聯(lián)袂解題，魅力無(wú)比

甘肅省武威第十中學(xué)(733000)張秀麗 陳國(guó)玉

將中心投影知識(shí)與其他知識(shí)融合在同一道題中,是近幾年中考的熱點(diǎn)考題.這類(lèi)題不僅提高了試題的趣味性的綜合性,而且讓試題增添了無(wú)窮的魅力.

一、與函數(shù)結(jié)合判圖象

例1如圖1,夜晚,小亮從點(diǎn)A 經(jīng)過(guò)路燈C 的正下方沿直線走到點(diǎn)B,他的影長(zhǎng)y隨他與點(diǎn)A之間的距離x的變化而變化,那么表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致為( )

圖1

分析等高的物體垂直地面時(shí),在燈光下,離點(diǎn)光源近的物體它的影子短,離點(diǎn)光源遠(yuǎn)的物體它的影子長(zhǎng).利用相似求出y與x之間的函數(shù)式,進(jìn)而結(jié)合圖象即可找出答案.

解：設(shè)小亮身高GE=h ,CF=m ,AF=a,當(dāng)x ≤ a時(shí),在△OEG 和△OFC中,∠GOE=∠COF(公共角),∠AEG=∠AFC=90°,所以△OEG～△OFC,所以解得,

圖2

因?yàn)閔,m,a都是固定的常數(shù),所以自變量x的系數(shù)是固定值,所以這個(gè)函數(shù)圖象肯定是一次函數(shù)圖象,即是直線;因?yàn)橛伴L(zhǎng)將隨著離燈光越來(lái)越近而越來(lái)越短,到燈下的時(shí)候,將是一個(gè)點(diǎn),進(jìn)而隨著離燈光的越來(lái)越遠(yuǎn)而影長(zhǎng)將變大.故選A.

點(diǎn)評(píng)本題綜合考查了中心投影的特點(diǎn)和規(guī)律,解題的關(guān)鍵是利用相似三角形求出y與x之間的函數(shù)式.

二、與平面鏡聯(lián)手找光源

例2如圖3所示,與一盞路燈相對(duì),有一玻璃幕墻,幕墻前面的地面上有一盆花CD和一棵樹(shù)AB.晚上,幕墻反射路燈燈光形成了那盆花的影子DF,樹(shù)影BE是路燈燈光形成的.請(qǐng)你確定此時(shí)路燈光源P的位置.

圖3

分析由中心投影概念知點(diǎn)光源、物體頂端,物體影子頂端在同一直線上,并結(jié)合光的反射定律：反射角等于入射角,可確定出點(diǎn)P的位置.

解：作法如下：如圖4所示,

(1)連接FC并延長(zhǎng)交玻璃幕于點(diǎn)O;

(2)過(guò)點(diǎn)O作直線OG垂直于玻璃幕墻;

圖4

(3)在OG另一側(cè)作∠POG=∠FOG 且交EA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.

所以點(diǎn)P即為此時(shí)路燈光源的位置.

點(diǎn)評(píng)本題考查平行投影和中心投影的作圖,難度不大,體現(xiàn)了學(xué)數(shù)學(xué)要注重基礎(chǔ)知識(shí)的新課標(biāo)理念.解題的關(guān)鍵是要知道：連接物體和它影子的頂端所形成的直線必定經(jīng)過(guò)點(diǎn)光源.

三、與相似合作探規(guī)律

圖5

例3學(xué)習(xí)投影后,小明、小穎利用燈光下自己的影子長(zhǎng)度來(lái)測(cè)量一路燈的高度,并探究影子長(zhǎng)度的變化規(guī)律.如圖5,在同一時(shí)間,身高為1.6m 的小明(AB)的影子BC長(zhǎng)是3m,而小穎(EH)剛好在路燈燈泡的正下方H點(diǎn),并測(cè)得HB=6m.

(1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出形成影子的光線,并確定路燈燈泡所在的位置G;

(2)求路燈燈泡的垂直高度GH;

(3)如果小明沿線段BH向小穎(點(diǎn)H)走去,當(dāng)小明走到BH中點(diǎn)B1處時(shí),求其影子B1C1的長(zhǎng);當(dāng)小明繼續(xù)走剩下路程的到B2處時(shí),求其影子B2C2的長(zhǎng);當(dāng)小明繼續(xù)走剩下路程的到B3處,…按此規(guī)律繼續(xù)走下去,當(dāng)小明走剩下路程的到Bn處時(shí),其影子BnCn的長(zhǎng)為_(kāi)__m.(直接用n的代數(shù)式表示)

分析(1)確定燈泡的位置,可逆用光線畫(huà)出;

(2)要求垂直高度GH 可以把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成相似三角形的問(wèn)題,利用相似三角形的對(duì)應(yīng)成比例可以求出GH;

(3)和(2)一樣也是利用三角形相似,利用對(duì)應(yīng)成比相等可以求出,然后找出規(guī)律,得出結(jié)論.

