基于發(fā)展數(shù)學(xué)高階思維下的課堂教學(xué)探索*
——從一節(jié)“意外”的課談起

廣州市真光中學(xué)(510380)郭銘恩

廣州市荔灣區(qū)教育發(fā)展研究院(510370)龐新軍

教師在日常課堂教學(xué)時(shí),常在課堂生成與互動(dòng)中遇到各種“料想不到的問(wèn)題或狀況”,教師應(yīng)以“學(xué)生思維活動(dòng)的引導(dǎo)者與參與者”的身份,鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)這些“意外問(wèn)題”作質(zhì)疑猜想、思考探究,以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)能力.下面是筆者一次親身教學(xué)經(jīng)歷.

一、課堂背景

這是一節(jié)以“函數(shù)不等式”為專題的高三年級(jí)復(fù)習(xí)課.本節(jié)課之前,筆者已與學(xué)生共同復(fù)習(xí)了“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”的基礎(chǔ)概念與方法.整理高考試題時(shí),筆者發(fā)現(xiàn)近年全國(guó)高考卷中,對(duì)函數(shù)不等式問(wèn)題的考查存在諸多的相似之處,特別是隱零點(diǎn)問(wèn)題,值得關(guān)注(隱零點(diǎn)指函數(shù)的零點(diǎn)存在但求不出具體值).節(jié)選部分題目如下：

題1(2016 全國(guó)理科數(shù)學(xué)II 卷21 題)(I)討論函數(shù)的單調(diào)性,并證明當(dāng)x ＞0 時(shí),(x-2)ex+x+2＞0;

(II)證明：當(dāng)a ∈[0,1)時(shí),函數(shù)有最小值.設(shè)g(x)的最小值為h(a),求函數(shù)h(a)的值域.

題2(2018 全國(guó)文科數(shù)學(xué)I 卷21 題)已知函數(shù)f(x)=aex-lnx-1.

(I)設(shè)x=2 是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),求a并求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

上述真題中的第二問(wèn),同屬“結(jié)合隱零點(diǎn)考查的函數(shù)不等式”問(wèn)題,涉及到的知識(shí)考點(diǎn)有“導(dǎo)數(shù)與極值最值、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系、證明不等式”等.在解題的過(guò)程中,首先確定函數(shù)的定義域,之后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系確定參數(shù)的值(或參數(shù)與函數(shù)間的量化關(guān)系),再通過(guò)構(gòu)造新函數(shù),代換參數(shù)、整體放縮、隱零點(diǎn)替換、不等式傳遞性等方法技巧,證得結(jié)果.要求學(xué)生具非常強(qiáng)的邏輯推理、抽象轉(zhuǎn)化、分析綜合等思維能力.函數(shù)導(dǎo)數(shù)題作為高考的壓軸題,難度極大.為了做好由淺入深的教學(xué)引導(dǎo),筆者以隱零點(diǎn)問(wèn)題為研究點(diǎn),結(jié)合教材,自編一道難度較低的引例來(lái)引出課題：

引例：“證明：ex ＞1+lnx”.

筆者提前一天把它發(fā)給學(xué)生思考,計(jì)劃上課當(dāng)天先講解隱零點(diǎn)解法,再結(jié)合兩道高考真題作訓(xùn)練強(qiáng)化.不料正式上課時(shí),“意外”頻發(fā)——學(xué)生對(duì)引例提出各種解法和見解,并在解決過(guò)程中挖掘出新的解題方向,使得思維碰撞的課堂進(jìn)程脫離預(yù)設(shè)教學(xué)安排.這些“課堂意外”,實(shí)際上是學(xué)生的數(shù)學(xué)高階思維*1在作用.于是,筆者針對(duì)學(xué)生的想法,將計(jì)就計(jì),靈活設(shè)置問(wèn)題任務(wù),營(yíng)造熱烈的課堂探究與互動(dòng),把數(shù)學(xué)高階思維滲透在課堂中,提升課堂的思維深度.

