結(jié)合中考命題，談初中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)

廣東省佛山市三水區(qū)白坭鎮(zhèn)白坭中學(xué) 陳坤明

初中階段真正要求學(xué)生掌握的函數(shù)有一次函數(shù),反比例函數(shù),二次函數(shù)共三個(gè)函數(shù).雖然教材里出現(xiàn)了三角函數(shù)的概念,但只是要求學(xué)生掌握其定義,并能運(yùn)用定義進(jìn)行計(jì)算,并沒有要求學(xué)生學(xué)習(xí)其圖像以及相關(guān)的性質(zhì),不算是要求掌握三角函數(shù).而正比例函數(shù)它是特殊的一次函數(shù),它的學(xué)習(xí)應(yīng)該歸結(jié)到一次函數(shù)之中.

雖然這三個(gè)函數(shù)的教學(xué)內(nèi)容分別安排于教材里的不同地方,各函數(shù)的表達(dá)形式也差別很大,但探究其之間的聯(lián)系,處理問題的方法,其實(shí)有很多地方是互通的,存在很多的共性.從教材內(nèi)容編排看,對(duì)一次函數(shù),反比例函數(shù),二次函數(shù)的教學(xué)內(nèi)容編排,大致經(jīng)歷了一個(gè)從函數(shù)定義與形式,到函數(shù)圖像與性質(zhì),再到函數(shù)的應(yīng)用的一個(gè)過程,這樣的編排是符合人們對(duì)事物的認(rèn)識(shí)規(guī)律的.教材內(nèi)容結(jié)構(gòu)有序且固定,它似乎向?qū)W生傳遞著學(xué)習(xí)函數(shù)該掌握的方法,似乎告訴著學(xué)生不同函數(shù)之間是緊密聯(lián)系的,這有利于學(xué)生對(duì)函數(shù)整個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)的建立.例如判斷一個(gè)點(diǎn)是否在函數(shù)圖像上的方法、求兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)、求圖像與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的方法等都是相同的.

佛山市中考從2015年開始使用廣東省中考試卷.翻閱2015年到2018 廣東省中考試題,我們不難發(fā)現(xiàn),中考對(duì)函數(shù)部分的命題有著其明顯的規(guī)律,例如：這幾年函數(shù)題都出現(xiàn)在第23 題,形式上都是一個(gè)大題里包含有三個(gè)小問.從難易分布來看,中考里大部分題目都是基礎(chǔ)題,而拉開學(xué)生之間距離的題目有選擇題的第10 題,填空題的第15、16 題,解答題的24、25 題(參考2018年廣東省中考試卷),而函數(shù)題出現(xiàn)在第23 題,從梯度上看它位于一個(gè)從易轉(zhuǎn)難的過渡位置,而且它以三個(gè)小問的形式出現(xiàn),前面的兩個(gè)問都比較基礎(chǔ),都是一些代數(shù)的計(jì)算,一般的同學(xué)都有能力解決,第3 問解題方法上沒有前兩問那么容易發(fā)現(xiàn),需要三到四步運(yùn)算才能解決,一些中層靠上的同學(xué)還是有能力完成的.從內(nèi)容上看,這幾年函數(shù)題都是一個(gè)直線函數(shù)與一個(gè)曲線函數(shù)結(jié)合,似乎一次函數(shù)是必考的函數(shù)之一.凸顯了一次函數(shù)作為函數(shù)學(xué)習(xí)的入門函數(shù)的地位尤為重要,某種意義上決定著后續(xù)兩個(gè)函數(shù)的學(xué)習(xí),命題嚴(yán)格按照教學(xué)大綱的要求,科學(xué)、合理.

統(tǒng)計(jì)往屆同學(xué)們?cè)?3 題的得分,發(fā)現(xiàn)同學(xué)們的得分普遍不高.進(jìn)行一次教學(xué)反思,在我們的日常教學(xué)中,可能真的存在需要重視的地方,或可以進(jìn)一步完善的地方.

