明辨未知數(shù)、變量和字母符號*

廣東省中山市中山紀念中學(528454)趙桂枝

在研究有理數(shù)運算律的課堂教學中,筆者提出問題：在a+b=b+a中的a和b表示什么? 全班學生異口同聲回答：“未知數(shù)”.在單項式概念教學中,筆者請學生觀察式子：100t,0.8p,mn,a2h,-n,尋找它們的共同特征.部分學生脫口而出：“含有未知數(shù).”由此可見,學生對于用字母表示數(shù)和用字母表示未知數(shù)的理解存在偏差.隨著學習的深入,這種認知偏差的負面作用會越來越明顯.因此,在教學中,引導學生正確理解字母符號及其意義是十分必要的.

一、字母符號和含字母的式子

符號是某種事物的記號,在生活中隨處可見.如：通用公共信息標志、道路交通標志、消防標志等,這些標志多以圖形符號的形式呈現(xiàn).除此之外,學生習以為常的文字、數(shù)字、字母也是符號.

數(shù)學符號是數(shù)學科學專門使用的特殊符號,是數(shù)學的特殊文字.字母符號是數(shù)學符號中的一種.在初中代數(shù)中,字母符號的主要作用是表示數(shù),用字母和用含字母的式子(代數(shù)式)可以表示數(shù)和數(shù)量關(guān)系.用含有字母的式子表示數(shù)時,從整體的角度理解式子,它和單個的字母符號表示數(shù)的作用是相同的.

案例1用含字母的式子表示數(shù)(人教版教材《整式的加減》第1 課時)

教材章引言中提出以下問題：

青藏鐵路線上,在格爾木到拉薩之間有一段很長的凍土地段,列車在凍土地段、非凍土地段的行駛速度分別是100km/h和120km/h,在西寧到拉薩路段,列車通過非凍土地段所需時間是通過凍土地段所需時間的2.1 倍,如果通過凍土地段需要th,能用含t的式子表示這段鐵路的全長嗎?

對于該問題的處理,在學生給出答案：100t+120×2.1t后,師生進行如下對話：師：式子100t表示什么?生1：列車行駛的路程.師：準確地講是列車在凍土地段行駛t 小時的路程.式子120×2.1t表示什么?

生2：列車在非凍土地段行駛2.1t小時的路程.

師：式子100t+120×2.1t表示什么?

生3：鐵路的全長.

師：根據(jù)小學學過的“用字母可以表示數(shù)”,你能進一步發(fā)現(xiàn)什么?

生4：用式子也可以表示數(shù).

師：是的.用含有字母的式子也可以表示數(shù).正因為用字母和用含有字母的式子可以表示數(shù),所以用字母和用含有字母的式子也可以表示數(shù)量關(guān)系.

該案例從求列車行駛的路程到求鐵路長,讓學生體會用含有字母的式子可以表示數(shù)和數(shù)量關(guān)系,初步建立數(shù)和代數(shù)式之間的聯(lián)系.通過問答,引導學生說出含有字母的式子的實際意義,加強學生對“含有字母的式子可以表示數(shù)”的理解,提高學生的抽象能力,培養(yǎng)整體意識.

字母符號不僅可以表示數(shù),還可以表示圖形.在人教版第四章幾何圖形初步中,會遇到用一個大寫字母表示點,用兩個大寫字母或一個小寫字母表示線.但是用字母表示數(shù)和用字母表示圖形本質(zhì)上是不同的.用字母表示數(shù)具有替代作用,即字母可以替代數(shù),可以像數(shù)一樣進行加減乘除等運算.而用字母表示圖形實質(zhì)上是用字母給圖形命名,只在證明、說理過程中具有替代作用,并不能像圖形一樣進行平移、旋轉(zhuǎn)等變換.在教學中教師應(yīng)根據(jù)學生的具體情況,結(jié)合具體的例子引導學生多方面、多角度觀察字母符號.體會相同的字母,在不同情境中表示的意義不同.打破學生對字母符號狹隘的固定的理解.

二、字母符號和未知數(shù)

為什么學生看到字母就想到未知數(shù)? 筆者在以下三幅圖中找到了答案.第一幅圖是一位教師在《一元一次方程》的示范課教學中展示的一張PPT,第二幅圖是人教版數(shù)學教科書五年級上冊第63 頁的“做一做”,第三幅圖是人教版教師用書七年級上冊第195 頁目標檢測設(shè)計的兩道題.在這三幅圖中所呈現(xiàn)的數(shù)學問題都將字母默認為了未知數(shù),這是對學生的誤導.

圖1

圖2

圖3

張奠宙教授曾在接受時代學習報記者采訪時指出：將“含有未知數(shù)的等式”偷換為“含有字母的等式”在邏輯上是不允許的.“含有字母的等式”種類很多,可以具有不同的意義.這就是說“含有字母的等式”未必都是方程.方程只是“含有字母的等式”的一種情形.

