主動(dòng)謀變,變中求通
——對(duì)一道教材課后習(xí)題變式拓展的思考

江蘇省蘇州市吳中區(qū)迎春中學(xué)(215128)凌勤霞

一、前言

書(shū)本上的習(xí)題是數(shù)學(xué)教材的重要組成部分,是通過(guò)專家們精心構(gòu)思,反復(fù)斟酌推敲設(shè)計(jì)出來(lái)的,具有不容置疑的典型性、示范性和探索性.課后習(xí)題一方面能使學(xué)生鞏固所學(xué)的新知識(shí),學(xué)會(huì)運(yùn)用新知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題,另一方面它有助于學(xué)生掌握和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、方法、發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提高.因此,如何恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用課本習(xí)題,如何充分地挖掘和深化這些習(xí)題,使其發(fā)揮內(nèi)在潛能,以培養(yǎng)高素質(zhì)的學(xué)生,是教師面臨的一個(gè)新課題.

結(jié)合筆者十多年的一線數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐,對(duì)教材中習(xí)題的拓展和開(kāi)發(fā)作了一些嘗試,旨在讓學(xué)生通過(guò)“主動(dòng)謀變”實(shí)現(xiàn)“變中求通”,提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力.

二、教材原題

(蘇科版九年級(jí)下冊(cè)59 頁(yè)第3 題)

如圖1,在正方形ABCD中,E是AD中點(diǎn),點(diǎn)F在CD上,且CF=3FD.△ABE 與△DEF相似嗎? 為什么?

圖1

解讀這是教材中“探索三角形相似的條件”這一小節(jié)中的一道課后習(xí)題,考查了“兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”這一判定方法,也考查了正方形的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題,學(xué)生很容易證得結(jié)論.

發(fā)現(xiàn)這道習(xí)題本身很容易解決,但其中蘊(yùn)含了一個(gè)很重要的數(shù)學(xué)基本圖形“K字型”(如圖2).近年來(lái),許多中考題圍繞此基本圖形進(jìn)行命題.因此我們可以這道習(xí)題為藍(lán)本,對(duì)它作進(jìn)一步的挖掘、引申和探索,找出新的生長(zhǎng)點(diǎn),這對(duì)提高課堂效率、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)能力能起到事半功倍的效果.

圖2

三、變式拓展

3.1 直接變式,感知模型

例1(1)如圖3,在正方形ABCD中,E是AD上任意一點(diǎn),點(diǎn)F在CD上,且BE⊥EF,△ABE 與△DEF 相似嗎? 為什么?

圖3

(2)如圖3,如圖,E是正方形ABCD的邊AD上的動(dòng)點(diǎn),EF⊥BE 交CD于點(diǎn)F.若正方形的邊長(zhǎng)為4,AE=x,DF=y.則y與x的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)____.

圖3.1

說(shuō)明例1(1)對(duì)原題作了條件上的變化,圖形不變,考察學(xué)生用定理“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”證明相似,以此鞏固新知.例1(2)在(1)的基礎(chǔ)上將其中點(diǎn)E設(shè)置為動(dòng)點(diǎn),加入函數(shù)元素.要求y與x的函數(shù)關(guān)系,實(shí)際上只要證明兩個(gè)直角三角形相似,由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得結(jié)果.解題完畢后可以讓學(xué)生觀察圖中兩個(gè)直角三角形的擺放位置,引導(dǎo)其發(fā)現(xiàn)將它們拼在一起后構(gòu)成了第三個(gè)直角,讓學(xué)生感知“K字型”的基本模型：

條件：A、E、D 三點(diǎn)共線,∠A=∠D=∠BEF=90°;結(jié)論：△ABE～△DEF.

3.2 改變背景,鞏固模型

例2已知C、D是一段圓弧上的兩點(diǎn),它們都在直線l的同側(cè),過(guò)這兩點(diǎn)分別作直線l的垂線,垂足分別為A、B.E是BC上一動(dòng)點(diǎn),連結(jié)DE、CE、CD,∠CED=90°.

(1)如圖4①,若AD=6,AE=4,BE=12,求CD的長(zhǎng).

(2)如圖4②,若點(diǎn)E恰為這段圓弧的圓心,則線段AB、BC、AD之間有怎樣的等量關(guān)系? 請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論并予以證明.

圖4

說(shuō)明本題增設(shè)了圓的背景,將基本圖形與圓、動(dòng)點(diǎn)巧妙地結(jié)合在一起.(1)中根據(jù)基本圖形證得相似,利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出線段長(zhǎng).本題在幾何計(jì)算中比較常見(jiàn),具有典型性.(2)中將E 點(diǎn)設(shè)置為圓弧的圓心,便可挖掘出CE=DE這個(gè)重要條件,基本圖形加上這個(gè)條件,便可碰撞出新的火花——兩個(gè)直角三角形全等.這是“K字型”的特例.