一、加強(qiáng)對(duì)待定系數(shù)法部分內(nèi)容的教學(xué)

利用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式中的系數(shù)或函數(shù)的關(guān)系式,基本上是中考函數(shù)題前兩個(gè)小問的必考內(nèi)容.其中2015年、2018年的第三問還出現(xiàn)了第二次利用待定系數(shù)法解決問題,其地位的重要可見一斑.

翻開教材,待定系數(shù)法的概念,以及應(yīng)用首次出現(xiàn)于八年級(jí)上冊(cè)教材中.在第四章《一次函數(shù)》學(xué)習(xí)正比例函數(shù),一次函數(shù)的時(shí)候已經(jīng)應(yīng)用到待定系數(shù)法求函數(shù)的表達(dá)式了,而待定系數(shù)法概念的出現(xiàn)是在第五章《二元一次方程組》中的最后一節(jié).雖然教材編排的目的是為了突出一次函數(shù)與二元一次方程組的聯(lián)系,但從某種角度上,它使得待定系數(shù)法的概念從函數(shù)的學(xué)習(xí)體系中剝離了出來,削弱了學(xué)生們對(duì)待定系數(shù)法作為函數(shù)體系內(nèi)一種解決函數(shù)表達(dá)式問題的方法的整體觀念,容易忽視.

在日常教學(xué)過程中,老師也往往只重視學(xué)生對(duì)結(jié)果的計(jì)算,而忽視了學(xué)生對(duì)方法本質(zhì)的意義理解.待定系數(shù)法的計(jì)算是固定的,機(jī)械的,很多學(xué)生都可以通過多訓(xùn)練幾次,多代入幾次把結(jié)果正確地計(jì)算出來.但能正確計(jì)算結(jié)果未必代表學(xué)生們真正地掌握待定系數(shù)法本質(zhì),往往還會(huì)出現(xiàn)：對(duì)什么是系數(shù);“系數(shù)定,函數(shù)就定”的中心思想; 到底用一個(gè)點(diǎn)代入還是用兩個(gè)點(diǎn)代入等問題搞不清楚.出現(xiàn)了例如：已知一次函數(shù)y=kx+b的圖像經(jīng)過(1,5)與(-2,-1)兩個(gè)點(diǎn),求函數(shù)的表達(dá)式? 這樣的題目會(huì)做,而對(duì)于：已知一次函數(shù)y=3x+m的圖像經(jīng)過(1,5),求m的值? 這樣的題目反而不會(huì)做.中考對(duì)待定系數(shù)法的考察,要求學(xué)生從本質(zhì)上理解待定系數(shù)法,例如：2016年的題目“在直角坐標(biāo)系中,直線y=kx+ 1(k0)與雙曲線相交于P(1,m).(1)求k的值; ”它要求學(xué)生能從直線y=kx+1(k0)出發(fā),判別函數(shù)關(guān)系式中到底缺了哪個(gè)系數(shù),需要多少個(gè)點(diǎn)代入.又如2017年的題目“在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=-x2+ax+b交x軸于A(1,0),B(3,0)兩點(diǎn),點(diǎn)P是拋物線上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn),直線BP與y軸相交于點(diǎn)C.(1)求拋物線y=-x2+ax+b的解析式;”由于教材里習(xí)慣于在二次函數(shù)的表達(dá)式中,用a表示二次項(xiàng)系數(shù),b表示一次項(xiàng)系數(shù),現(xiàn)在用a表示的是一次項(xiàng)系數(shù),而b表示的是常數(shù),有些學(xué)生可能一時(shí)被搞混了.因此,在教學(xué)的過程中,只要我們重視讓學(xué)生理解什么是系數(shù),系數(shù)是通過把點(diǎn)代入表達(dá)式就可以求出的思想,問題就可以得到解決了.

二、重視平面坐標(biāo)系內(nèi)容的教學(xué),特別是在平面坐標(biāo)系內(nèi)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換部分內(nèi)容的教學(xué)

平面直角坐標(biāo)系可以說是函數(shù)圖像的載體,而函數(shù)的大部分性質(zhì)都是通過圖像表現(xiàn)出來的.翻開教材,平面直角坐標(biāo)系部分的內(nèi)容被安排在八年級(jí)上冊(cè)第三章《位置與坐標(biāo)》,它是為下一章學(xué)習(xí)《一次函數(shù)》作準(zhǔn)備的.