二、課堂進(jìn)程

第一次意外：上課鈴聲響起,正準(zhǔn)備“大展拳腳”講授解法的筆者,看到生1 在躍躍欲試.師：生1,你想到解法嗎?生1：我想利用等價(jià)變形的思想去證明,不知對(duì)不對(duì)?師：你來(lái)跟大家把思路說(shuō)說(shuō)?生1 走上講臺(tái),在黑板上展示.

證法一構(gòu)造函數(shù)原題即證h(x)＜1 (x ＞0),因?yàn)榍野l(fā)現(xiàn)h′(1)=0.通過(guò)代入具體數(shù)值判斷,得0＜x ＜1 時(shí),h′(x)＞0;x ＞1時(shí),h′(x)＜0(*);故h(1)為極大值點(diǎn),,問(wèn)題得證.

師：很棒! 你怎么想到的?

生1：剛開始,我想過(guò)分開證明：(ex)min＞(1+lnx)max,但發(fā)現(xiàn)右側(cè)函數(shù)值可取無(wú)窮大,故不能以“比較兩邊函數(shù)最值”的方式去證明.再聯(lián)想比較大小時(shí)常用的作差或作商法,其中作差即證：F(x)=ex-1-lnx ＞0,卻又發(fā)現(xiàn)y=F(x)的導(dǎo)函數(shù)因找不出零點(diǎn),從而難以求出y=F(x)的最值;于是嘗試作商,終于證明出來(lái)了!

(筆者心忖,生1 證法中(*)式部分雖有瑕疵,但能把比較大小的思維技巧引入到函數(shù)不等式證明中,巧妙避開了抽象的隱零點(diǎn)討論,體現(xiàn)了他良好的遷移、轉(zhuǎn)化等能力,便馬上給出充分肯定,并借此瑕疵提出問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思辨性討論)師(問(wèn)題引導(dǎo))：生1 證法很好,可惜有瑕疵,誰(shuí)來(lái)補(bǔ)充?

生2：老師,我發(fā)現(xiàn)了!

生1(有點(diǎn)不服氣)：哪里不完善?

生2：你看證法中(*)式的部分,當(dāng)x ＞1 時(shí)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況,依賴于代入具體數(shù)值去判斷,這個(gè)不太嚴(yán)謹(jǐn).例如,若x ＞1 時(shí),導(dǎo)函數(shù)h′(x)不恒為負(fù),而是有幾個(gè)正負(fù)變化的區(qū)間,那這樣x=1 就不一定是最大值點(diǎn)了!

生1：是哦,有道理.

其他同學(xué)也紛紛表示同意,筆者看大家研究興趣越來(lái)越濃,便決定先讓學(xué)生們探究幾分鐘,再由生2 介紹補(bǔ)充.

師(任務(wù)驅(qū)動(dòng))：下面給大家5 分鐘的時(shí)間去嘗試完善它,然后再請(qǐng)生2 展示.

(五分鐘后,部分學(xué)生已找出解決方法,便津津有味地觀看生2 講解,印證所想)

生2：其實(shí)只需對(duì)y=h′(x)再求導(dǎo)一次導(dǎo)即可.我們利用二階導(dǎo)函數(shù)y=h′′(x)的正負(fù),可判斷一階導(dǎo)函數(shù)y=h′(x)的單調(diào)性,進(jìn)而得一階導(dǎo)函數(shù)y=h′(x)在0＜x ＜1 與x ＞1 兩邊的大概圖像,以此明確導(dǎo)函數(shù)在x=1 兩側(cè)的正負(fù)情況.具體如下：

生2 展示完畢,同學(xué)們都表示贊同,并對(duì)倆人的鉆研意識(shí)非常佩服.課堂氣氛因探究與互動(dòng)而活躍起來(lái),進(jìn)入了一個(gè)高潮.

第二次意外：此時(shí),課堂已過(guò)10 分鐘.筆者正欲回到預(yù)設(shè)教學(xué)軌道時(shí),生3 舉起了手.師：生3,你還有補(bǔ)充嗎?

生3：剛才生1 分析說(shuō),(ex)min＞(1+lnx)max分開證明做不下去,我認(rèn)為是可以的!