例3如圖5,平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)矩形紙片OBCA,點(diǎn)A(11,0),點(diǎn)B(0,6),點(diǎn)P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合),經(jīng)過(guò)點(diǎn)O、P折疊該紙片,得點(diǎn)B′和折痕OP.設(shè)BP=t.

(1)如圖5①,當(dāng)∠BOP=30°時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(2)如圖5②,經(jīng)過(guò)點(diǎn)P再次折疊紙片,使點(diǎn)C落在直線PB′上,得點(diǎn)C′和折痕PQ,若AQ=m,求m(用含有t的式子表示).

圖5

說(shuō)明本題將原來(lái)的正方形問(wèn)題改變成了平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片折疊問(wèn)題.引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn),第二小題中通過(guò)兩次折疊紙片,構(gòu)造出了“K字型”的數(shù)學(xué)模型,這樣就找到了△OBP與△PCQ這對(duì)三角形相似.再結(jié)合折疊性質(zhì)、矩形性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題,增加了題目的綜合性,鞏固了數(shù)學(xué)模型.

3.3 類比遷移,推廣模型

在掌握了前面歸納的出現(xiàn)三個(gè)直角構(gòu)成的“K 字型”后,繼續(xù)拓展演變,可將其中的“三個(gè)直角”條件變?yōu)椤叭齻€(gè)角相等”,由兩個(gè)直角三角形相似遷移為兩個(gè)普通三角形相似.

例4如圖6,等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)P為BC邊上一點(diǎn),且BP=1,點(diǎn)D為AC邊上一點(diǎn).APD=60°,求CD的長(zhǎng).

例5如圖7,等腰直角△ABC 的直角邊長(zhǎng)為4,P為斜邊BC上一點(diǎn),且BP=1,D為AC上一點(diǎn),若∠APD=45°,求CD的長(zhǎng).

圖6

圖7

說(shuō)明上述兩個(gè)例題是將“三個(gè)直角”條件分別改變?yōu)椤叭齻€(gè)60°角”、“三個(gè)45°”這樣的特殊角,解決這兩題的關(guān)鍵是要推出△BAP～△CPD.如何證相似,則可與前面歸納得到的“K字型”進(jìn)行類比,利用等邊三角形性質(zhì)、等腰直角三角形和三角形外角性質(zhì),找出它們的相同點(diǎn)與不同點(diǎn),從而將“K 字型”進(jìn)行推廣,提高學(xué)生類比猜想能力.

例6 如圖8,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB//OA,OA=7,BC=1,AB=5,點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P不與點(diǎn)O、點(diǎn)A重合.連接CP,過(guò)點(diǎn)P作PD交AB于點(diǎn)D.

圖8

(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo).

(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí),使得∠CPD=∠OAB,且,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

圖8.1

說(shuō)明本題結(jié)合了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等腰梯形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì),具有一定的綜合性.其中第二小題,需要證明△OCP～△APD,再根據(jù)相似性質(zhì)求出AP,OP的值.如何證明△0CP與△APD相似? 可引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)本題中也有三個(gè)角相等：“∠CPD=∠0AB=∠POC”,雖然它們的度數(shù)未知,但是同樣可類比前面的方法證明出相似,從而使學(xué)生認(rèn)識(shí)到“K字型”的推廣模型：

條件：A、E、C 三點(diǎn)共線,∠A=∠BED=∠C=a; 結(jié)論：△ABE～△CED.

通過(guò)這一系列變式拓展、類比遷移,學(xué)生經(jīng)歷了從特殊到一般的思考過(guò)程,體驗(yàn)了尋找題目本質(zhì)的過(guò)程,感受到了這些題目不同的僅僅是非本質(zhì)特征,而本質(zhì)是一樣的.這樣的過(guò)程鍛煉了學(xué)生的思維,有效的提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力,加強(qiáng)了學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.

3.4 充分挖掘,活用模型

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在幾何方面要求學(xué)生“能從較復(fù)雜的圖形中分解出基本的圖形,并能分析其中的基本元素及其關(guān)系,利用直觀來(lái)進(jìn)行思考”.要將基本圖形從復(fù)雜圖形中一個(gè)個(gè)分解出來(lái),需要對(duì)基本圖形的本質(zhì)有清晰的認(rèn)知,能根據(jù)某些隱藏的不完整的圖形,通過(guò)添加輔助線構(gòu)造出基本圖形.

例7如圖9,已知點(diǎn)A(-2,1),點(diǎn)B 在直線y=-2x+3上運(yùn)動(dòng),若∠AOB=90°,求此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo).