在教學(xué)的過程中,老師們可能會(huì)出現(xiàn)由于急于進(jìn)入《一次函數(shù)》的教學(xué),而忽視了平面直角坐標(biāo)系內(nèi)容的重要性,特別是第3 節(jié)關(guān)于坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的內(nèi)容,教材內(nèi)圖形較為復(fù)雜,要學(xué)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)較為繁瑣,老師們就更沒有講授的熱情了.而對(duì)于學(xué)生而言,在學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)容的時(shí)候,由于同學(xué)們還沒有學(xué)習(xí)函數(shù)的內(nèi)容,未能體會(huì)到學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系的意義,容易忽視了坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的作用的重要了.

回顧這幾年的中考題,坐標(biāo)轉(zhuǎn)換經(jīng)常作為學(xué)生是否能運(yùn)用知識(shí)解決問題的一個(gè)考點(diǎn)考察學(xué)生,基本上它是打開學(xué)生解決問題思路的一把鑰匙,經(jīng)常一個(gè)完成的解題過程,都是從一個(gè)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換開始.

例如：2015年“通過直線上點(diǎn)A(1,3)作AB ⊥x軸于點(diǎn)B,交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)D,且AB=3BD”,學(xué)生必須點(diǎn)A(1,3)與AB=3BD兩個(gè)條件結(jié)合,求出D點(diǎn)坐標(biāo),再把D點(diǎn)坐標(biāo)代入求出k的值.還有第3 小問“在y軸上確實(shí)一點(diǎn)M,使點(diǎn)M到C、D兩點(diǎn)距離之和d=MC+MD,求點(diǎn)M的坐標(biāo)”,解題的方法是做出C或D關(guān)于y軸成軸對(duì)稱的對(duì)應(yīng)點(diǎn),再連一直線,求直線與y軸的交點(diǎn)來解決問題.2016年“若點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y=x成軸對(duì)稱,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q( )”,考察的是關(guān)于y=x成軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)有什么關(guān)系,這樣考察就更直接了.2017年的“(2)當(dāng)點(diǎn)P是線段BC的中點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)”,方法是過這個(gè)三角形的中位線,中點(diǎn)與其他點(diǎn)有何關(guān)系.

以上就是本人結(jié)合近幾中考試題,總結(jié)的關(guān)于函數(shù)教學(xué)的一些看法,下面附上這幾年的中考函數(shù)題,以供大家參考.

2015年

23、如圖1,反比例函數(shù)y=的圖象與直線y=3x相交于點(diǎn)C,過直線上點(diǎn)A(1,3)作AB ⊥x軸于點(diǎn)B,交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)D,且AB=3BD.(1)求k的值;

圖1

(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo);

(3)在y軸上確實(shí)一點(diǎn)M,使點(diǎn)M到C、D兩點(diǎn)距離之和d=MC+MD,求點(diǎn)M的坐標(biāo).

2016年

23、如圖2,在直角坐標(biāo)系中,直線y=kx+1(0)與雙曲線相交于P(1,m).

(1)求k 的值;

(2)若點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y=x成軸對(duì)稱,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q( );

圖2

(3)若過P、Q兩點(diǎn)的拋物線與y軸的交點(diǎn)為求該拋物線的解析式,并求出拋物線的對(duì)稱軸方程.

2017年

23、如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=-x2+ax+b交x軸于A(1,0),B(3,0)兩點(diǎn),點(diǎn)P是拋物線上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn),直線BP與y軸相交于點(diǎn)C.

圖3

(1)求拋物線y=-x2+ax+b的解析式;

(2)當(dāng)點(diǎn)P是線段BC的中點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)在(2)的條件,求sin ∠OCB的值.

2018年

23、如圖,已知頂點(diǎn)為C(0,-3)的拋物線y=ax2+b(a0)與x軸交于A,B兩點(diǎn),直線y=x+m過頂點(diǎn)C和點(diǎn)B.

(1)求m的值;

(2)求函數(shù)y=ax2+b(a0)的解析式;

圖4

(3)拋物線上是否存在點(diǎn)M,使得∠MCB=15°? 若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.