字母可以用來表示未知數(shù),但并不是所有背景中的字母表示的都是“未知數(shù)”.“未知數(shù)”可以用字母表示,但并不是只能用字母表示.因為我們習慣上用字母符號表示未知數(shù),所以有些學生甚至老師都認為未知數(shù)就是字母,字母就是未知數(shù),這種認識是錯誤的.為了避免出現(xiàn)這樣的錯誤,筆者在人教版七年級上冊第三章一元一次方程第1 課時的教學中處理如下：

案例2《一元一次方程》概念教學

師（提出問題）：一輛客車和一輛卡車同時從A 地出發(fā)沿同一公路同方向行駛,客車的行駛速度是70km/h,卡車的行駛速度是60km/h,客車比卡車早1h經(jīng)過B 地,A,B 兩地間的路程是多少?

師：請大家用列算式和列方程兩種方法來解決這個問題.

生3：設(shè)A,B 兩地間的路程是x km,列方程：

師：列算式和列方程兩種方法最大的區(qū)別是什么?

生4：方程有x.

師：這里的字母x表示什么?

生5：A,B 兩地間的路程.

師：A,B 兩地間的路程在這個問題中是未知數(shù),怎樣表示未知數(shù)呢?

生6：用x.

師：必須用x嗎?

生7：也可以用y.

生8：可以用a.

師：未知數(shù)的表示方法有很多.古埃及曾用“堆”表示未知數(shù),印度人曾用0 下加一條豎線表示,宋元時代的中國用“元”表示未知數(shù).現(xiàn)在世界通用的方法是用字母符號表示未知數(shù).最為常用的是字母x.

該案例通過介紹未知數(shù)的多種表示方法使學生理解字母只是表示未知數(shù)的一種方法,建立字母、未知數(shù)和方程之間的聯(lián)系.理解字母可以表示未知數(shù),因此可以用含字母的式子表示數(shù)量關(guān)系,建立方程和代數(shù)式之間的聯(lián)系.

三、字母符號、未知數(shù)和變量

如果說在方程問題中,想當然地認為字母x就是未知數(shù),對解決問題并沒有明顯的負面影響,那么在函數(shù)問題中,對變量的理解和表示,對函數(shù)和方程之間關(guān)系的理解,學生的“暈車”癥狀就十分明顯了.字母x 和y 在方程問題中常用于表示未知數(shù).在初中函數(shù)概念中,用于表示變量.這看似簡單的問題,給很多學生帶來困擾,致使對函數(shù)概念的理解模糊不清.筆者認為厘清字母符號、未知數(shù)和變量之間關(guān)系的最佳時機在人教版八年級下冊第十九章一次函數(shù)第1 課時《變量與函數(shù)》概念教學中.

案例3《變量與函數(shù)》

師：一般地,在一個變化過程中,如果有兩個變量x與y,并且對于x的每一個確定的值,y都有唯一的值與其對應(yīng),那么我們就說x是自變量,y是x的函數(shù).在函數(shù)的概念中,有哪幾個關(guān)鍵點要特別注意?

生1：兩個變量x與y.

生2：對于x的每一個確定的值,y都有唯一的值與其對應(yīng).

生3：x是自變量,y是x的函數(shù).

師：變量是否一定要用字母x來表示?

生4：不一定.

師：在函數(shù)概念中字母x和y僅僅是表示變量的一種通用形式,習慣上用字母x表示自變量,用字母y表示自變量的函數(shù).在具體的問題背景中,可以選用不同的字母表示變量.如：在行程問題中,如果保持速度不變,行駛路程隨著行駛時間的變化而變化,一般用字母s表示行駛路程,用字母t表示行駛時間,這時候表示變量的字母是s和t,其中字母t表示自變量,字母s表示自變量t的函數(shù).

以字母x和y為例,在不同的問題背景下,表示的意義不同.如在整式的運算中表示任意實數(shù).在方程問題中,表示未知數(shù).在直角坐標系中,表示橫軸和縱軸.字母的“身份”在一定的問題背景下可以相互轉(zhuǎn)換.如在函數(shù)問題中,當已知一個變量x（或y）的值,求另一個變量y（或x）與其對應(yīng)的值時,函數(shù)問題轉(zhuǎn)化成方程問題,表示“待定值”的字母y（或x）轉(zhuǎn)化前的“身份”是變量,轉(zhuǎn)化后的“身份”是未知數(shù).

用字母符號表示數(shù)具有任意性、簡明性和概括性的特點,用字母符號表示公式、法則和運算律更能彰顯數(shù)學的本質(zhì).在教學中,教師應(yīng)重視字母符號意識的培養(yǎng),讓學生理解字母符號只是一種表現(xiàn)形式,這種表現(xiàn)形式具有很強的靈活性,可以任意選取,但在特定的背景下又有其常用的、通用的方法.當明白字母符號是數(shù)學表達的一種方式,學生就不會被形式所困擾,而能利用這種簡潔的表達更清晰的理解數(shù)學的本質(zhì).