhuǎn)化思想是高中數(shù)學(xué)中的一種重要思想,在坐標(biāo)系與參數(shù)方程中直接體現(xiàn)在高考題的第(1)問(wèn)中.

2.2 兩種坐標(biāo)系

坐標(biāo)系與參數(shù)方程的題目中會(huì)涉及到兩種坐標(biāo)系,即直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系,極坐標(biāo)系是直角坐標(biāo)系的一部分,因此在做題過(guò)程中,兩種坐標(biāo)系可畫在同一坐標(biāo)系下.主要目的是利用直角坐標(biāo)系下的圖形,解決極坐標(biāo)系下的問(wèn)題,讓學(xué)生更直觀的感受圖形.

2.3 三種方程

坐標(biāo)系與參數(shù)方程的題目一般會(huì)用到三種方程,即直角坐標(biāo)方程(普通方程)、極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程,題型的設(shè)置是三種方程的轉(zhuǎn)化,利用1 中的公式即可,難度較低.

2.4 四種題型

根據(jù)近幾年高考題的分析,第(2)問(wèn)可將坐標(biāo)系與參數(shù)方程歸納為四種題型,每一種題型對(duì)應(yīng)相應(yīng)的解決方法,幫助學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)形成知識(shí)脈絡(luò).

2.4.1 利用直角坐標(biāo)系

直角坐標(biāo)系是學(xué)生較為熟悉的坐標(biāo)系,把極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程,參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程,利用圖形的幾何性質(zhì)解決問(wèn)題,可降低思維的難度.

例1在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4 cosθ+2 sinθ.

(1)求直線l和圓C的直角坐標(biāo)方程;

(2)若直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),求弦AB的長(zhǎng).

解(1)直線l的直角坐標(biāo)方程為圓C的直角坐標(biāo)方程為(x-2)2+(y-1)2=5.

(2)由(x-2)2+(y-1)2=5 可知圓心為C(2,1),半徑r=所以圓心C到直線l的距離所以故弦AB的長(zhǎng)為

此題第(2)問(wèn)是求|AB|的長(zhǎng)度,題目的背景是直線與圓相交,求弦長(zhǎng)問(wèn)題,此題用幾何法最簡(jiǎn)單,因?yàn)橐话氲南遗c圓心到直線的距離和半徑構(gòu)成直角三角形,利用勾股定理的公式,可求出弦長(zhǎng).

例2已知直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程是ρsin2θ-6 cosθ=0.

(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程以及直線l的極坐標(biāo)方程;

(2)若直線l與曲線C交于M,N兩點(diǎn),求|MN|的值.

解(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2=6x.直線l的極坐標(biāo)方程為

(2)方法一：由題可判斷拋物線y2=6x的焦點(diǎn),F點(diǎn)剛好在直線l上,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),根據(jù)拋物線的定義可知,所以|MN|=x1+x2+3,聯(lián)立得Δ=16＞0.所以x1+x2=5 ,即|MN|=8,所以|MN|的值為8.

此題的第(2)也是求|MN|的長(zhǎng)度問(wèn)題,但是題目的背景是拋物線與直線相交,如果該直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F,那么|MN|=|MF|+|NF|,根據(jù)拋物線的定義可知,所以|MN|=x1+x2+p,利用韋達(dá)定理可求出x1+x2的值.如果拋物線不過(guò)焦點(diǎn)F,可利用直線與曲線相交的弦長(zhǎng)公式或者同樣要利用韋達(dá)定理.

2.4.2 利用直線參數(shù)方程中t的幾何意義

例1已知在平面直角坐標(biāo)系xoy中,以o為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方 程 為ρ2(3+sin2θ)=12 ,曲 線C2的 參 數(shù) 方 程 為(t為參數(shù)),

(1)求曲線C1的直角坐標(biāo)方程,并判斷該曲線是什么曲線;

(2)設(shè)曲線C2與曲線C1的交點(diǎn)為A,B,P(1,0),當(dāng)時(shí),求cosα的值.

解(1)由ρ2(3+sin2θ)=12,得,則曲線C1為橢圓.

此題中,t1·t2＜0,t1+t2＜0,所以t1,t2一正一負(fù),_則需要利用公式|t1|+|t2|=|t1-t2|=再利用韋達(dá)定理求出t1+t2和t1·t2的值.

例2在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知曲線C:ρsin2θ=2acosθ,(a ＞0),過(guò)點(diǎn)P(-2,-4)的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線l與曲線C分別交于M、N兩點(diǎn).

(1)寫出曲線C和直線l的普通方程;

(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列,求a的值.

解(1)C:y2=2ax,l:x-y-2=0.