圖6

解：(1)如圖6,作直線AC和EH,兩直線的交點(diǎn)為路燈燈泡所在的位置G,直線GC是形成影子BC的光線.(2)由題意得△ABC～△GHC,所以即解得GH=4.8(m).即路燈燈泡距離地面的高度GH為4.8m.(3)連接GA1,并延長(zhǎng)交BC所在直線于C1,因?yàn)椤鰽1B1C1～△GHC1,所以則解得,同理可得解得B2C2=1(m),同 理可得….探究規(guī)律：由此可得

點(diǎn)評(píng)本題是把實(shí)際問(wèn)題抽象到相似三角形中，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)解題，本題也是將相似三角形性質(zhì)的運(yùn)用與找規(guī)律相結(jié)合的一道題，解題時(shí)要注意從特殊到一般，仔細(xì)觀察，認(rèn)真探求規(guī)律.

四、與方程攜手求燈高

例3如圖7,花叢中有一路燈桿AB,在燈光下,小明在D點(diǎn)處的影長(zhǎng)DE=3 米,沿BD方向行走到達(dá)G點(diǎn),DG=5米,這時(shí)小明的影長(zhǎng)GH=5 米.如果小明的身高為1.7 米,求路燈桿AB的高度(精確到0.1 米).

圖7

分析在本題中,小明的身高(CD、FG)與燈高AB的比值是固定不變的,即,利用△ECD～△EAB 和△HFG～△HAB 及上面的“中間比”,代換出;再利用方程可求BD的長(zhǎng),進(jìn)而求出AB的長(zhǎng).

解：因?yàn)椤螩DE=∠ABE=90°,∠CED=∠AEB,所以△ECD～△EAB,所以同理得又因?yàn)镃D=FG,所以.設(shè)BD=x,則BE=3 +x,BH=10 +x,所以,解得x=7.5.把BD=7.5 代入中得解得AB=5.95≈6.答：路燈AB 的高約為6 米.

點(diǎn)評(píng)解這道題關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,只要把實(shí)際問(wèn)題抽象到相似三角形中,利用相似比建立方程即可求解.

五、與圓相融求面積

例5如圖8,在一間黑屋里用一只白熾燈照射一個(gè)球.

(1)球在地面上的陰影是什么形狀？

(2)當(dāng)把白熾燈向上移時(shí),陰影的大小會(huì)怎樣變化？

圖8

(3)若白熾燈到球心距離為1 米,到地面的距離是3 米,球的半徑是0.2 米,求球在地面上陰影的面積是多少？

分析(1)球在燈光的正下方,所以陰影是圓形;

(2)根據(jù)中心投影的特點(diǎn)可知：在燈光下,離點(diǎn)光源近的物體它的影子短,離點(diǎn)光源遠(yuǎn)的物體它的影子長(zhǎng),所以白熾燈向上移時(shí),陰影會(huì)逐漸變小;

(3)應(yīng)先根據(jù)題意畫(huà)出示意圖,再由直角三角形、圓的切線的性質(zhì)以及相似三角形的知識(shí)求出影子的半徑,從而求出其面積.

圖9

解：(1)影子是圓;(2)陰影會(huì)逐漸變小;(3)如圖9,設(shè)點(diǎn)O為燈泡,點(diǎn)E為球心,過(guò)O作球兩側(cè)的切線,點(diǎn)A、B分別為切點(diǎn),OA、OB分別交地面于C、D兩點(diǎn),連接AB、CD,則CD為球在地面上影子的直徑.連接OE并延長(zhǎng)與CD交于點(diǎn)F,則OF⊥CD,OE=1m,OF=3m.連接AE,因?yàn)镺C切圓的半徑EA于點(diǎn)A,所以AE⊥OC,且AE=0.2m.在Rt△OAE 中,因?yàn)椤螼AE=∠OFC=90°,∠AOE=∠FOC(公共角),所以△OAE～△OFC,所以解得所以即球在地面上的影子的面積是

點(diǎn)評(píng)本題綜合考查了中心投影的特點(diǎn)和規(guī)律、直角三角形以及圓的切線性質(zhì)的運(yùn)用.解題的關(guān)鍵是利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等,求出所需要的陰影的半徑,從而求出其面積.