筆者有點(diǎn)吃驚,(ex)min＞(1+lnx)max的證明思路貌似不行,難道生3 有特別“招術(shù)”? 便邀請(qǐng)生3 上臺(tái)展示.

生3：我的想法是,函數(shù)不等式兩邊是簡(jiǎn)單指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)型函數(shù),可畫出函數(shù)圖像如下(同時(shí)在黑板上作圖1),然后通過(guò)判斷x=1 左右區(qū)間的函數(shù)圖像高低情況,證明不等式.

圖1

證法二①0＜x ＜1 時(shí),f(x)＞1,g(x)＜g(1)=1,故f(x)＞1＞g(x),在區(qū)間(0,1)上顯然成立.②x ≥1時(shí),由f′(x)=ex ＞0 ,又易知f′(x)=ex單調(diào)遞增,故原函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增且越增越快;,但故原函數(shù)在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增卻越增越慢;而f(1)=e ＞1=g(1).于是在區(qū)間[1,+∞)上,增速慢的函數(shù)g(x),永遠(yuǎn)追不上增速快的函數(shù)f(x),即f(x)＞g(x)成立.綜上,f(x)＞g(x),得證.

(筆者心忖,雖然生3 的解題表述不夠規(guī)范,但的確是分區(qū)間證明f(x)min＞g(x)max,體現(xiàn)生3 不俗的思維水平,而且他的做法還啟發(fā)筆者關(guān)于函數(shù)放縮的解題方向,便靈機(jī)一動(dòng),利用先總結(jié)再探索的方式,培養(yǎng)學(xué)生評(píng)價(jià)性思維與創(chuàng)造性思維)

師(引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行評(píng)價(jià))：大家能總結(jié)一下,該解法用到什么思想嗎?

生眾：有分開不同區(qū)間作討論的分類思想.

師：還有呢?

生眾(過(guò)了一會(huì))：它們都把二階導(dǎo)函數(shù)作為解題工具.其中,生2 的二階導(dǎo)函數(shù)用于說(shuō)明一階導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況,生3 的二階導(dǎo)函數(shù)則用于研究原函數(shù)增速變化(即函數(shù)的凹凸性)!師(創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境)：非常好! 那么請(qǐng)大家再仔細(xì)觀察生3 所畫的函數(shù)圖像,能發(fā)現(xiàn)什么特征? 能不能利用該特征找出新的解題方向?

(又過(guò)了一會(huì))生4：老師,我有神奇的發(fā)現(xiàn)!

師：好的,你來(lái)分享一下?

生4：我就是個(gè)初步思路.看著圖像,總覺得缺少了什么東西.再回看函數(shù)不等式(ex)＞(1+lnx),終于知道少了什么了!

生4 走上講臺(tái),在生3的圖上畫了一條直線,如圖2.

圖2

生4：我們知道,指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)關(guān)于直線y=x對(duì)稱并分別在直線的上、下方,故只需找出一條類似y=x的過(guò)渡直線“y=ax+b”,然后證明“f(x)＞ax+b ＞g(x)”即可!

師(任務(wù)驅(qū)動(dòng))：那這條直線應(yīng)該是?

生4：結(jié)合函數(shù)草圖,我覺得直線y=x就行!

生5：y=1+lnx可能與y=x相交,不恒在直線上方,我認(rèn)為是y=x+1!

對(duì)此,現(xiàn)場(chǎng)同學(xué)也隨之分裂成兩派,爭(zhēng)論得不可開交.既無(wú)定論,筆者便給學(xué)生10 分鐘思考時(shí)間,探究哪條直線滿足不等關(guān)系.同學(xué)們熱情高漲,瞬間投入到研究中.筆者又邀請(qǐng)生4 與生5,分別按自己的思路在黑板上板書證明.最終發(fā)現(xiàn),y=x與y=x+1 皆滿足該函數(shù)不等式!

得證法三思路(以選取y=x為例)：要證：ex ＞x ＞1+lnx,即證：,且等號(hào)不同時(shí)成立.