(2)l:(T為參數(shù))代入C得T2-+ 32 + 8a=0.因?yàn)閍 ＞0,所以T1+T2＞0,T1T2＞0,所以T1＞0,T2＞0.又|PM|=|T1|,|PN|=|T2|,|MN|=|T1-T2|,由題意知,|T1-T2|2=|T1T2|,所以(T1+T2)2+5T1T2,由韋達(dá)定理代入得a=1 或a=-4.

此題第(2)問(wèn)也需要利用t的幾何意義,但是要注意直線的參數(shù)方程必須是標(biāo)準(zhǔn)的參數(shù)方程,t才有幾何意義,所以此題首先要寫出直線l的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程,由題可確定定點(diǎn)P(-2,-4),傾斜角為所以直線l的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為(t為參數(shù)).因此對(duì)于直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程模型要熟記,并且能夠迅速判斷參數(shù)方程是否標(biāo)準(zhǔn),判斷的標(biāo)準(zhǔn)可分為三點(diǎn),第一、參數(shù)t; 第二、t的系數(shù)在(-1,1)之間;第三、t的兩個(gè)系數(shù)的平方為1.滿足以上三點(diǎn),即為標(biāo)準(zhǔn)的參數(shù)方程.

2.4.3 利用極坐標(biāo)系

學(xué)生對(duì)直角坐標(biāo)系接觸的時(shí)間較長(zhǎng),因此做題時(shí)習(xí)慣性喜歡用直角坐標(biāo)方程,但有些題型在極坐標(biāo)系下,利用極坐標(biāo)方程會(huì)更簡(jiǎn)單、易操作.

例1在平面直角坐標(biāo)系xoy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以o為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2acosθ,(a ＞0),且曲線C與直線l有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).

(1)求a的值;

(2)設(shè)A,B為曲線C上的兩點(diǎn),且求|OA|+|OB|的最大值.

解(1)直線l的普通方程是,曲線C的直角坐標(biāo)方程是(x-a)2+y2=a2,(a ＞0).依題意直線l與圓相切,則圓心(a,0)到直線l的距離解得a=-3 或a=1,因?yàn)閍 ＞0,所以a=1.

(2)如圖1,不妨設(shè)A(ρ1,θ),,可得θ ∈

圖1

則ρ1=2 cosθ,ρ2=2 cos,|OA|+|OB|=ρ1+ρ2=2 cosθ+ 2 cos=,因 為所 以,所以當(dāng),即時(shí),|OA|+|OB|取得最大值,最大值是

例2在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為：(θ為參數(shù),θ ∈[0,π]),將曲線C1經(jīng)過(guò)伸縮變換：得到曲線C2.

(1)以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求C2的極坐標(biāo)方程;

(2)若直線l:(t為參數(shù))與C1,C2相交于A,B兩點(diǎn),且,求α的值.

解(1)C1的普通方程為x2+y2=1(y ≥0),C2的方程為,所以C2的極坐標(biāo)方程為

(2)在(1)中建立的極坐標(biāo)系中,直線l的極坐標(biāo)方程 為θ=α(ρ ∈R),由,得ρA=1 ,由,得而,所以而α ∈[0,π],所以或

此題的思路的思路和例1 類似,因?yàn)锳,B兩點(diǎn)是直線與圓和橢圓的焦點(diǎn),,直線過(guò)原點(diǎn),A,B兩點(diǎn)的長(zhǎng)度在極坐標(biāo)下可以用|OB|-|OA|來(lái)表示,兩端長(zhǎng)度在極坐標(biāo)系可分別用兩點(diǎn)A,B兩點(diǎn)極徑來(lái)表示,解題過(guò)程簡(jiǎn)單易算.

2.4.4 利用參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求值域

在坐標(biāo)系與參數(shù)方程的題目中,經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)求最大值最小值的問(wèn)題,或者已知最大值、最小值求字母參數(shù)的范圍問(wèn)題.此類問(wèn)題通常利用參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)求值域的問(wèn)題.

例1已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=1,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).

(1)寫出直線l與曲線C的直角坐標(biāo)方程;

(2)設(shè)曲線C經(jīng)過(guò)伸縮變換得到曲線C′,設(shè)曲線C′上任一點(diǎn)為M(x,y),求的最小值.

解(1)直線l:,曲線C:x2+y2=1.

例2[2017?全國(guó)卷I]在直角坐標(biāo)系xoy中,曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(l為參數(shù)).

(1)若a=-1,求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo);

(2)若C上的點(diǎn)到l距離的最大值為,求a.

解(1)曲線C的普通方程為.直線l的普通方程為x+ 4y -3=0 .從而C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為

(2)直線l的普通方程為x+4y-a-4=0,故C上的點(diǎn)(3 cosθ,sinθ)到l的距離當(dāng)a ≥-4 時(shí),d的最大值為,由題設(shè)得所以a=8;當(dāng)a ＜-4 時(shí),d的最大值為,由題設(shè)得,所以a=-16.綜上,a=8 或a=-16.