圖9

說(shuō)明本題將問(wèn)題放在了平面直角坐標(biāo)系的一次函數(shù)和反比例函數(shù)中,學(xué)生看不到現(xiàn)成的基本圖形.要求B 點(diǎn)坐標(biāo),需過(guò)點(diǎn)B向x 軸作垂線,再引導(dǎo)學(xué)生抓住關(guān)鍵條件“∠AOB=90°”,這樣便發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)直角.已知了A點(diǎn)坐標(biāo),要用這個(gè)條件就需過(guò)點(diǎn)A也作x軸的垂線,于是就出現(xiàn)了第三個(gè)直角.隨著這三個(gè)重要直角的出現(xiàn),基本圖形“K(圖9)字型”也就在不知不覺(jué)中構(gòu)造出來(lái)了.由前面直接利用基本圖形到現(xiàn)在通過(guò)添輔助線挖掘出隱含的基本圖形,學(xué)生對(duì)圖形的感知得到了發(fā)展,進(jìn)一步提高了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

例8已知拋物線L : y=x2+bx+c 與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(-3,0),與y軸交于點(diǎn)c(0,3),

(1)求拋物線L的頂點(diǎn)坐標(biāo)和A點(diǎn)坐標(biāo).

圖10

(2)如何平移拋物線L得到拋物線L1,使得平移后的拋物線L1的頂點(diǎn)與拋物線L的頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱?

(3)將拋物線L平移,使其經(jīng)過(guò)點(diǎn)C得到拋物線L2,點(diǎn)P(m,n)(m＞0)是拋物線L2上的一點(diǎn),是否存在點(diǎn)P,使得△PAC 為等腰直角三角形? 若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出拋物線L2的表達(dá)式;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖10.1

圖10.2

說(shuō)明本題是以二次函數(shù)拋物線問(wèn)題為背景的綜合題,問(wèn)題3是否存在P 使△PAC 為等腰直角三角形并求拋物線L2的解析式,學(xué)生對(duì)于這類綜合題往往找不到抓手,通常會(huì)束手無(wú)策.教師要引導(dǎo)學(xué)生分解圖形,抓住本質(zhì)條件“直角”,分別通過(guò)A、C、P作x軸或y軸的垂線段,便可巧妙地構(gòu)造出“K字型”,然后運(yùn)用基本圖形的知識(shí)和方法,為解題思路的探求提供思維方向,靈活地解決相關(guān)問(wèn)題.

四、以變求通

通過(guò)對(duì)教材課后習(xí)題進(jìn)行變式拓展、巧妙編排,可以達(dá)到“做一題,解一類”的目的,可以有效地避免“題海戰(zhàn)術(shù)”,減輕學(xué)生負(fù)擔(dān),基本打破了“誰(shuí)作業(yè)做的少,誰(shuí)的成績(jī)就低”的局面,班中部分基礎(chǔ)較好的同學(xué)成績(jī)反而呈現(xiàn)穩(wěn)中有升現(xiàn)象.

在平時(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)中,經(jīng)常一節(jié)課研究一個(gè)問(wèn)題,對(duì)其進(jìn)行一系列的變化,在一次次的變式拓展中,明顯感受到學(xué)生興趣較以前增強(qiáng)了.他們會(huì)有種新鮮感,會(huì)期待著老師還能把這題作怎樣的改變,還能結(jié)合哪個(gè)知識(shí)點(diǎn).學(xué)生討論問(wèn)題的氛圍也形成了,課上沒(méi)研究完的題目課后會(huì)繼續(xù)探討,在課堂內(nèi)及課堂的延續(xù)中學(xué)生積極參與思考,主動(dòng)獲得解題的思想和方法.

其實(shí),問(wèn)題一直在變,但不管怎么變,都沒(méi)有離開(kāi)一個(gè)基本方法或結(jié)構(gòu).讓學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)到這種基本方法或結(jié)構(gòu)的存在,主動(dòng)謀變,變中求通,打開(kāi)解題思路,從而提升自己的觀察問(wèn)題、思考問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

五、結(jié)束語(yǔ)

對(duì)一道教材課后習(xí)題變式拓展的思考,目的是希望學(xué)生從中獲得的不僅僅是解答這題本身,而是通過(guò)這道題展開(kāi)了數(shù)學(xué)“悟”的過(guò)程,是一個(gè)主動(dòng)、深度的學(xué)習(xí)過(guò)程.在平時(shí)的教學(xué)中,作為教師的我們需在遵循《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的前提下,對(duì)教學(xué)大綱、教材進(jìn)行深入的研究和分析,多挖掘這種有生長(zhǎng)性的習(xí)題內(nèi)涵,抓住習(xí)題中的本質(zhì)因素,拓展其外延.主動(dòng)謀變,變中求通,在“直接變式,感知模型”中提升自主建構(gòu)能力;在“改變背景,鞏固模型”中提升多元表征能力;在“類比遷移,推廣模型”中提升類比推理能力;在“充分挖掘,活用模型”中提升數(shù)學(xué)運(yùn)用分析能力,有效地提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).