①由指對(duì)數(shù)函數(shù)關(guān)于y=x對(duì)稱的圖像性質(zhì),易得ex ＞x,即F(x)＞0 恒成立;

第三次意外：此時(shí)課堂耗時(shí)已近30 分鐘,時(shí)間緊迫.正當(dāng)筆者準(zhǔn)備組織學(xué)生梳理思路,并作高考題訓(xùn)練時(shí),發(fā)現(xiàn)生6欲言又止.

師：生6,你還有好方法補(bǔ)充嗎?

生6：老師,綜合剛才多位同學(xué)的想法,我突發(fā)奇想,得出一階段性小結(jié)論,但往下又證不下去,想提出來(lái)讓大家一起探討.

師：好啊! 你講解一下,我們一起分析?

生6：前面生1 提出構(gòu)造F(x)=ex-1-lnx ＞0,難以證明.但生2 與生3 利用二階導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行討論的想法,給了我一個(gè)啟發(fā),如下：

證法四構(gòu)造f(x)=ex-lnx-1(x ＞0),即證f(x)＞0成立,由剛才應(yīng)用二階導(dǎo)函數(shù)的思想,是單調(diào)遞增函數(shù),又故存在x0∈(0,1),使得f′(x0)=0.結(jié)合導(dǎo)函數(shù)圖像正負(fù)變化規(guī)律,易得f(x0)為函數(shù)極小值與最小值,f(x)≥f(x0).

生6：這樣,只需證明函數(shù)最小值即可.可惜接下來(lái)不知該怎樣解了.

(筆者心忖,生6 挖掘出隱零點(diǎn)替換的解題思想,本是原計(jì)劃向?qū)W生講授的解法,體現(xiàn)生6 具相當(dāng)好的綜合思維與探究意識(shí)! 既然證明的下半部分沒(méi)完成,筆者便借此讓學(xué)生們共同探索下一步,培養(yǎng)學(xué)生綜合性思維)師(任務(wù)驅(qū)動(dòng))：大家認(rèn)為該證法如何?

生眾：很有道理!

師：既然如此,大家能不能完善它的下半部分呢?

(數(shù)分鐘后)生1：老師我證出來(lái)了! 跟之前證法一不同,這里要對(duì)極值點(diǎn)作一次替換.

生1 展示證法四余下部分：(進(jìn)行隱零點(diǎn)替換),所以f(x)≥f(x0)=ex0-lnx0-1=結(jié)合x0∈(0,1)應(yīng)用基本不等式時(shí)等號(hào)不成立,故f(x)≥f(x0)＞1＞0,問(wèn)題得證.生眾：好厲害! 再一次膜拜“大神”!

課堂反思總結(jié)部分

此時(shí),課堂已近結(jié)束,筆者指引學(xué)生自行梳理各種證法,并作出方法適用性、計(jì)算難度的評(píng)判.

學(xué)生總結(jié)評(píng)價(jià)有下：

證法一與證法四：當(dāng)題意出現(xiàn)“f(x)＞g(x)”的形式,不好討論時(shí),先利用作差、坐商等的等價(jià)變形技巧,構(gòu)造出新的函數(shù)不等關(guān)系(如“F(x)＞0,G(x)＜1”等形式),再利用恒成立思想,通過(guò)比較新函數(shù)最值與“0”或“1”的大小,證明原不等關(guān)系成立,屬于通法.過(guò)程中,有時(shí)需討論二階導(dǎo)函數(shù),有時(shí)則需作導(dǎo)函數(shù)隱零點(diǎn)替換,計(jì)算量稍大.

證法二：當(dāng)兩函數(shù)圖像在定義域某點(diǎn)兩側(cè),呈現(xiàn)明顯的高低或增速快慢的區(qū)別時(shí),先利用分段證明思想,把不等式兩側(cè)函數(shù)進(jìn)行“區(qū)間分割”,再分別討論兩函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的函數(shù)值大小與增速變化情況,得函數(shù)圖像高低關(guān)系,以此證明函數(shù)不等式“f(x)＞g(x)”成立.運(yùn)算量不大,但不一定每道題都可作區(qū)間分割.

證法三：當(dāng)不等式“f(x)＞g(x)”的兩側(cè)函數(shù)之間,存在分割直線“y=ax+b”的情況時(shí),可結(jié)合函數(shù)放縮思想,先找出這條“過(guò)渡直線”,再分別證明“f(x)＞ax+b”與“ax+b ＞g(x)”成立,最終得“f(x)＞ax+b ＞g(x)”成立.運(yùn)算難度不大,但該直線不唯一且其選取具一定隨機(jī)性.

學(xué)生剛整理完畢,下課鈴聲響起了! 就這樣,一道題“意外地”研討了一節(jié)課,結(jié)束.

三、課后回味

本節(jié)課,筆者基本沒(méi)按原教學(xué)計(jì)劃授課,而是在學(xué)生思維推動(dòng)下開展課堂教學(xué),并通過(guò)對(duì)學(xué)生適時(shí)引導(dǎo)與互動(dòng),讓他們逐漸掌握知識(shí)與能力,發(fā)展高階思維.這次教學(xué)經(jīng)歷,給筆者以下啟發(fā)：

1、重視課堂意外并靈活調(diào)整教學(xué)安排,完成教學(xué)目標(biāo)

學(xué)生為主體下的動(dòng)態(tài)生成的課堂,必然出現(xiàn)各種課堂意外.教師應(yīng)摒棄“課堂意外干擾教學(xué)進(jìn)度”的思想,尊重并充分利用這些意外,調(diào)整教學(xué)計(jì)劃,理解與調(diào)動(dòng)學(xué)生思考積極性,從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā),引導(dǎo)他們對(duì)新出現(xiàn)的“意外問(wèn)題”進(jìn)行分析,通過(guò)探究完善知識(shí)體系.如本節(jié)課中,對(duì)各次意外的研討辨析,就是“研一題,通一法,懂一類”,達(dá)成甚至拓展了原定教學(xué)目標(biāo).

2、重視設(shè)計(jì)合理教學(xué)步驟,促進(jìn)高階思維發(fā)展

發(fā)展數(shù)學(xué)高階思維,要求教師,既需在認(rèn)知活動(dòng)的情境中,設(shè)計(jì)有效的系列教學(xué)活動(dòng)并指引學(xué)生帶著目標(biāo)去思考;又需在思維進(jìn)階過(guò)程中貫穿培養(yǎng)學(xué)生高階思維的教學(xué)策略;還需在完成預(yù)定任務(wù)活動(dòng)后,引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)出思維成果.本節(jié)課中,筆者利用每一次突發(fā)互動(dòng),生成新任務(wù)情境,引導(dǎo)學(xué)生探究,安排學(xué)生展示與總結(jié),鍛煉了學(xué)生創(chuàng)造性思維、分析綜合性思維、數(shù)學(xué)表達(dá)等高階思維能力.

3、重視給予學(xué)生充足的思考與互動(dòng)的空間,提高教學(xué)效果

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式,以教師為主體,偏重概念講授與模仿訓(xùn)練.短期看,它“提分”有效;長(zhǎng)期看,它“捆綁”學(xué)生思維.建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論指出,學(xué)生是知識(shí)的主動(dòng)建構(gòu)者,教師不要向?qū)W生灌輸知識(shí),而應(yīng)讓他們主動(dòng)學(xué)習(xí)與思考.該理論下的互動(dòng)研討,從學(xué)生已有知識(shí)體系出發(fā),通過(guò)探索研究與互動(dòng)辨析,提升能力.相對(duì)傳統(tǒng)教學(xué)模式,它在培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)、優(yōu)化思維結(jié)構(gòu)上更有效.因此為了能達(dá)到良好的互動(dòng)研討效果,教師不應(yīng)抱有“以我為主”的教學(xué)理念控制課堂進(jìn)程,而應(yīng)營(yíng)造寬松民主的學(xué)習(xí)氛圍,給予學(xué)生足夠的“言語(yǔ)表達(dá)空間”,鼓勵(lì)他們主動(dòng)講解所想,大膽提出質(zhì)疑或補(bǔ)充,讓課堂產(chǎn)生更多更豐富的思維火花碰撞.